2023屆內(nèi)蒙古包頭市北方重工集團(tuán)三中高三一診考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則（）A．85 B． C．35 D．2．已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的漸近線方程為（）A． B． C． D．3．一個正三棱柱的正（主）視圖如圖，則該正三棱柱的側(cè)面積是（）A．16 B．12 C．8 D．64．若復(fù)數(shù)，則（）A． B． C． D．205．已知全集，集合，，則陰影部分表示的集合是（）A． B． C． D．6．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）A． B． C．7 D．27．以下三個命題：①在勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質(zhì)檢員每10分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行某項(xiàng)指標(biāo)檢測，這樣的抽樣是分層抽樣；②若兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1；③對分類變量與的隨機(jī)變量的觀測值來說，越小，判斷“與有關(guān)系”的把握越大；其中真命題的個數(shù)為（）A．3 B．2 C．1 D．08．函數(shù)（）的圖象的大致形狀是（）A． B． C． D．9．函數(shù)圖象的大致形狀是（）A． B．C． D．10．若干年前，某教師剛退休的月退休金為6000元，月退休金各種用途占比統(tǒng)計圖如下面的條形圖.該教師退休后加強(qiáng)了體育鍛煉，目前月退休金的各種用途占比統(tǒng)計圖如下面的折線圖.已知目前的月就醫(yī)費(fèi)比剛退休時少100元，則目前該教師的月退休金為（）.A．6500元 B．7000元 C．7500元 D．8000元11．已知是雙曲線的兩個焦點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于軸的直線與相交于兩點(diǎn)，若，則的內(nèi)切圓半徑為（）A． B． C． D．12．已知集合，則（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A0,a,B3,a+414．在邊長為2的正三角形中，，則的取值范圍為______.15．在的二項(xiàng)展開式中，所有項(xiàng)的系數(shù)的和為________16．已知二面角α﹣l﹣β為60°，在其內(nèi)部取點(diǎn)A，在半平面α，β內(nèi)分別取點(diǎn)B，C．若點(diǎn)A到棱l的距離為1，則△ABC的周長的最小值為_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）改革開放年，我國經(jīng)濟(jì)取得飛速發(fā)展，城市汽車保有量在不斷增加，人們的交通安全意識也需要不斷加強(qiáng).為了解某城市不同性別駕駛員的交通安全意識，某小組利用假期進(jìn)行一次全市駕駛員交通安全意識調(diào)查.隨機(jī)抽取男女駕駛員各人，進(jìn)行問卷測評，所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖如圖所示在分以上為交通安全意識強(qiáng).求的值，并估計該城市駕駛員交通安全意識強(qiáng)的概率；已知交通安全意識強(qiáng)的樣本中男女比例為，完成下列列聯(lián)表，并判斷有多大把握認(rèn)為交通安全意識與性別有關(guān)；安全意識強(qiáng)安全意識不強(qiáng)合計男性女性合計用分層抽樣的方式從得分在分以下的樣本中抽取人，再從人中隨機(jī)選取人對未來一年內(nèi)的交通違章情況進(jìn)行跟蹤調(diào)查，求至少有人得分低于分的概率.附：其中18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求曲線、的極坐標(biāo)方程；（2）在極坐標(biāo)系中，射線與曲線，分別交于、兩點(diǎn)（異于極點(diǎn)），定點(diǎn)，求的面積19．（12分）求函數(shù)的最大值．20．（12分）如圖，在四棱錐中，是等邊三角形，，，.（1）若，求證：平面；（2）若，求二面角的正弦值．21．（12分）已知函數(shù)，不等式的解集為.（1）求實(shí)數(shù)，的值；（2）若，，，求證：.22．（10分）如圖，在四棱柱中，平面平面，是邊長為2的等邊三角形，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．（Ⅲ）在線段上是否存在一點(diǎn)，使直線與平面所成的角正弦值為，若存在求出的長，若不存在說明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，求得，由此求得.【詳解】設(shè)公差為，則，所以，，，.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計算，考查等差數(shù)列前項(xiàng)和的計算，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

根據(jù)為等腰三角形，可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，又由的斜率為可得出關(guān)系，即可求出漸近線斜率得解.【詳解】如圖，因?yàn)闉榈妊切?，，所以?，又，，解得，所以雙曲線的漸近線方程為，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于中檔題.3、B【解析】

根據(jù)正三棱柱的主視圖，以及長度，可知該幾何體的底面正三角形的邊長，然后根據(jù)矩形的面積公式，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：該幾何體的底面正三角形的邊長為2所以該正三棱柱的三個側(cè)面均為邊長為2的正方形，所以該正三棱柱的側(cè)面積為故選：B【點(diǎn)睛】本題考查正三棱柱側(cè)面積的計算以及三視圖的認(rèn)識，關(guān)鍵在于求得底面正三角形的邊長，掌握一些常見的幾何體的三視圖，比如：三棱錐，圓錐，圓柱等，屬基礎(chǔ)題.4、B【解析】

化簡得到，再計算模長得到答案.【詳解】，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模，意在考查學(xué)生的計算能力.5、D【解析】

先求出集合N的補(bǔ)集，再求出集合M與的交集，即為所求陰影部分表示的集合.【詳解】由，，可得或，又所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了韋恩圖表示集合，集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)并結(jié)合已知可求出，再利用等差數(shù)列性質(zhì)可得，即可求出結(jié)果．【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)及前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題．7、C【解析】

根據(jù)抽樣方式的特征，可判斷①；根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，可判斷②；根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法和步驟，可判斷③．【詳解】①根據(jù)抽樣是間隔相同，且樣本間無明顯差異，故①應(yīng)是系統(tǒng)抽樣，即①為假命題；②兩個隨機(jī)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1；兩個隨機(jī)變量相關(guān)性越弱，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于0；故②為真命題；③對分類變量與的隨機(jī)變量的觀測值來說，越小，“與有關(guān)系”的把握程度越小，故③為假命題．故選：．【點(diǎn)睛】本題以命題的真假判斷為載體考查了抽樣方法、相關(guān)系數(shù)、獨(dú)立性檢驗(yàn)等知識點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．8、C【解析】

對x分類討論，去掉絕對值，即可作出圖象.【詳解】故選C．【點(diǎn)睛】識圖常用的方法(1)定性分析法：通過對問題進(jìn)行定性的分析，從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢，利用這一特征分析解決問題；(2)定量計算法：通過定量的計算來分析解決問題；(3)函數(shù)模型法：由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來分析解決問題．9、B【解析】

判斷函數(shù)的奇偶性，可排除A、C，再判斷函數(shù)在區(qū)間上函數(shù)值與的大小，即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以函?shù)是奇函數(shù)，可排除A、C；又當(dāng)，，可排除D；故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)表達(dá)式判斷函數(shù)圖像，屬于中檔題.10、D【解析】

設(shè)目前該教師的退休金為x元，利用條形圖和折線圖列出方程，求出結(jié)果即可．【詳解】設(shè)目前該教師的退休金為x元，則由題意得：6000×15%﹣x×10%＝1．解得x＝2．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查由條形圖和折線圖等基礎(chǔ)知識解決實(shí)際問題，屬于基礎(chǔ)題．11、B【解析】

首先由求得雙曲線的方程，進(jìn)而求得三角形的面積，再由三角形的面積等于周長乘以內(nèi)切圓的半徑即可求解.【詳解】由題意將代入雙曲線的方程,得則,由,得的周長為,設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為,則,故選：B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查三角形的內(nèi)心的概念，考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題.12、C【解析】

由題意和交集的運(yùn)算直接求出.【詳解】∵集合，∴.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集運(yùn)算.集合進(jìn)行交并補(bǔ)運(yùn)算時，常借助數(shù)軸求解.注意端點(diǎn)處是實(shí)心圓還是空心圓.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（-53，【解析】

求出AB的長度，直線方程，結(jié)合△ABC的面積為5，轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離進(jìn)行求解即可．【詳解】解：AB的斜率k=a+4-a3-0=4=3設(shè)△ABC的高為h，則∵△ABC的面積為5，∴S=12|AB|h=即h＝2，直線AB的方程為y﹣a=43x，即4x﹣3y+3若圓x2+y2＝9上有且僅有四個不同的點(diǎn)C，則圓心O到直線4x﹣3y+3a＝0的距離d=|3a|則應(yīng)該滿足d＜R﹣h＝3﹣2＝1，即|3a|5得|3a|＜5得-53＜故答案為：（-53，【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，求出直線方程和AB的長度，轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離是解決本題的關(guān)鍵．14、【解析】

建立直角坐標(biāo)系，依題意可求得，而，，，故可得，且，由此構(gòu)造函數(shù)，，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得取值范圍．【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，，，，根據(jù)，即，，，則，，即，，，則，，所以，，，，，，且，故，設(shè)，，易知二次函數(shù)的對稱軸為，故函數(shù)在，上的最大值為，最小值為，故的取值范圍為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，求解時注意通過設(shè)元、消元，將問題轉(zhuǎn)化為元二次函數(shù)的值域問題．15、1【解析】

設(shè)，令，的值即為所有項(xiàng)的系數(shù)之和?！驹斀狻吭O(shè)，令，所有項(xiàng)的系數(shù)的和為。【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式展開式所有項(xiàng)的系數(shù)的和的求法─賦值法。一般地，對于，展開式各項(xiàng)系數(shù)之和為，注意與“二項(xiàng)式系數(shù)之和”區(qū)分。16、【解析】

作A關(guān)于平面α和β的對稱點(diǎn)M，N，交α和β與D，E，連接MN，AM，AN，DE，根據(jù)對稱性三角形ADC的周長為AB+AC+BC＝MB+BC+CN，當(dāng)四點(diǎn)共線時長度最短，結(jié)合對稱性和余弦定理求解.【詳解】作A關(guān)于平面α和β的對稱點(diǎn)M，N，交α和β與D，E，連接MN，AM，AN，DE，根據(jù)對稱性三角形ABC的周長為AB+AC+BC＝MB+BC+CN，當(dāng)M，B，C，N共線時，周長最小為MN設(shè)平面ADE交l于，O，連接OD，OE，顯然OD⊥l，OE⊥l，∠DOE＝60°，∠MOA+∠AON＝240°,OA＝1，∠MON＝120°，且OM＝ON＝OA＝1，根據(jù)余弦定理，故MN2＝1+1﹣2×1×1×cos120°＝3，故MN．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查求空間三角形邊長的最值，關(guān)鍵在于根據(jù)幾何性質(zhì)找出對稱關(guān)系，結(jié)合解三角形知識求解.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、，概率為；列聯(lián)表詳見解析，有的把握認(rèn)為交通安全意識與性別有關(guān)；.【解析】

根據(jù)頻率和為列方程求得的值，計算得分在分以上的頻率即可；根據(jù)題意填寫列聯(lián)表，計算的值，對照臨界值得出結(jié)論；用分層抽樣法求得抽取各分?jǐn)?shù)段人數(shù)，用列舉法求出基本事件數(shù)，計算所求的概率值.【詳解】解：解得.所以，該城市駕駛員交通安全意識強(qiáng)的概率根據(jù)題意可知，安全意識強(qiáng)的人數(shù)有，其中男性為人，女性為人，填寫列聯(lián)表如下：安全意識強(qiáng)安全意識不強(qiáng)合計男性女性合計所以有的把握認(rèn)為交通安全意識與性別有關(guān).由題意可知分?jǐn)?shù)在，的分別為名和名，所以分層抽取的人數(shù)分別為名和名，設(shè)的為，，的為，，，，則基本事件空間為，，，，，，，，，，，，，，共種，設(shè)至少有人得分低于分的事件為，則事件包含的基本事件有，，，，，，，，共種所以.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)應(yīng)用問題，也考查了列舉法求古典概型的概率問題，屬于中檔題.18、（1），；（2）.【解析】

（1）先把參數(shù)方程化成普通方程，再利用極坐標(biāo)的公式把普通方程化成極坐標(biāo)方程；（2）先利用極坐標(biāo)求出弦長，再求高，最后求的面積．【詳解】（1）曲線的極坐標(biāo)方程為：，因?yàn)榍€的普通方程為：，曲線的極坐標(biāo)方程為；（2）由（1）得：點(diǎn)的極坐標(biāo)為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，，點(diǎn)到射線的距離為的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查普通方程、參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程之間的互化，同時也考查了利用極坐標(biāo)方程求解面積問題，考查計算能力，屬于中等題.19、【解析】

試題分析：由柯西不等式得試題解析：因?yàn)椋裕忍柈?dāng)且僅當(dāng)，即時成立．所以的最大值為．考點(diǎn)：柯西不等式求最值20、（1）詳見解析（2）【解析】

（1）如圖，作，交于，連接.因?yàn)?，所以是的三等分點(diǎn)，可得.因?yàn)?，，，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?又，平面，平面，所以平面.因?yàn)椋?、平面，所以平面平面，所以平?（2）因?yàn)槭堑冗吶切?，，所?又因?yàn)?，，所以，所?又，平面，，所以平面.因?yàn)槠矫?，所以平面平?在平面內(nèi)作平面.以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，，.設(shè)為平面的法向量，則，即，令，可得.設(shè)為平面的法向量，則，即，令，可得.所以，則，所以二面角的正弦值為.21、（1），.（2）見解析【解析】

（1）分三種情況討論即可（2）將，的值代入，然后利用均值定理即可.【詳解】解：（1）不等式可化為.即有或或.解得，或或.所以不等式的解集為，故，.（2）由（1