2023屆湖南省桃江縣一中高三下學(xué)期聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知等差數(shù)列中,,,則數(shù)列的前10項和()A.100 B.210 C.380 D.4002.在直角坐標系中,已知A(1,0),B(4,0),若直線x+my﹣1=0上存在點P,使得|PA|=2|PB|,則正實數(shù)m的最小值是()A. B.3 C. D.3.已知平面,,直線滿足,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.即不充分也不必要條件4.在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中,P為A1D1的中點,若三棱錐P?ABC的四個頂點都在球O的球面上,則球O的表面積為()A.12 B. C. D.105.執(zhí)行如圖的程序框圖,若輸出的結(jié)果,則輸入的值為()A. B.C.3或 D.或6.已知底面為邊長為的正方形,側(cè)棱長為的直四棱柱中,是上底面上的動點.給出以下四個結(jié)論中,正確的個數(shù)是()①與點距離為的點形成一條曲線,則該曲線的長度是;②若面,則與面所成角的正切值取值范圍是;③若,則在該四棱柱六個面上的正投影長度之和的最大值為.A. B. C. D.7.函數(shù)且的圖象是()A. B.C. D.8.劉徽(約公元225年-295年),魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家,中國古典數(shù)學(xué)理論的奠基人之一他在割圓術(shù)中提出的,“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣”,這可視為中國古代極限觀念的佳作,割圓術(shù)的核心思想是將一個圓的內(nèi)接正n邊形等分成n個等腰三角形(如圖所示),當n變得很大時,這n個等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積,運用割圓術(shù)的思想,得到的近似值為()A. B. C. D.9.已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù),且滿足,當時,,則函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù)為()A.9 B.10 C.18 D.2010.設(shè)a,b,c為正數(shù),則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不修要條件11.設(shè)函數(shù)(,)是上的奇函數(shù),若的圖象關(guān)于直線對稱,且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),則()A. B. C. D.12.已知,是兩條不重合的直線,,是兩個不重合的平面,則下列命題中錯誤的是()A.若,,則或B.若,,,則C.若,,,則D.若,,則二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)函數(shù),當時,記最大值為,則的最小值為______.14.已知無蓋的圓柱形桶的容積是立方米,用來做桶底和側(cè)面的材料每平方米的價格分別為30元和20元,那么圓桶造價最低為________元.15.滿足線性的約束條件的目標函數(shù)的最大值為________16.已知平面向量與的夾角為,,,則________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在四棱錐中,底面是平行四邊形,底面.(1)證明:;(2)求二面角的正弦值.18.(12分)已知點,直線與拋物線交于不同兩點、,直線、與拋物線的另一交點分別為兩點、,連接,點關(guān)于直線的對稱點為點,連接、.(1)證明:;(2)若的面積,求的取值范圍.19.(12分)如圖,底面ABCD是邊長為2的菱形,,平面ABCD,,,BE與平面ABCD所成的角為.(1)求證:平面平面BDE;(2)求二面角B-EF-D的余弦值.20.(12分)如圖,在四棱錐中,平面,四邊形為正方形,點為線段上的點,過三點的平面與交于點.將①,②,③中的兩個補充到已知條件中,解答下列問題:(1)求平面將四棱錐分成兩部分的體積比;(2)求直線與平面所成角的正弦值.21.(12分)在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求的普通方程和的直角坐標方程;(2)把曲線向下平移個單位,然后各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋兜玫角€(縱坐標不變),設(shè)點是曲線上的一個動點,求它到直線的距離的最小值.22.(10分)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)(2)

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

設(shè)公差為,由已知可得,進而求出的通項公式,即可求解.【詳解】設(shè)公差為,,,,.故選:B.【點睛】本題考查等差數(shù)列的基本量計算以及前項和,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

設(shè)點,由,得關(guān)于的方程.由題意,該方程有解,則,求出正實數(shù)m的取值范圍,即求正實數(shù)m的最小值.【詳解】由題意,設(shè)點.,即,整理得,則,解得或..故選:.【點睛】本題考查直線與方程,考查平面內(nèi)兩點間距離公式,屬于中檔題.3、A【解析】

,是相交平面,直線平面,則“”“”,反之,直線滿足,則或//或平面,即可判斷出結(jié)論.【詳解】解:已知直線平面,則“”“”,反之,直線滿足,則或//或平面,“”是“”的充分不必要條件.故選:A.【點睛】本題考查了線面和面面垂直的判定與性質(zhì)定理、簡易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計算能力.4、C【解析】

取B1C1的中點Q,連接PQ,BQ,CQ,PD,則三棱柱BCQ?ADP為直三棱柱,此直三棱柱和三棱錐P?ABC有相同的外接球,求出等腰三角形的外接圓半徑,然后利用勾股定理可求出外接球的半徑【詳解】如圖,取B1C1的中點Q,連接PQ,BQ,CQ,PD,則三棱柱BCQ?ADP為直三棱柱,所以該直三棱柱的六個頂點都在球O的球面上,的外接圓直徑為,球O的半徑R滿足,所以球O的表面積S=4πR2=,故選:C.【點睛】此題考查三棱錐的外接球半徑與棱長的關(guān)系,及球的表面積公式,解題時要注意審題,注意空間思維能力的培養(yǎng),屬于中檔題.5、D【解析】

根據(jù)逆運算,倒推回求x的值,根據(jù)x的范圍取舍即可得選項.【詳解】因為,所以當,解得

,所以3是輸入的x的值;當時,解得,所以是輸入的x的值,所以輸入的x的值為

或3,故選:D.【點睛】本題考查了程序框圖的簡單應(yīng)用,通過結(jié)果反求輸入的值,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

①與點距離為的點形成以為圓心,半徑為的圓弧,利用弧長公式,可得結(jié)論;②當在(或時,與面所成角(或的正切值為最小,當在時,與面所成角的正切值為最大,可得正切值取值范圍是;③設(shè),,,則,即,可得在前后、左右、上下面上的正投影長,即可求出六個面上的正投影長度之和.【詳解】如圖:①錯誤,因為,與點距離為的點形成以為圓心,半徑為的圓弧,長度為;②正確,因為面面,所以點必須在面對角線上運動,當在(或)時,與面所成角(或)的正切值為最小(為下底面面對角線的交點),當在時,與面所成角的正切值為最大,所以正切值取值范圍是;③正確,設(shè),則,即,在前后、左右、上下面上的正投影長分別為,,,所以六個面上的正投影長度之,當且僅當在時取等號.故選:.【點睛】本題以命題的真假判斷為載體,考查了軌跡問題、線面角、正投影等知識點,綜合性強,屬于難題.7、B【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性,再取特殊值,利用零點存在性定理判斷函數(shù)零點分布情況,即可得解.【詳解】由題可知定義域為,,是偶函數(shù),關(guān)于軸對稱,排除C,D.又,,在必有零點,排除A.故選:B.【點睛】本題考查了函數(shù)圖象的判斷,考查了函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.8、A【解析】

設(shè)圓的半徑為,每個等腰三角形的頂角為,則每個等腰三角形的面積為,由割圓術(shù)可得圓的面積為,整理可得,當時即可為所求.【詳解】由割圓術(shù)可知當n變得很大時,這n個等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積,設(shè)圓的半徑為,每個等腰三角形的頂角為,所以每個等腰三角形的面積為,所以圓的面積為,即,所以當時,可得,故選:A【點睛】本題考查三角形面積公式的應(yīng)用,考查閱讀分析能力.9、B【解析】

由已知可得函數(shù)f(x)的周期與對稱軸,函數(shù)F(x)=f(x)在區(qū)間上零點的個數(shù)等價于函數(shù)f(x)與g(x)圖象在上交點的個數(shù),作出函數(shù)f(x)與g(x)的圖象如圖,數(shù)形結(jié)合即可得到答案.【詳解】函數(shù)F(x)=f(x)在區(qū)間上零點的個數(shù)等價于函數(shù)f(x)與g(x)圖象在上交點的個數(shù),由f(x)=f(2﹣x),得函數(shù)f(x)圖象關(guān)于x=1對稱,∵f(x)為偶函數(shù),取x=x+2,可得f(x+2)=f(﹣x)=f(x),得函數(shù)周期為2.又∵當x∈[0,1]時,f(x)=x,且f(x)為偶函數(shù),∴當x∈[﹣1,0]時,f(x)=﹣x,g(x),作出函數(shù)f(x)與g(x)的圖象如圖:由圖可知,兩函數(shù)圖象共10個交點,即函數(shù)F(x)=f(x)在區(qū)間上零點的個數(shù)為10.故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,屬于中檔題.10、B【解析】

根據(jù)不等式的性質(zhì),結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.【詳解】解:,,為正數(shù),當,,時,滿足,但不成立,即充分性不成立,若,則,即,即,即,成立,即必要性成立,則“”是“”的必要不充分條件,故選:.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結(jié)合不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.11、D【解析】

根據(jù)函數(shù)為上的奇函數(shù)可得,由函數(shù)的對稱軸及單調(diào)性即可確定的值,進而確定函數(shù)的解析式,即可求得的值.【詳解】函數(shù)(,)是上的奇函數(shù),則,所以.又的圖象關(guān)于直線對稱可得,,即,,由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間知,,即,綜上,則,.故選:D【點睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,由對稱軸、奇偶性及單調(diào)性確定參數(shù),屬于中檔題.12、D【解析】

根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì),可判定A;由線面平行的判定定理,可判斷B;C中可判斷,所成的二面角為;D中有可能,即得解.【詳解】選項A:若,,根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì),有或,故A正確;選項B:若,,,由線面平行的判定定理,有,故B正確;選項C:若,,,故,所成的二面角為,則,故C正確;選項D,若,,有可能,故D不正確.故選:D【點睛】本題考查了空間中的平行垂直關(guān)系判斷,考查了學(xué)生邏輯推理,空間想象能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

易知,設(shè),,利用絕對值不等式的性質(zhì)即可得解.【詳解】,設(shè),,令,當時,,所以單調(diào)遞減令,當時,,所以單調(diào)遞增所以當時,,,則則,即故答案為:.【點睛】本題考查函數(shù)最值的求法,考查絕對值不等式的性質(zhì),考查轉(zhuǎn)化思想及邏輯推理能力,屬于難題.14、【解析】

設(shè)桶的底面半徑為,用表示出桶的總造價,利用基本不等式得出最小值.【詳解】設(shè)桶的底面半徑為,高為,則,故,圓通的造價為解法一:當且僅當,即時取等號.解法二:,則,令,即,解得,此函數(shù)在單調(diào)遞增;令,即,解得,此函數(shù)在上單調(diào)遞減;令,即,解得,即當時,圓桶的造價最低.所以故答案為:【點睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用,注意驗證等號成立的條件,屬于基礎(chǔ)題.15、1【解析】

作出不等式組表示的平面區(qū)域,將直線進行平移,利用的幾何意義,可求出目標函數(shù)的最大值?!驹斀狻坑桑?,作出可行域,如圖所示:平移直線,由圖像知,當直線經(jīng)過點時,截距最小,此時取得最大值。由,解得,代入直線,得?!军c睛】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃問題的解法——平移法。16、【解析】

根據(jù)已知求出,利用向量的運算律,求出即可.【詳解】由可得,則,所以.故答案為:【點睛】本題考查向量的模、向量的數(shù)量積運算,考查計算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)【解析】

(1)利用正弦定理求得,由此得到,結(jié)合證得平面,由此證得.(2)建立空間直角坐標系,利用平面和平面的法向量,計算出二面角的余弦值,再轉(zhuǎn)化為正弦值.【詳解】(1)在中,由正弦定理可得:,,底面,平面,;(2)以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系,,設(shè)平面的法向量為,由可得:,令,則,設(shè)平面的法向量為,由可得:,令,則,設(shè)二面角的平面角為,由圖可知為鈍角,則,,故二面角的正弦值為.【點睛】本小題主要考查線線垂直的證明,考查空間向量法求二面角,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.18、(1)見解析;(2).【解析】

(1)設(shè)點、,求出直線、的方程,與拋物線的方程聯(lián)立,求出點、的坐標,利用直線、的斜率相等證明出;(2)設(shè)點到直線、的距離分別為、,求出,利用相似得出,可得出的邊上的高,并利用弦長公式計算出,即可得出關(guān)于的表達式,結(jié)合不等式可解出實數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)設(shè)點、,則,直線的方程為:,由,消去并整理得,由韋達定理可知,,,代入直線的方程,得,解得,同理,可得,,,,代入得,因此,;(2)設(shè)點到直線、的距離分別為、,則,由(1)知,,,,,,同理,得,,由,整理得,由韋達定理得,,,得,設(shè)點到直線的高為,則,,,,解得,因此,實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查直線與直線平行的證明,考查實數(shù)的取值范圍的求法,考查拋物線、直線方程、韋達定理、弦長公式、直線的斜率等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想,是難題.19、(1)證明見解析;(2)【解析】

(1)要證明平面平面BDE,只需在平面內(nèi)找一條直線垂直平面BDE即可;(2)以O(shè)為坐標原點,OA,OB,OG所在直線分別為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標系,分別求出平面BEF的法向量,平面的法向量,算出即可.【詳解】(1)∵平面ABCD,平面ABCD.∴.又∵底面ABCD是菱形,∴.∵,∴平面BDE,設(shè)AC,BD交于O,取BE的中點G,連FG,OG,,,四邊形OCFG是平行四邊形,平面BDE∴平面BDE,又因平面BEF,∴平面平面BDE.(2)以O(shè)為坐標原點,OA,OB,OG所在直線分別為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標系∵BE與平面ABCD所成的角為,,,,,,.,設(shè)平面BEF的法向量為,,,設(shè)平面的法向量設(shè)二面角的大小為..【點睛】本題考查線面垂直證面面垂直、面面所成角的計算,考查學(xué)生的計算能力,解決此類問題最關(guān)鍵是準確寫出點的坐標,是一道中檔題.20、(1);(2).【解析】

若補充②③根據(jù)已知可得平面,從而有,結(jié)合,可得平面,故有,而,得到,②③成立與①②相同,①③成立,可得,所以任意補充兩個條件,結(jié)果都一樣,以①②作為條件分析;(1)設(shè),可得,進而求出梯形的面積,可求出,即可求出結(jié)論;(2),以為坐標原點,建立空間坐標系,求出坐標,由(1)得為平面的法向量,根據(jù)空間向量的線面角公式即可求解.【詳解】第一種情況:若將①,②作為已知條件,解答如下:(1)設(shè)平面為平面.∵,∴平面,而平面平面,∴,又為中點.設(shè),則.在三角形中,,由知平面,∴,∴梯形的面積,,,平面

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