平面向量方法總結(jié)

平面向量方法總結(jié)（帶

例題）【大全】本頁僅作為文檔封面，使用時(shí)可以刪除Thisdocumentisforreferenceonly-rar21year.March平面向■應(yīng)試技巧總結(jié)一.向量有關(guān)概念：向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段，為什么（向量可以平移）。如：已知人（1,2）,B（4,2），則把向量AB按向量a=（-1,3）平移后得到的向量是（答：（3,0））零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：0，注意零向量的方向是任意的； A —?單位向量：長度為一個(gè)單位長度的向量叫做單位向量（與AB共線的單位向量是+A￡）；一IABI相等向量：長度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向"、b叫做平行向量，記作：a〃b,規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線，但兩條直線平行不包含兩條直線重合；平行向量無傳遞性?。ㄒ?yàn)橛?）；三點(diǎn)A、B、C共線。AB、AC共線；6.相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是-a。如下列命題：（1）若|形時(shí)「則a=b。（2）兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同。⑶若AB=DC，則ABCD是平行四邊形。（4）若ABCD是平行四邊形，則—— —?—?AB=DC。（5）若a=b,b=c，則a=c。（6）若a//b,b//c，則a//c。其中正確的是 一一 （答：（4）（5））―?―?―?―? —>—>—>—>-三向量的表示方法： 一’ 一一.幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如AB,注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；—ir —.符號表示法：用一個(gè)小寫的英文字母來表示，如。,b,c等;■.坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與x軸、>軸方向相同的兩個(gè)單位向量―J為基底，則平面內(nèi)的任一向量a可表示為a=xi+yj=(x,y)，稱(x,y)為向量a的坐標(biāo)，a=(x,y)叫做向量a的坐標(biāo)表示。如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。 一一一平面向量的基本定理：如果勺和。2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量。有且只有一對實(shí)數(shù)x、X，使g"i+人e2。如1 2 11 22若a=(1,1)b=(1,-1),c=(—1,2)，則c=(答：1a—3b)；2能作為平面內(nèi)所有向量基底的是B.e1能作為平面內(nèi)所有向量基底的是B.e1—(—1,2),e2—(5,7)1 3D.e1—(2,—3),e2—(§,—丫(答:B)A.匕=(0,0),e2=(1,-2)C.e—(3,5),e—(6,10)已知AD,BE分別是AABC的邊BC,AC上的中線，且AD—a,BE-b,則BC可用向量a,b表示為(答：2a+-b)；3已知AABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且CD-2DB,CD-r~A^+s次，則r+s的值是 (答：0)實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)X與向量a的積是一個(gè)向量，記作Xa，它的長度和方向規(guī)定如1)xa—|x|a|,(2)當(dāng)X>0時(shí)，Xa的方向與a的方向相同，當(dāng)X<0時(shí)，Xa的方向與—■ —ta的方向相反，當(dāng)X=0時(shí)，Xa—0,注意：Xa夭0。平面向量的數(shù)量積:1.兩個(gè)向量的夾角：對于非零向量U,R作OA=Q,OB=b,ZAOB=e（0V。VTi）稱為向量U,方的夾角，當(dāng)。二。時(shí)，a,方同向’當(dāng)。二兀時(shí)，Q，'反向，當(dāng)。 >—? ?—?二巴時(shí)，a,b垂直。22.平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量云R它們的夾角為八我們把數(shù)量Iq1151cos。叫做i與方的數(shù)量積(或內(nèi)積或點(diǎn)積)，記作：a?&,即a9b=abcosOo規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0,注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量。如—?—?―?—?AABC中，I屈l=3,I招l(wèi)=4,I泌1=5,則ABBC=(答:-9)；TOC\o"1-5"\h\z1 兀已知.二(1,-),/?=(0,——),c=a+kb,d=a-b,c與』的夾角為一,則化等于2 4(答：1);—>- ―? ―? ―? ―? ? —? —? ―? ?已矢Wa=2,b=5,ab=-3,貝Ui+人等于(答：后)；.—> ―> —?—> —?—?已知a,人是兩個(gè)非零向量，且a=4=a-b,則a^a+b的夾角為(答：30)一一一一一一一一一°3.&在U上的投影為l/dcosO,它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于0。如已知I由=3,I舌1=5,且?舌=12,則向量2在向量舌上的投影為一 12(答：m4.。?方的幾何意義:數(shù)量積。?方等于。的模lil與方在。上的投影的積。5.向量數(shù)量積的性質(zhì):設(shè)兩個(gè)非零向量云R其夾角為。,則：i_LZ?=i?Z?=O；當(dāng)。，片同向時(shí)，a^b-ab,特別地，=a2.a= ；當(dāng)。與&反向時(shí)，a.b^-ab 為銳角時(shí)，八方>0,且。盤不同向，恥〉0是。為銳角的必要非充分條件;當(dāng)。為鈍角時(shí)，U?方<0「百Q(mào)、。不反向，亳?只6是可為鈍角的必要非充分條件；③非零向量。f °?b③非零向量。A夾角。的計(jì)算公式：cose=E?，④站對心泊1如。（1）已知廿=S,2人），舌=⑶,2），如果3與舌的夾角為銳角，則人的取值范圍是 … 4,、一1、（答：人<--或人>0且人主-）;1兵已知kOFQ的面積為S,且OF?TQ=1,若-<S ，則OF,FQ夾角0的取值范圍是 ,X.A-兀兀、(答：(QW));已知a=(cosx,sinx),b=(cosy,siny),a與b之間有關(guān)系式ka+b=J3\a-kb,其中上>0,①用k表示a?b；②求a?b的最小值，并求此時(shí)a與b的夾角0的大小一 一 一」s 1(合：①a?b= (k>0)；②最小值為5，0=60)4k 2向量的運(yùn)算：1.幾何運(yùn)算:向量加法：利用“平行四邊形法則”進(jìn)行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè)AB=a,BC=b,那么向量AC叫做a與b的和，艮口a+b=AB+BC=AC； ?—??—?—?—?向量的減法：用“三角形法則”：設(shè)AB=a,AC=b,那么a-b=AB-AC=CA，由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。注意：此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同。如 ?―??―? ―?―????化簡：①AB+BC+CD=—；②AB-AD-DC=；③(AB-CD)-(AC-BD)=(答：①AD；②CB；③0)；若正方形ABCD的邊長為1,AB=a,BC=b,AC=c，貝UIa+b+cI=一(合：2還)；若O是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)^滿足Ob-O^l=OB+OC-2OA"貝【JABC的形狀為―△△一一一一(答：直角三角形)；（4）若Z）為AABC的邊3C的中點(diǎn)，AA8C所在平面內(nèi)有一點(diǎn)F,滿足\AP\PA+BP+CP=QJ設(shè) 3,貝版的值為—\PD\（答:2）（5）若點(diǎn)0是AABC的夕卜心，且OA+OB+CO=0,則AABC的內(nèi)角C為（答:120）2.坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則：①向量的加減法運(yùn)算:a土b=(x土x,y±y)。如1 2 1 2(1)已知點(diǎn)A(2,3),B(5,4),C(7,10)，若AP=AB+XAC(XeR)，則當(dāng)人=時(shí)，點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上一一(答：1)；已知A(2,3),B(1,4),且1AB=(sinx,cosy),x,ye(-—,—)，貝Ux+y=TOC\o"1-5"\h\z2 22(答：—或-—)；

6 2已知作用在點(diǎn)A(1,1)的三個(gè)力F=(3,4),F=(2,-5),F=(3,1)，則合力F=F+F+F的1 2 3 1 2 3終點(diǎn)坐標(biāo)是(答：(9,1))實(shí)數(shù)與向量的積：Xa=X(x「七)=(人氣,Xy「。若A(x,y),B(x,y)，則AB=(x-x,y-y)，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的1 1 2 2 2 1 2 1有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。如設(shè)A(2,3),B(-1,5)，且AC=3aB,AD=3AB，則C、D的坐標(biāo)分別是 (答：(1,?),(-7,9))④平面向量數(shù)量積:a?b=xx+yy。如12 12—已知向量a=(sinx,cosx),b=(sinx,sinx),c=(-1,0)。(1)若x=§，求向3—— 1量a、c的夾角；(2)若xG[-普,彳],函數(shù)f(x)=Xa?b的最大值為2，求X的值(答：(1)150;(2)1或-顯-1)；⑤向量的模:Ia1=.頊x2+y2,a2=1a|2=x2+y2。如已知a,b均為單位向量，它們的夾角為60,那么|a+3b|=⑥兩點(diǎn)間的距離：若A(x,y),B(x,y)，貝/'11 2 2 /IABl=?x2-%、+(y2-yi)2。如如圖，在平面斜坐標(biāo)系xOy中，/xOy=60，平面上任一點(diǎn)P關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的：若OP=xe+ye,其中e,e分別為與x軸、y軸同方向的單位向量，則P點(diǎn)斜1 2 1 2坐標(biāo)為(x,y)。⑴若點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為(2,-2),求P到。的距離|PO|；(2)求以O(shè)為圓心，1為半徑的圓在斜坐標(biāo)系xOy中的方程。(答：(1)2；(2)x2+y2+xy-1=0)向量的運(yùn)算律:1.交換律1.交換律人。a)=(人p)a,結(jié)合律：a+b+c=(a+b)+c,a-b-c=a-(b+c),Ga)?b=X(a?b)=a?Gb)；分配律：(X+p)a=Xa+pa,人(a+b)=Xa+人b,(a+b)?c=a?c+b?c?！?/寸 ―、 —^—一 — ,寸 —、 /— — /T ”\ T卜列命題中：①a-(b-cX=a王--a-c/一②a-(b-c)=(a/)w土③(a-b)2=|aI2-21—I-1—I+I—12[④若—?—=0,貝—=0或—=0；⑤若a-b=c-b,貝a=c；⑥|a|2=a2；⑦Q=b；⑧(a?b)2=a2.b2；⑨(a-b)=a2-2a?b+b2。其中正確的是 a2a - --—— (答：①⑥⑨)—>■—> —>—> —>—>■—> —>—>—>—?—>提醒:(1)向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量，切記兩向量不能相除(相約)；(2)向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即a(b?c)豐(a?b)c，為什么？八.向量平行(共線)的充要條件:a//b=a=Xb=(a?b)2=(IaIIbI)2=xy-yx=0。如12 12若向量a=3,1),b=(4,x)，當(dāng)x=時(shí)a與b共線且方向相同已矢口a=(1,1)b=(4,x),u=a+2b,v=2a+b，且u//v，貝Ux—(答:4)TOC\o"1-5"\h\z—> —> __—?—? —? —> —?—? --設(shè)PA=(k,12),PB=(4,5),PC=(10,k)，則k—吐A,B,C共線(答：-2或11)九.向量垂直的充要條件:a±bOa-b=0OIa+b1=1a-bIoxx+yy=0.特別地12 12GAB+IAC)1(AB-蕓)。如ABACABAC-()已知OA=(-1,2),OB=(3,m)，若OA1OB，則m=3(答：2)(2)以原點(diǎn)O和A(4,2)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB,/B=90。，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是 (答：(1,3域(3,-1))；(3)已知n=(a,b),向量n1m，且n=m，則m的坐標(biāo)是 (合:(b,—a)或(—b,a))十.線段的定比分點(diǎn)：1.定比分點(diǎn)的概念：設(shè)點(diǎn)P是直線P1P2上異于P1、P2的任意一點(diǎn)，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)人，使PP=人PP，則人叫做點(diǎn)P分有向線段PP所成的比，P點(diǎn)叫做有向線段PP的以定比1 2 12 12為人的定比分點(diǎn)；2?人的符號與分點(diǎn)P的位置之間的關(guān)系冒P點(diǎn)在線段P1P2上時(shí)o人>0^P點(diǎn)在線段P1P2的延長線上時(shí)O人<-1；當(dāng)P點(diǎn)在線段P2P1的延長線上時(shí)O—1<X<0；若點(diǎn)P分有向線段PP所成的比為人，則點(diǎn)P分有向線段PP所成的比為1O如12 21 人若點(diǎn)P分AB所成的比為3，則A分BP所成的比為3.線段的定比分點(diǎn)公式：設(shè)P3,y)、P3,y),P(x,y)分有向線段PP所成的比為1 1 1 2 2 2 12則］y則］y=y+人y1+人特別地，當(dāng)人=1時(shí)，就得到線段P1P2的中點(diǎn)公式_x+xx-122一y+y。在使y二—用定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式時(shí)，應(yīng)明確(x,y),(x,y)、(x,y)的意義，即分別為分點(diǎn)，起點(diǎn)，終1 1 2 2點(diǎn)的坐標(biāo)。在具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件，靈活地確定起點(diǎn)，分點(diǎn)和終點(diǎn)，并根據(jù)這些點(diǎn)確定對應(yīng)的定比人。如若M(-3,-2),N(6,-1),且MP=-1W，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為3… 7、(答：(-6,-3))；已知A(a,0),B(3,2+a)，直線y=1ax與線段AB交于M，且AM=2MB，則a等于2一(答：2或-4)十"一.平移公式：如果點(diǎn)P(x,y)按向量a=(h,k)平移至P(x',y')，則，x'=x+h；曲線yf=y+kf(x,y)=0按向量a=(h,k)平移得曲線f(x-h,y-k)=0.注意：(1)函數(shù)按向量平移與平?！?gt;“左加右減”有何聯(lián)系？(2)向量平移具有坐標(biāo)不變性，可別忘了?。∪绨聪蛄縜把(2,-3)平移到(1,-2)，則按向量a把點(diǎn)(-7,2)平移到點(diǎn)(答：(-8,3));函數(shù)y=sin2x的圖象按向量a平移后，所得函數(shù)的解析式是y=cos2x+1,則a=(答：(十))12、向量中一些常用的結(jié)論：一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用；IIaI-1b11<1a土b!<1aI+IbI，特別地，當(dāng)a、b同向或有0=Ia+b1=1