平面向量夾角的計算方法

平面向量夾角的計算方法【知識要點】一、兩個非零向量的夾角的概念rr uuotruuur . r已知非零向量a與b，作OA=a,OB=b,，則ZAOB=。（0<0<k）叫a與b的夾角.當(dāng)。=0時a與r rr 兀rr rrb同向；當(dāng)0=丸時，a與b反向；當(dāng)0=一時，a與b垂直，記a±b.2r（1） 對于0,不談它與其它向量的夾角問題.rr rr rr（2） a與b的夾角，記作va,b>，確定向量a與b的夾角時，必須把兩個向量平移到同一個起點.如： F- F 1- F- F- FvAB,AC>=ZA但是vAB,BC>。ZBvAB,BC>=兀一/B二、求兩個向量的夾角一般有兩種方法urr方法一：cosva,b>=^Laibi、.一r, 、r， 、 一r.r?.-. . 尤尤+vv方法二：設(shè)a=(x,v),b=(x,v)，0為向量a與b的夾角，則cos0 12 211 22 \：‘X2+J2.氣:‘X2+J2【方法講評】方法一urrrrag利用公式cosva,b>=rr求解.|a||b|使用情景一般沒有坐標背景.解題步驟urrrr.r..r. rrag先求ag，Ial,lbI，再代入公式cosva,b>=rr求解.|州rrrurrr rrrr【例1】已知x=a+b,v=2a+b,且Ia1=1b1=1,a±b.rur rur（1）求IxI和Ivl；（2）求x,v夾角的余弦值.【解析】（1）|jc|= +砂=+2拓思》尹=J1+0+1=再|(zhì)y|= 十4云舌+R-=J4十。+1=$x*v （由+舌）*（2由+S）M4-電?片+#很■備所以向量夾角的余弦值為日煎.rr公式cos<a,b>=【點評】（1）ia12=a2和iairr公式cos<a,b>=rr求解時，要先求ag，Ia1,1bI這些基本量，再代入公式.沖Irr rrrr rrr rr【反饋檢測1】已知a,b都是非零向量，且a+3b與7a-5b垂直，a-4b與7a-2b垂直，求a與b的夾角.方法二一.一- xx+yy利用公式COs9=} 12j12 求解.Jx2+y2.JX2+y2使用情景一般有坐標背景.解題步驟..rr.. 一,’卜 xx+yy ..先求出a,b的坐標，再代入公式cos9= 1212 求解.Jx;+y2.Jx2+y2【例2】如圖，函數(shù)y=2sin（兀i+甲）,xgR（其中0<^<^）的圖像與y軸交于點（0,1）.（I） 求中的值；uuuuuuu（II） 設(shè)P是圖像上的最高點，M、N是圖像與X軸的交點，求PM與PN的夾角的余弦.【解析】（I）因為函數(shù)圖像過點（0,1），~ 1所以2sin中=1,即sin中=—.2因為0<中<77，所以^=~2 6??rr...? xx+yy【點評】此類問題的一般步驟是：先求a,b的坐標，再cos0=._=匚_求解.學(xué)科@網(wǎng)x2+y2?:x2+y21 1*2 2【反饋檢測2】已知ia1=1,111=偵§,a+b=（v'3,i）,rr rrrr（1）試求Ia—bI；（2）a+b與a—b的夾角.參考答案rr ?！痉答仚z測1答案】。與/的夾角為y【反饋檢測1詳細解析】由題得(^+35>(72-5&)=0/.7^+16^2-15?=0(1)(?-4)<7^-2$)=0「.7：—3詬?并8亍=0Q)①-(珈需■否=歹』(3)把(3)代人(t)得|朱引?.?&E[O:7t\ :.招片的夾角為；,一…..— 2【反饋檢測2答案】(1)2；(2)3兀.rr ,—r——r— :r r~rl: r-r-【反饋檢測2詳細解析】(1)Ia-b1=\：'(a-b)2=\a2-2ag)+b2=<4—2agQIa+bI=2「.a2+2ag+b2=4rr rr:.2ag=0「.Ia-bf'4=2(2)設(shè)兩個向量的夾角為a，rrrrrrTOC\o"1-5"