第2章實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析統(tǒng)計(jì)資料的整理與分析

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1數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的常用術(shù)語(yǔ)

1.1總體與樣本

總體：根據(jù)研究目的確定的研究對(duì)象的全體稱為總體(population)；

個(gè)體：總體中的每一個(gè)研究單位稱為個(gè)體(individual)；

樣本：依據(jù)一定方法由總體中抽取部分個(gè)體所組成的集合稱為樣本(sample)；

有限總體：含有有限個(gè)個(gè)體的總體稱為有限總體；

無(wú)限總體：包含有無(wú)限多個(gè)個(gè)體的總體稱為無(wú)限總體；下一張

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樣本容量：樣本中所包含的個(gè)體數(shù)目叫樣本容量或大小(samplesize)，樣本容量常記為n。通常把n≤30的樣本叫小樣本，n>30的樣本叫大樣本。試驗(yàn)研究的目的：了解總體，然而能觀測(cè)到的卻是樣本，通過(guò)樣本來(lái)推斷總體是統(tǒng)計(jì)分析的基本特點(diǎn)。下一張

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為了能可靠地從樣本來(lái)推斷總體，要求樣本具有一定的含量和代表性。如何獲取有代表性的樣本？采用隨機(jī)抽取。所謂隨機(jī)抽取(randomsampling)是指總體中的每一個(gè)個(gè)體都有同等的機(jī)會(huì)被抽取到樣本中。樣本畢竟只是總體的一部分，盡管樣本具有一定的含量也具有代表性，通過(guò)樣本來(lái)推斷總體也不可能是百分之百的正確。有很大的可靠性但有一定的錯(cuò)誤率這是統(tǒng)計(jì)分析的特點(diǎn)。下一張

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1.2參數(shù)與統(tǒng)計(jì)量為了表示總體和樣本的數(shù)量特征，需要計(jì)算特征數(shù)。

參數(shù)：由總體計(jì)算的特征數(shù)叫參數(shù)(parameter)；常用希臘字母表示參數(shù)，例如用μ表示總體平均數(shù)，用σ表示總體標(biāo)準(zhǔn)差；統(tǒng)計(jì)量：由樣本計(jì)算的特征數(shù)叫統(tǒng)計(jì)量(staistic)。常用拉丁字母表示統(tǒng)計(jì)量，例如用表示樣本平均數(shù)，用s表示樣本標(biāo)準(zhǔn)差，用R表示極差。下一張

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總體樣本參數(shù)統(tǒng)計(jì)量sμσσ2方差s2標(biāo)準(zhǔn)差平均數(shù)R極差抽樣推斷、估計(jì)為了了解總體分布、特征構(gòu)造

總體參數(shù)由相應(yīng)的樣本統(tǒng)計(jì)量來(lái)估計(jì)，例如用估計(jì)μ，用S估計(jì)σ等。

1.3準(zhǔn)確性與精確性

準(zhǔn)確性(accuracy)也叫準(zhǔn)確度，指觀測(cè)值與其真值的接近程度。設(shè)某一試驗(yàn)指標(biāo)或性狀的真值為μ，觀測(cè)值為

x，若x與μ相差的絕對(duì)值|x－μ|越小，則觀測(cè)值x的準(zhǔn)確性越高；反之則低。下一張

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精確性(precision)也叫精確度，指同一試驗(yàn)指標(biāo)或性狀的重復(fù)觀測(cè)值彼此接近的程度。若觀測(cè)值彼此接近，即任意二個(gè)觀測(cè)值xi

、xj

相差的絕對(duì)值|xi－xj|越小，則觀測(cè)值精確性越高；反之則低。準(zhǔn)確性、精確性的意義見(jiàn)圖2-1。下一張

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圖2-1準(zhǔn)確性與精確性的關(guān)系示意圖隨機(jī)誤差也叫抽樣誤差(samplingerror)，是由于許多無(wú)法控制的內(nèi)在和外在的偶然因素所造成的。隨機(jī)誤差帶有偶然性質(zhì)，在試驗(yàn)中，即使十分小心的進(jìn)行試驗(yàn)操作也難以消除。隨機(jī)誤差不可避免，但可減少。隨機(jī)誤差影響試驗(yàn)的精確性。下一張

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1.4

隨機(jī)誤差(randomerror)與系統(tǒng)誤差(systematicerror)統(tǒng)計(jì)上的試驗(yàn)誤差是指隨機(jī)誤差。這種誤差愈小，試驗(yàn)的精確性愈高。

系統(tǒng)誤差也叫片面誤差(lopsidederror)，這是由于試驗(yàn)對(duì)象相差較大，測(cè)量的儀器不準(zhǔn)、標(biāo)準(zhǔn)試劑未經(jīng)校正，以及觀測(cè)、記載、抄錄、計(jì)算中的錯(cuò)誤等等所引起。系統(tǒng)誤差可以通過(guò)改進(jìn)方法、正確試驗(yàn)設(shè)計(jì)來(lái)避免、消除。系統(tǒng)誤差影響試驗(yàn)的準(zhǔn)確性。下一張

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正確地進(jìn)行試驗(yàn)數(shù)據(jù)資料的分類是統(tǒng)計(jì)資料整理的前提。在調(diào)查或試驗(yàn)中，由觀察、測(cè)量所得的數(shù)據(jù)資料按其性質(zhì)的不同，一般可以分為數(shù)量性狀資料、質(zhì)量性狀資料和半定量（等級(jí)）資料三大類。下一張

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2統(tǒng)計(jì)資料的分類

數(shù)量性狀(quantitativecharacter)是指能夠以測(cè)量、計(jì)量或計(jì)數(shù)的方式表示其特征的性狀。觀察測(cè)定數(shù)量性狀而獲得的數(shù)據(jù)就是數(shù)量性狀資料數(shù)量性狀資料的獲得有測(cè)量和計(jì)數(shù)兩種方式，因而數(shù)量性狀資料又分為計(jì)量資料和計(jì)數(shù)資料兩種。下一張

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2.1數(shù)量性狀資料用測(cè)量方式獲得的數(shù)量性狀資料，即用度、量、衡等計(jì)量工具直接測(cè)定獲得的數(shù)量性狀資料。其數(shù)據(jù)是用長(zhǎng)度、容積、重量等來(lái)表示。資料的各個(gè)觀測(cè)值不一定是整數(shù)，其小數(shù)位數(shù)的多少由度量工具的精度而定，它們之間的變異是連續(xù)性的。因此，計(jì)量資料也稱為連續(xù)性變異資料。下一張

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2.1.1計(jì)量資料

度量衡是計(jì)量長(zhǎng)短、多少、輕重的統(tǒng)稱.其中,度是計(jì)量長(zhǎng)短的尺度,量是計(jì)量多少的器具,衡是計(jì)量輕重的器具.

2.1.2計(jì)數(shù)資料

用計(jì)數(shù)方式獲得的數(shù)量性狀資料。這類資料的各個(gè)觀察值只能以整數(shù)表示，在兩個(gè)相鄰整數(shù)間不得有任何帶小數(shù)的數(shù)值出現(xiàn)。各觀察值是不連續(xù)的，因此該類資料也稱為不連續(xù)性變異資料或間斷性變異資料。下一張

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2.2質(zhì)量性狀資料

質(zhì)量性狀(qualitativecharacter)是指能觀察到而不能直接測(cè)量的，只能用文字來(lái)描述其特征的性狀，如食品顏色、風(fēng)味等等。這類性狀本身不能直接用數(shù)值表示，要獲得這類性狀的數(shù)據(jù)資料，須對(duì)其觀察結(jié)果作數(shù)量化處理，其方法有以下兩種：下一張

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2.2.1統(tǒng)計(jì)次數(shù)法

在一定的總體或樣本中，根據(jù)某一質(zhì)量性狀的類別統(tǒng)計(jì)其次數(shù)，以次數(shù)作為質(zhì)量性狀的數(shù)據(jù)。例如，蘋果中全紅果個(gè)數(shù)與半紅果個(gè)數(shù)。由質(zhì)量性狀數(shù)量化而得來(lái)的資料又叫次數(shù)資料。下一張

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2.2.2評(píng)分法

對(duì)某一質(zhì)量性狀，因其類別不同，分別給予評(píng)分。例如，分析面包的質(zhì)量，可以按照國(guó)際面包評(píng)分細(xì)則進(jìn)行打分，綜合評(píng)價(jià)面包質(zhì)量。新產(chǎn)品開發(fā)中的評(píng)價(jià)打分等等。

2.3半定量（等級(jí)）資料

半定量或等級(jí)資料(semi-quantitativeorrankeddata)是指將觀察單位按所考察的性狀或指標(biāo)的等級(jí)順序分組，然后清點(diǎn)各組觀察單位的次數(shù)而得的資料。這類資料既有次數(shù)資料的特點(diǎn)，又有程度或量的不同。如某種果實(shí)的褐變程度是視果實(shí)變色面積將其分組，然后統(tǒng)計(jì)各級(jí)別果數(shù)。

三種不同類型的資料相互間是有區(qū)別的，但有時(shí)可根據(jù)研究的目的和統(tǒng)計(jì)方法的要求將一種類型資料轉(zhuǎn)化成另一種類型的資料。例如，酸奶中的乳桿菌總數(shù)得到的資料屬于計(jì)數(shù)資料，根據(jù)化驗(yàn)的目的，可按乳桿菌總數(shù)正?；虿徽７譃閮山M，清點(diǎn)各組的次數(shù)，計(jì)數(shù)資料就轉(zhuǎn)化為質(zhì)量性狀次數(shù)資料；如果按乳桿菌總數(shù)過(guò)高、正常、過(guò)低分為三組，清點(diǎn)各組次數(shù)，就轉(zhuǎn)化成了半定量資料。下一張

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3數(shù)據(jù)資料的整理3.1數(shù)據(jù)資料的檢查與核對(duì)目的：在于確保原始資料的完整性和正確性。所謂完整性是指原始資料無(wú)遺缺或重復(fù)。所謂正確性是指原始資料的測(cè)量和記載無(wú)差錯(cuò)或未進(jìn)行不合理的歸并。檢查中要特別注意特大、特小和異常數(shù)據(jù)（可結(jié)合專業(yè)知識(shí)作出判斷）。對(duì)于有重復(fù)、異?；蜻z漏的資料，應(yīng)予以刪除或補(bǔ)齊；對(duì)有錯(cuò)誤、相互矛盾的資料應(yīng)進(jìn)行更正，必要時(shí)進(jìn)行復(fù)查或重新試驗(yàn)。下一張

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未整理的資料為原始資料，是零星的、孤立的和雜亂無(wú)章，無(wú)規(guī)律可循，通過(guò)科學(xué)的整理和分析，可發(fā)現(xiàn)其規(guī)律性，揭示事物內(nèi)在本質(zhì)。3.2數(shù)據(jù)資料的整理方法當(dāng)觀測(cè)值不多(n≤30)時(shí)，不必分組，可直接進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。當(dāng)觀測(cè)值較多(n>30)時(shí)，宜將觀測(cè)值分成若干組，以便統(tǒng)計(jì)分析。將觀測(cè)值分組后，制成次數(shù)分布表，即可看到資料的集中和變異情況。

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3.2連續(xù)性資料（計(jì)量資料）的整理

連續(xù)性資料的整理，需要先確定全距、組數(shù)、組距、組中值及組限，然后將全部觀測(cè)值計(jì)數(shù)歸組。

【例2.1】為了分析某生產(chǎn)廠的罐頭質(zhì)量，現(xiàn)隨機(jī)抽取100聽(tīng)罐頭樣品，分別稱取其凈重，數(shù)據(jù)資料見(jiàn)表2-1。下一張

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342.1340.7348.4346.0343.4342.7346.0341.1344.0348.0346.3346.0340.3344.2342.2344.1345.0340.5344.2344.0343.5344.2342.6343.7345.5339.3350.2337.3345.3358.2344.2345.8331.2342.1342.4340.5350.0343.2347.0340.2344.0353.3340.2336.3348.9340.2356.1346.0345.6346.2340.6339.7342.3352.8342.6350.3348.5344.0350.0335.1340.3338.2345.5345.6349.0336.7342.0338.4343.9343.7341.1347.1342.5350.0343.5345.6345.0348.6344.2341.1346.8350.2339.9346.6339.9344.3346.2338.0341.1347.3347.2339.8344.4347.2341.0341.0343.3342.3339.5343.0表2－1100聽(tīng)罐頭樣品的凈重g

1、求全距

R

全距是數(shù)據(jù)資料中的最大值與最小值之差，又稱為極差(range)，用R表示。即

R=Max(xi)-Min(xi)xi為觀測(cè)值

本例Max=358.2Min=331.2

R=358.2-331.2=27.0下一張

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2、確定組數(shù)

k

組數(shù)的多少視樣本含量及資料的變動(dòng)范圍大小而定，一般以達(dá)到既簡(jiǎn)化資料又不影響反映資料的規(guī)律性為原則。組數(shù)要適當(dāng)，不宜過(guò)多，亦不宜過(guò)少。分組越多所求得的統(tǒng)計(jì)量越精確，但增大了運(yùn)算量；若分組過(guò)少，資料的規(guī)律性就反映不出來(lái)，計(jì)算出的統(tǒng)計(jì)量的精確性也較差。一般組數(shù)的確定，可參考表2-2。下一張

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樣本含量（n）組數(shù)60－1007－10100－2009－12200－50012－17500以上17－30本例中，n＝100，初步確定組數(shù)為9組。表2-2樣本含量與組數(shù)

3、確定組距i

每一組中的最大值與最小值之差稱為組距（Classinterval），記為i。分組時(shí)一般要求各組的組距相等。組距(i)＝全距R／組數(shù)k

本例

i＝27／9=3下一張

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4、確定組限及組中值

各組的最大值與最小值稱為組限。最小值稱為下限，最大值稱為上限。每一組的中點(diǎn)值稱為組中值，它是該組的代表值。組中值與組限、組距的關(guān)系如下：組中值＝(組下限＋組上限)/2＝組下限＋1/2組距＝組上限－1/2組距

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組距確定后，首先要選定第一組的組中值。在分組時(shí)為了避免第一組中觀察值過(guò)多，一般第一組的組中值以接近或等于資料中的最小值為好。第一組組中值確定后，該組組限即可確定，其余各組的組中值和組限也可相繼確定。注意：最末一組的上限應(yīng)大于資料中的最大值。

表2-1中，最小值為331.2，第一組的組中值取331.0，因組距為3.0，因此第一組的下限應(yīng)為：

331.0-(1/2)×3.0＝329.5；第一組的上限也就是第二組的下限應(yīng)為：

329.5+3.0=332.5；第二組的上限也就是第三組的下限為：

332.5+3.0=335.5，……，依此類推，一直到某一組的上限大于資料中的最大值為止。依次類推分組為：

329.5-332.5，332.5-335.5，……

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將正好等于前一組上限和后一組下限的數(shù)據(jù)，一般約定將其歸入后一組。通常將上限略去不寫。第一組記為36.0

，第二組記為39.0

，

……

5、制作次數(shù)分布表分組結(jié)束后，將資料中的每一觀測(cè)值逐一歸組,統(tǒng)計(jì)每組內(nèi)所包含的觀測(cè)值個(gè)數(shù)，制作次數(shù)分布表。下一張

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表2-3100聽(tīng)罐頭凈重的次數(shù)分布下一張

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組限組中值（x)次數(shù)（f）329.5-331.0332.5-334.0335.5-337.0338.5-340.0341.5-343.0344.5-346.0347.5-349.0350.5-352.0353.5-355.0356.5-358.011621322312211

100聽(tīng)罐頭的單聽(tīng)凈重多數(shù)集中在343g，約占觀測(cè)值總個(gè)數(shù)的1/3，用它來(lái)描述罐頭單聽(tīng)凈重的平均水平，有較強(qiáng)的代表性。由次數(shù)分布表可以看出，每聽(tīng)罐頭凈重小于332.5g及大于356.5g的為極少數(shù)。100聽(tīng)罐頭凈重分布基本以343.0g為中心，向兩邊做遞減對(duì)稱分布。表2-4100盒鮮棗每盒檢出不合格棗數(shù)下一張

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3.3間斷性資料（計(jì)數(shù)資料）的整理

以100盒鮮棗每盒檢出不合格棗數(shù)為例，說(shuō)明間斷性資料的整理。18291924221924222220232021232126222324222324252422242324222523252623222523202225262526262526242321262123222424212324242122232022232623242224262824272324222623202625252625252625242225262524252625252728計(jì)數(shù)資料觀察值較多時(shí)，變異范圍較大，若以每一觀察值為一組，則組數(shù)太多，而每組內(nèi)包含的觀察值太少，資料的規(guī)律性顯示不出來(lái)。對(duì)于這樣的資料，可擴(kuò)大為以幾個(gè)相鄰觀察值為一組，適當(dāng)減少組數(shù)，這樣資料的規(guī)律性就較明顯，對(duì)資料進(jìn)一步計(jì)算分析也比較方便。下一張

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表2-5100盒鮮棗每盒檢出不合格棗數(shù)次數(shù)分布表下一張

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不合格棗數(shù)次數(shù)（f）18-19320-211122-233124-253526-271728-2933.4質(zhì)量性狀資料、半定量（等級(jí)）資料的整理對(duì)于質(zhì)量性狀資料、半定量（等級(jí)）資料，可按性狀或等級(jí)進(jìn)行分組，分別統(tǒng)計(jì)各組的次數(shù)，然后制成次數(shù)分布表。下一張

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3.5常用統(tǒng)計(jì)表與統(tǒng)計(jì)圖3.5.1統(tǒng)計(jì)表（1）統(tǒng)計(jì)表的結(jié)構(gòu)和要求統(tǒng)計(jì)表由標(biāo)題、橫標(biāo)目、縱標(biāo)目、線條、數(shù)字及合計(jì)構(gòu)成，其基本格式如下表:

表號(hào)標(biāo)題下一張

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表號(hào)標(biāo)題編制統(tǒng)計(jì)表的總原則：結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，層次分明，內(nèi)容安排合理，重點(diǎn)突出，數(shù)據(jù)準(zhǔn)確，便于理解和比較分析。下一張

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統(tǒng)計(jì)表編制具體要求如下：

①

標(biāo)題標(biāo)題要簡(jiǎn)明扼要、準(zhǔn)確地說(shuō)明表的內(nèi)容，有時(shí)須注明時(shí)間、地點(diǎn)。

②標(biāo)目標(biāo)目分橫標(biāo)目和縱標(biāo)目?jī)身?xiàng)。橫標(biāo)目列在表的左側(cè)，用以表示被說(shuō)明事物的主要標(biāo)志（水平取值）；縱標(biāo)目列在表的上端，說(shuō)明橫標(biāo)目各統(tǒng)計(jì)指標(biāo)內(nèi)容（影響因素和結(jié)果指標(biāo)），并注明計(jì)算單位，如％、kg、cm等等。

③數(shù)字一律用阿拉伯?dāng)?shù)字，數(shù)字以小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，小數(shù)位數(shù)一致，無(wú)數(shù)字的用“─”表示，數(shù)字是“0”的，則填寫“0”。

④線條表的上下兩條邊線略粗，縱、橫標(biāo)目間及合計(jì)用細(xì)線分開，表的左右邊線可省去，表的左上角一般不用斜線。（三線圖）

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(2)統(tǒng)計(jì)表的種類

統(tǒng)計(jì)表可根據(jù)縱、橫標(biāo)目是否有分組分為簡(jiǎn)單表和復(fù)合表兩類。

①

簡(jiǎn)單表由一組橫標(biāo)目和一組縱標(biāo)目組成，縱橫標(biāo)目都未分組。此類表適于簡(jiǎn)單資料的統(tǒng)計(jì)，如表2-6。下一張

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②復(fù)合表由兩組或兩組以上的橫標(biāo)目與一組縱標(biāo)目結(jié)合而成，或由一組橫標(biāo)目與兩組或兩組以上的縱標(biāo)目結(jié)合而成，或由兩組或兩組以上的橫、縱標(biāo)目結(jié)合而成。此類表適用于復(fù)雜資料的統(tǒng)計(jì)，如表2-11。下一張

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表2-11幾種動(dòng)物性食品的營(yíng)養(yǎng)成分3.5.2統(tǒng)計(jì)圖常用的統(tǒng)計(jì)圖有散點(diǎn)圖、長(zhǎng)條圖

(barchart)、園餅圖(piechart)、線圖(linearchart)、直方圖(histogram)和折線圖(broken-linechart)等。一般情況下，計(jì)量資料采用直方圖和折線圖，計(jì)數(shù)資料、質(zhì)量性狀資料、半定量（等級(jí)）資料常用長(zhǎng)條圖、線圖或園餅圖。下一張

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統(tǒng)計(jì)圖繪制的基本要求

1、標(biāo)題簡(jiǎn)明扼要，列于圖的下方。

2、縱、橫兩軸應(yīng)有刻度，注明單位。

3、橫軸由左至右、縱軸由下而上，數(shù)值由小到大；圖形長(zhǎng)寬比例約5：4或6：5。

4、圖中需用不同顏色或線條代表不同處理、樣品等時(shí)，應(yīng)有圖例說(shuō)明。下一張

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Excel軟件應(yīng)用工具-加載宏-分析數(shù)據(jù)庫(kù)數(shù)據(jù)分析方差分析回歸分析統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)直方圖描述統(tǒng)計(jì)4.1平均數(shù)（mean，average)下一張

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4統(tǒng)計(jì)資料的特征數(shù)

平均數(shù)是統(tǒng)計(jì)學(xué)中最常用的統(tǒng)計(jì)量，反映數(shù)據(jù)資料的相對(duì)集中位置。平均數(shù)主要包括有：

算術(shù)平均數(shù)（arithmeticmean）中位數(shù)（median）眾數(shù)（mode）

幾何平均數(shù)（geometricmean）

調(diào)和平均數(shù)（harmonicmean）

4.1.1算術(shù)平均數(shù)（arithmeticmean)

算術(shù)平均數(shù)是指資料中各觀測(cè)值的總和除以觀測(cè)值個(gè)數(shù)所得的商，簡(jiǎn)稱平均數(shù)或均數(shù)，記為。算術(shù)平均數(shù)可根據(jù)樣本大小及分組情況而采用直接法或加權(quán)法計(jì)算。

1.直接法

主要用于樣本含量n≤30以下、未經(jīng)分組資料平均數(shù)的計(jì)算。下一張

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設(shè)某一資料包含n個(gè)觀測(cè)值：

x1、x2、…、xn，

則樣本平均數(shù)可通過(guò)下式計(jì)算：（2-1）

其中，Σ為總和符號(hào)；表示從第一個(gè)觀測(cè)值x1累加到第n個(gè)觀測(cè)值xn。當(dāng)在意義上已明確時(shí)，可簡(jiǎn)寫為Σx，（3-1）式可改寫為：下一張

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例：對(duì)食品科學(xué)專業(yè)2004級(jí)1班10位同學(xué)的體重進(jìn)行測(cè)定，測(cè)定結(jié)果分別為50.0、52.0、53.5、56.0、58.5、60.0、48.0、51.0、50.5、49.0（kg），求其平均數(shù)。

由于Σx=50.0+52.0+53.5+56.0+58.5+60.0+48.0+51.0+50.5+49.0=528.5，

n=10

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那么

10位同學(xué)的平均體重為52.85kg。

2.加權(quán)法對(duì)于樣本含量n≥30以上且已分組的資料，可以在次數(shù)分布表的基礎(chǔ)上采用加權(quán)法計(jì)算平均數(shù)，計(jì)算公式為：（2-2）下一張

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式中：—第i組的組中值；

—第i組的次數(shù)；

—分組數(shù)第i組的次數(shù)fi是權(quán)衡第i組組中值xi在資料中所占的比重大小，因此將fi

稱為是xi的“權(quán)”，加權(quán)法也由此而得名。

【例】100聽(tīng)罐頭凈重（單位：kg）資料整理成次數(shù)分布表如下，求其加權(quán)數(shù)平均數(shù)。下一張

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表2-3100聽(tīng)罐頭凈重的次數(shù)分布下一張

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組限組中值（x)次數(shù)（f）329.5-331.01332.5-334.03335.5-337.010338.5-340.026341.5-343.031344.5-346.017347.5-349.08350.5-352.02353.5-355.01356.5-358.01利用加權(quán)法計(jì)算平均數(shù)公式計(jì)算：

100聽(tīng)罐頭每聽(tīng)凈重的加權(quán)平均數(shù)為342.67g。

注意：

計(jì)算若干個(gè)來(lái)自同一總體的樣本平均數(shù)的平均數(shù)時(shí)，如果樣本含量不等，也應(yīng)采用加權(quán)法計(jì)算。

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【例】某牛群有黑白花奶牛1500頭，其平均體重為750kg，而另一牛群有黑白花奶牛1200頭，平均體重為725kg，如果將這兩個(gè)牛群混合在一起，其混合后平均體重為多少？此例兩個(gè)牛群所包含的牛的頭數(shù)不等，要計(jì)算兩個(gè)牛群混合后的平均體重，應(yīng)以兩個(gè)牛群牛的頭數(shù)為權(quán)，求兩個(gè)牛群平均體重的加權(quán)平均數(shù)，即下一張

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即兩個(gè)牛群混合后平均體重為738.89kg。3.平均數(shù)的基本性質(zhì)（1）樣本各觀測(cè)值與平均數(shù)之差的和為零，即離均差之和等于零?；蚝?jiǎn)寫成下一張

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（2）樣本各觀測(cè)值與平均數(shù)之差的平方和為最小，即離均差平方和為最小。

(xi-)2<(xi-a)2

（常數(shù)a≠）

或簡(jiǎn)寫為：<

對(duì)于總體而言，通常用μ表示總體平均數(shù)，有限總體的平均數(shù)為：下一張

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（2-3）式中，N表示總體所包含的個(gè)體數(shù)

統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用樣本平均數(shù)（）作為總體平均數(shù)（μ）的估計(jì)量，并已證明樣本平均數(shù)是總體平均數(shù)μ的無(wú)偏估計(jì)量。當(dāng)一個(gè)統(tǒng)計(jì)量的數(shù)學(xué)期望（數(shù)學(xué)意義上的均值）等于所估計(jì)的總體參數(shù)時(shí)，則稱此統(tǒng)計(jì)量為該總體參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量。下一張

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4.1.2中位數(shù)（median）

將資料內(nèi)所有觀測(cè)值由小到大依次排列，位于中間的那個(gè)觀測(cè)值，稱為中位數(shù)，記為Md。

當(dāng)觀測(cè)值的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，則以中間兩個(gè)觀測(cè)值的平均數(shù)作為中位數(shù)。當(dāng)所獲得的數(shù)據(jù)資料呈偏態(tài)分布時(shí)，中位數(shù)的代表性優(yōu)于算術(shù)平均數(shù)。下一張

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（1）當(dāng)觀測(cè)值個(gè)數(shù)n為奇數(shù)時(shí)，第(n+1)/2位置的觀測(cè)值，即x(n+1)/2為中位數(shù)：

Md=

（2）當(dāng)觀測(cè)值個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，第n/2和第（n/2+1）位置的兩個(gè)觀測(cè)值之和的1/2為中位數(shù)，即：

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（2-4）

【例】對(duì)9個(gè)小麥品種的容重進(jìn)行測(cè)定，測(cè)定結(jié)果為750、760、767、769、773、775、778、780、800（已排序），求其中位數(shù)。此例n=9，為奇數(shù)，則：

Md==773（g）

即九個(gè)小麥品種的中位數(shù)為773g。下一張

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4.1.3幾何平均數(shù)（geometricmean）

n個(gè)觀測(cè)值相乘之積開n次方所得的方根，稱為幾何平均數(shù)，記為G。它主要應(yīng)用于科學(xué)研究中的動(dòng)態(tài)分析，如微生物的增長(zhǎng)率、人口的增長(zhǎng)率等等。當(dāng)觀測(cè)值呈幾何級(jí)數(shù)變化時(shí)，用幾何平均數(shù)比用算術(shù)平均數(shù)更能代表其平均水平。其計(jì)算公式如下：

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(2-6)為了計(jì)算方便，可將各觀測(cè)值取對(duì)數(shù)后相加除以n，得lgG，再求lgG的反對(duì)數(shù)，即得G值，即

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4.1.4眾數(shù)（mode）

資料中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)觀測(cè)值或次數(shù)最多一組的組中值，稱為眾數(shù)，記為M0。

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4.1.5調(diào)和平均數(shù)（harmonicmean)

，資料中各觀測(cè)值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，稱為調(diào)和平均數(shù)，記為H，即（2—8）計(jì)算平均速率4.2變異數(shù)變異數(shù)的意義

用平均數(shù)作為樣本的代表，其代表性的強(qiáng)弱受樣本資料中各觀測(cè)值變異程度的影響。僅用平均數(shù)對(duì)一個(gè)資料的特征作統(tǒng)計(jì)描述是不全面的，還需引入度量資料中觀測(cè)值變異程度大小的統(tǒng)計(jì)量。常用的表示變異程度的統(tǒng)計(jì)量有全距、方差、標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)。下一張

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4.2.1全距（Range）

全距（極差）是表示資料中各觀測(cè)值變異程度大小最簡(jiǎn)便的統(tǒng)計(jì)量。

R＝Max-MinR值越大，平均數(shù)的代表性越差。但是全距只利用了資料中的最大值和最小值，沒(méi)有充分利用全部資料，并不能準(zhǔn)確表達(dá)資料中各觀測(cè)值的變異程度，是比較粗略的。當(dāng)資料很多而又要迅速對(duì)資料的變異程度作出判斷時(shí)，可以利用全距這個(gè)統(tǒng)計(jì)量。下一張

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為了準(zhǔn)確地表示樣本內(nèi)各個(gè)觀測(cè)值的變異程度，人們首先會(huì)考慮到以平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求出各個(gè)觀測(cè)值與平均數(shù)的離差，（），稱為離均差。雖然離均差能表示一個(gè)觀測(cè)值偏離平均數(shù)的性質(zhì)和程度，但因?yàn)殡x均差有正、有負(fù)，離均差之和為零，即Σ

=0，因而不能用離均差之和Σ（）來(lái)表示資料中所有觀測(cè)值的總偏離程度。下一張

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4.2.2方差（Variance）為了解決離均差有正、有負(fù)，離均差之和為零的問(wèn)題，可先求離均差的絕對(duì)值并將各離均差絕對(duì)值之和除以觀測(cè)值個(gè)數(shù)n求得平均絕對(duì)離差，即Σ||/n。雖然平均絕對(duì)離差可以表示資料中各觀測(cè)值的變異程度，但由于平均絕對(duì)離差包含絕對(duì)值符號(hào)，使用很不方便，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中未被采用。

采用將離均差平方的辦法來(lái)解決離均差有正、有負(fù)，離均差之和為零的問(wèn)題。先將各個(gè)離均差平方，即()2

，再求離均差平方和，即

，簡(jiǎn)稱平方和，記為SS；由于離差平方和常隨樣本大小而改變，為了消除樣本大小的影響，用平方和除以樣本大小，即

，求出離均差平方和的平均數(shù)；下一張

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為了使所得的統(tǒng)計(jì)量是相應(yīng)總體參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量，統(tǒng)計(jì)學(xué)證明，在求離均差平方和的平均數(shù)時(shí)，分母不用樣本含量n，而用自由度n-1，所以，我們采用統(tǒng)計(jì)量

表示資料的變異程度。統(tǒng)計(jì)量

稱為均方

（meansquare縮寫為MS）,又稱樣本方差，記為S2，即，VARS2=（2—9）下一張

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相應(yīng)的總體參數(shù)叫總體方差，記為σ2。對(duì)于有限總體而言，σ2的計(jì)算公式為：（2—10）統(tǒng)計(jì)學(xué)上把樣本方差

S2的平方根叫做樣本標(biāo)準(zhǔn)差，記為S，即：STDEV

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4.2.3標(biāo)準(zhǔn)差（Standdeviation)（2-11）由于所以（2-11）式可改寫為：下一張

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相應(yīng)的總體參數(shù)叫總體標(biāo)準(zhǔn)差，記為σ。對(duì)于有限總體而言，σ的計(jì)算公式為：

（2-12）

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，常用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差σ。

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4.2.4標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法1.直接法

對(duì)于未分組或小樣本資料，可直接利用定義公式來(lái)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差。

【例】10瓶罐頭的凈重（g）分別為450，450，500，500，500，550，550，550，600，600，650