平面向量概述

平面向量概述一.本章內(nèi)容本章共分兩大節(jié)。第一大節(jié)是“向量及其運(yùn)算”，內(nèi)容包括向量的概念、向量的加法與減法、實(shí)數(shù)與向量的積、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；線段的定比分點(diǎn)、平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、平移等。第二大節(jié)是“解斜三角形”。這一大節(jié)可以看成是向量知識的應(yīng)用，內(nèi)容包括正弦定理、余弦定理，解斜三角形應(yīng)用舉例和實(shí)習(xí)作業(yè)等。為擴(kuò)大學(xué)生的知識面，本章中還安排了兩個閱讀材料，即“向量的三種類型”和“人們早期怎樣測量地球的半徑”。本章重點(diǎn)是：（1） 向量的概念、向量的幾何表示和坐標(biāo)表示；（2） 向量的代數(shù)運(yùn)算法則，向量的數(shù)量積；（3） 線段的定比分點(diǎn)公式和中點(diǎn)公式、平移公式；（4） 解斜三角形.本章難點(diǎn)是：（1） 熟練運(yùn)用向量的概念、向量的幾何表示和坐標(biāo)表示；（2） 理解和運(yùn)用向量的運(yùn)算法則；（3） 已知兩邊和其中一邊的對角解斜三角形.5.1向量教學(xué)目標(biāo)理解向量、零向量、單位向量、向量的模的意義；理解向量的幾何表示，會用字母表示向量；了解平行向量、共線向量和相等向量的意義，并會判斷向量間平行（共線）、相等的關(guān)系；知識結(jié)構(gòu)：重點(diǎn)是向量的概念，相等向量的概念，向量的幾何表示.難點(diǎn)是向量概念的理解.教法建議：.采取實(shí)際問題的方式引入課題，通過具體實(shí)例使學(xué)生了解生活中除了表示大小的數(shù)量外，有時(shí)還要標(biāo)出方向，從而引出向量的概念.在講解實(shí)例時(shí)最好結(jié)合相應(yīng)幾何圖象配合，并充分發(fā)揮幾何圖形的直觀的特點(diǎn)，使學(xué)生在感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上建立概念，并理解向量概念的實(shí)質(zhì).讓學(xué)生列舉實(shí)際生活中向量還有哪些，如速度、力、加速度等.向量的概念是從物理中位移的概念抽象出來，而成為平面內(nèi)的一自由向量，因此教學(xué)時(shí)要注意把握概念的物理意義，理解有關(guān)概念的實(shí)際背景，有助于學(xué)生認(rèn)同新概念的合理性。引入向量概念之后，隨之帶來一系列相關(guān)概念是比較多的，如零向量，單位向量，相等向量，平行向量，共線向量.對于它們要抓住本質(zhì)特征，讓學(xué)生分析比較這些概念的區(qū)別與聯(lián)系.由于向量同時(shí)具有幾何圖象的特征，在學(xué)習(xí)時(shí)還要辯清它們在圖形中表現(xiàn)相等、平行的意義.對于單位向量與以前的單位長度的區(qū)別要給學(xué)生講解清楚，單位向量不止一個，因?yàn)橐硎静煌姆较?講清基本概念后，可讓學(xué)生歸納數(shù)量和向量的區(qū)別和聯(lián)系.對向量的位置不確定性的認(rèn)識，即向量是自由向量，可以通過把向量放在簡單幾何圖形中，體現(xiàn)共線與平行的關(guān)系，準(zhǔn)確理解相等向量的含義，在圖形中幫助學(xué)生體會向量的幾何特征和數(shù)量特征的統(tǒng)一.相等向量的定義也可以通過師生共同討論得到，如數(shù)量相等，是指大小相等的兩個數(shù)量，那模相等的兩個向量是否相等？單位向量是否相等？讓學(xué)生思考總結(jié)得到定義.5.2向量的加法與減法教學(xué)目標(biāo)掌握向量的加法的定義，會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量;?掌握向量加法的交換律和結(jié)合律，并會用它們進(jìn)行向量計(jì)算；明確相反向量的意義，掌握向量的減法，會作兩個向量的差向量；在正確掌握向量加法減法運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上能結(jié)合圖形進(jìn)行向量的計(jì)算， 將數(shù)和形有機(jī)結(jié)合，并能利用向量運(yùn)算完成簡單的幾何證明；知識結(jié)構(gòu)：重點(diǎn)是向量的加法和向量的減法的定義、運(yùn)算、幾何表示.難點(diǎn)是對向量加減法定義的理解及向量加法，減法運(yùn)算時(shí)方向的確定.教法建議：向量的加法可以從實(shí)際問題引入，例如可以從物理上的位移入手，位移也是向量的一種，那么向量和的定義也是一致的.從而使學(xué)生有物理上的位移直觀理解向量和的定義，然后再從數(shù)學(xué)的角度定義向量的三角形法則.給學(xué)生說明三角形法則對于一切向量都適合，但物理習(xí)慣用的平行四邊形法則對于共線向量不適合，要讓學(xué)生特別注意.向量的減法引入之前，要給學(xué)生講清相反向量的意義和表示方法.掌握向量的加法和減法法則時(shí)，一方面要用形來幫助理解，另一方面還可以從特殊位置到一般位置去認(rèn)識，如共線的，共起點(diǎn)的，共終點(diǎn)的等特殊關(guān)系的運(yùn)算熟悉法則的使用.讓學(xué)生結(jié)合圖形，歸納總結(jié)向量和的性質(zhì)，如向量的方向，模等與兩向量間的關(guān)系.對于加法的結(jié)合律讓學(xué)生通過圖形自己檢驗(yàn)，一方面可以熟悉向量的加法，還可以理解結(jié)合律.由于向量的加法滿足結(jié)合律，和交換律，所以向量的加法中向量的個數(shù)可以推廣到n個即n個向量 且按向量加法的三角形法則可以得到n個向量相加的法則是：以前一個向量的終點(diǎn)作為下一個向量的起點(diǎn)，相繼作出向量 ’?，再以第一個向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，最后一個向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)作向量，這個向量就是所求的這 n個向量的和.5.3實(shí)數(shù)與向量的積教學(xué)目標(biāo)掌握實(shí)數(shù)與向量的積的定義以及實(shí)數(shù)與向量的積的三條運(yùn)算律， 會利用實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算；理解兩個向量共線的充要條件，能根據(jù)條件判斷兩個向量是否共線；了解平面向量基本定理，能作出由一組基底表示的向量， 能用給定圖形上的一組基底表示指定的向量；知識結(jié)構(gòu)：重點(diǎn)是實(shí)數(shù)與向量的積的定義、運(yùn)算律，向量共線的充要條件，平面向量基本定理難點(diǎn)是共線向量充要條件及平面向量基本定理的理解.教法建議：可以通過物理中力與加速度的關(guān)系f=na,位移與速度的關(guān)系s=vt等實(shí)際問題引入實(shí)數(shù)與向量的積.從實(shí)際問題出發(fā)引入新課，不但展示了教學(xué)的主要內(nèi)容，而且還激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.實(shí)數(shù)與向量的三個運(yùn)算律，為了降低難度課本上沒有證明，可以結(jié)合圖形給學(xué)生直觀解釋，程度好的學(xué)生可以適當(dāng)指導(dǎo)給出證明，證明的關(guān)鍵是向量的兩要素：方向和大小.由于學(xué)生已理解共線向量，因此可以讓學(xué)生觀察共線向量間的關(guān)系，可以提示從方向和大小兩個方面來考慮.然后指出向量共線的充要條件實(shí)質(zhì)上是由實(shí)數(shù)與向量的積得到的.給學(xué)生說明定理的作用，通常用來判斷三點(diǎn)在同一條直線上或兩直線平行，要指出與平面中直線間的平行的區(qū)別.平面向量本定理可以從物理上力的分解來引入， 學(xué)生對于力的分解比較熟悉，使學(xué)生首先對定理的應(yīng)用有所了解.定理是向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)，因此要學(xué)生理解基底的意義.由于不要求證明該定理，只要學(xué)生會用即可，所以教學(xué)中要側(cè)重于它的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識的能力.5.4平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算教學(xué)目標(biāo)1.理解平面向量的坐標(biāo)的概念，會寫出給定向量的坐標(biāo)，會作出已知坐標(biāo)表示的向量；2.掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，能準(zhǔn)確表述向量的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)運(yùn)算法則，并能進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力；.會根據(jù)平面向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線；知識結(jié)構(gòu)重點(diǎn)是理解平面向量的坐標(biāo)表示，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量平行的充要條件的坐標(biāo)表示.難點(diǎn)是對平面向量坐標(biāo)表示的理解.教法建議1.為了便于學(xué)生接受向量的坐標(biāo)表示，正確理解這一概念，在教學(xué)過程中可采用類比的教學(xué)方法.一開始從平面上的點(diǎn)與坐標(biāo)的關(guān)系入手，在復(fù)習(xí)平面向量基本定理之后，引出向量的坐標(biāo)問題.在學(xué)習(xí)的過程中采用指導(dǎo)閱讀、講解相結(jié)合，以達(dá)到提高學(xué)生閱讀理解能力.向量是數(shù)形結(jié)合的一個典范.學(xué)好向量坐標(biāo)表示這一內(nèi)容，能進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生對代數(shù)幾何關(guān)系的理解，運(yùn)用代數(shù)幾何化，幾何代數(shù)化的方法從多角度思維，對于培養(yǎng)學(xué)生正確的數(shù)學(xué)觀有著重要的作用.在研究向量坐標(biāo)運(yùn)算及簡單應(yīng)用時(shí)，有意滲透數(shù)形結(jié)合思想.教學(xué)中應(yīng)使學(xué)生明確任意向量都與唯一的實(shí)數(shù)對一一對應(yīng)，這不僅使向量的坐標(biāo)表示成為可能，也使表示向量的坐標(biāo)與向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)的具體位置沒有關(guān)系.充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，開展自學(xué)活動，通過類比，聯(lián)想發(fā)現(xiàn)，解決問題.本節(jié)在引導(dǎo)學(xué)生理解向量坐標(biāo)表示的意義后，可以放手讓學(xué)生自己研究獲得向量坐標(biāo)運(yùn)算的方法以及平行向量的坐標(biāo)表示.5.在講解向量平行的坐標(biāo)表示時(shí)，首先要掌握好向量平行的充要條件從中得到相等的向量，再根據(jù)相等向量坐標(biāo)相同得出關(guān)系式.為此可先通過復(fù)習(xí)讓學(xué)生掌握好向量平行充要條件，相等向量坐標(biāo)關(guān)系，為新知識的學(xué)習(xí)做好鋪墊.5.5線段的定比分點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)?理解點(diǎn)P分有向線段所成的比入的含義，能確定入的正負(fù)號；2.掌握有向線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)的坐標(biāo)公式，并能熟練運(yùn)用這兩個公式解決實(shí)際問題；知識結(jié)構(gòu)重點(diǎn)是線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用.難點(diǎn)是利用線段定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式解題時(shí)確定 入的值.教法建議1.本節(jié)課通過共線向量引入來介紹，一點(diǎn)分一條有向線段所成比的概念，結(jié)合圖形講清入的符號情況，讓學(xué)生理解符號正負(fù)的確定是由方向確定的，另外要注意比值的順序始點(diǎn)、分點(diǎn)、終點(diǎn)，入值是求解線段定比分點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)鍵.本節(jié)是運(yùn)用已有知識推導(dǎo)出新的結(jié)論，因此可以以學(xué)生推導(dǎo)、分析、總結(jié)為主，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)概念分析問題、解決問題的能力.對“數(shù)形結(jié)合”這一數(shù)學(xué)思想的滲透貫穿于本節(jié)課的始終，作為本節(jié)課的一條主線.3?通過具體例題及練習(xí)讓學(xué)生掌握公式的應(yīng)用，尤其是 入值的確定?讓學(xué)生通過例題練習(xí)歸納總結(jié)規(guī)律.5.6平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律教學(xué)目標(biāo)正確理解平面向量的數(shù)量積的概念，能夠運(yùn)用這一概念求兩個向量的數(shù)量積，并能根據(jù)條件逆用等式求向量的夾角；掌握平面向量的數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律，并能運(yùn)用這些性質(zhì)與運(yùn)算律解決有關(guān)問題；掌握向量垂直的充要條件，根據(jù)兩個向量的數(shù)量積為零證明兩個向量垂直；由兩個向量垂直確定參數(shù)的值；了解用平面向量數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題；知識結(jié)構(gòu)重點(diǎn)是平面向量的數(shù)量積概念及其性質(zhì)、運(yùn)算律，向量垂直的條件.難點(diǎn)是平面向量的數(shù)量積的概念，平面向量的數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律，以及平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用?教學(xué)建議本節(jié)內(nèi)容分為兩課時(shí)，一是平面向量的數(shù)量積的概念及運(yùn)算性質(zhì)，二是平面向量的數(shù)量積的運(yùn)用.因?yàn)閷W(xué)生在物理學(xué)科中已經(jīng)學(xué)過矢量及矢量運(yùn)算， 所以可從物理知識引入，由此也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識與其他學(xué)科的聯(lián)系，引起學(xué)生的興趣，而且讓學(xué)生了解所學(xué)內(nèi)容在實(shí)際生活中的具體運(yùn)用.在定義了向量的數(shù)量積的運(yùn)算后，啟發(fā)學(xué)生由實(shí)數(shù)的乘法的運(yùn)算性質(zhì)猜想向量乘法的運(yùn)算性質(zhì)，再引導(dǎo)學(xué)生自主探索研究其運(yùn)算性質(zhì).引導(dǎo)學(xué)生觀察平面向量的數(shù)量積公式的結(jié)構(gòu)特征， 歸納其功能——知三求一，從而發(fā)現(xiàn)其應(yīng)用類型，即求長度或角度，特殊情況下就是垂直關(guān)系的證明依據(jù)了 ^兩向量的數(shù)量積是兩向量間乘法的一種，是學(xué)生以前所未接觸到的新的乘法，與以前數(shù)量間的乘法、實(shí)數(shù)與向量間的乘法有很大區(qū)別，因此運(yùn)算法則、運(yùn)算律都要重新定義，學(xué)生對于概念和運(yùn)算法則的理解和掌握有些困難.它與實(shí)數(shù)的乘法的概念，性質(zhì)及運(yùn)算律有聯(lián)系也有區(qū)別，這一區(qū)別是教學(xué)的重點(diǎn)也是學(xué)生學(xué)習(xí)研究的難點(diǎn)?平面向量的數(shù)量積是解決有關(guān)長度，角度等問題的重要工具，特別是證明垂直關(guān)系的重要依據(jù)，平面向量的數(shù)量積的作用是顯而易見的，但對于學(xué)生來講，接受新定義，理解新運(yùn)算，認(rèn)識新法則都需要一定的時(shí)間，應(yīng)用這一知識也就有一定的困難.5.7平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示教學(xué)目標(biāo)掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和運(yùn)算，掌握向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件，掌握平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式.根據(jù)向量的坐標(biāo)計(jì)算它們的數(shù)量積，由數(shù)量積的坐標(biāo)形式求兩個向量的夾角.運(yùn)用向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件解決有關(guān)問題， 特別是運(yùn)用坐標(biāo)法證明兩個向量垂直.根據(jù)已知條件靈活運(yùn)用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式.知識結(jié)構(gòu)重點(diǎn)是平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，及向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件.難點(diǎn)是平面向量數(shù)量積的兩種形式的內(nèi)在聯(lián)系及有關(guān)知識的靈活運(yùn)用教法建議平面向量的數(shù)量積這個實(shí)數(shù)如何用坐標(biāo)表示，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合這種重要思想方法的很好內(nèi)容，在教學(xué)中抓住數(shù)形結(jié)合這條主線，不但推出了兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和，推出平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，并應(yīng)用平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示解決問題，這樣不但能夠提高學(xué)生的解題能力，而且培養(yǎng)學(xué)生會運(yùn)用數(shù)形結(jié)合這種重要思想方法.本節(jié)課開始時(shí)應(yīng)向?qū)W生指出： 對平面向量的數(shù)量積的研究不能僅僅停留在幾何角度， 還要尋求其坐標(biāo)表示；在引入新知識之前應(yīng)復(fù)習(xí)前面的有關(guān)知識，如平面向量，兩個向量的和與差，實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)表示，以及平面向量的基本定理.3?應(yīng)將平面向量數(shù)量積的兩種形式結(jié)合起來， 交待等式--14H其中八 ?.這個等式體現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合，揭示了數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系.平面向量數(shù)量積的兩種形式表明了向量是數(shù)與形的結(jié)合體，它們互相滲透，彼此作用，也應(yīng)是教學(xué)的一個重點(diǎn)；而學(xué)生對它們的聯(lián)系是陌生的，所以在理解上有一定的難度另外，根據(jù)已知條件，選擇恰當(dāng)?shù)男问?坐標(biāo)法與向量法)解決問題是學(xué)生學(xué)習(xí)的又一難點(diǎn).教學(xué)中注意設(shè)計(jì)綜合性問題，加強(qiáng)與前段知識的聯(lián)系.5.8平移教學(xué)目標(biāo)了解平移的概念及平移的幾何意義；掌握平移的公式及其推導(dǎo)過程， 會用平移公式解決有關(guān)點(diǎn)的平移、 化簡函數(shù)式及求平移向量等有關(guān)問題；知識結(jié)構(gòu)重點(diǎn)是平移公式的推導(dǎo)過程及其應(yīng)用.平難點(diǎn)本節(jié)難點(diǎn)是平移公式在函數(shù)圖象平移中的應(yīng)用教法建議1.在學(xué)生熟悉二次函數(shù)圖像基礎(chǔ)上，不妨徑直提出問題：拋物線y=(x—2)2+3怎樣運(yùn)動后，它可有簡單的表達(dá)式y(tǒng)=x2?經(jīng)驗(yàn)表明，多數(shù)學(xué)生能有正確答案，從而較順利引入本課的主題.類比力學(xué)中鋼體平動引入幾何圖形上點(diǎn)的平移變換. 用位移向量導(dǎo)出平移公式.通過例題與練習(xí)的解答與分析講解，使學(xué)生掌握平移變換問題求解的操作步驟，并逐步理解它的幾何涵義.小結(jié)時(shí)強(qiáng)調(diào)平移變換特征，點(diǎn)明典型問題的基本形式，在最后的引申和思考中，對學(xué)有余力的學(xué)生適當(dāng)拓寬點(diǎn)變換的形式.使他們在后續(xù)課程中對這一重要思想方法有更好的理解與掌握.在教學(xué)過程中結(jié)合圖形講解， 使學(xué)生理解平移圖象的目的，關(guān)鍵是把平移看成兩個點(diǎn)集之間的映射，要分清原象與象，對應(yīng)法則，突數(shù)與形的轉(zhuǎn)換.5.9正弦定理、余弦定理教學(xué)目標(biāo)1.了解利用向量知識推導(dǎo)正弦定理和余弦定理；掌握正弦定理和余弦并會利用計(jì)算器解2.掌握正弦定理和余弦并會利用計(jì)算器解定理，能運(yùn)用正弦定理和余弦定理解斜三角形，決解斜三角形中復(fù)雜的計(jì)算問題；3?會判定已知兩邊和其中一邊的對角解斜三角形的解時(shí)一解、兩解或無解；知識結(jié)構(gòu)運(yùn)用平面向量的數(shù)量積推導(dǎo)出三角形的正弦定理和余弦定理，連同三角形、三角函數(shù)的其它知識作為工具，比較系統(tǒng)地研究了斜三角形求解這個課題?知識結(jié)構(gòu)可用框圖表示如下：重點(diǎn)是正弦定理和余弦定理及其推導(dǎo)過程，正弦定理、余弦定理的運(yùn)用.難點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)是運(yùn)用正弦定理和余弦定理解斜三角形.教法建議1.復(fù)習(xí)提問勾股定理，解直角三角形基本情況，通過直角三角形的特殊性的得到正弦定理的一般形式，然后引入新課.?可先通過直角三角形特殊性質(zhì)引導(dǎo)學(xué)生推出正弦定理形式，如要研究直角 A^B中的邊角關(guān)系，若C為直角，則有一：二二‘，i二二1，這兩個等式間存在關(guān)系嗎？學(xué)生可ab以得到 ，進(jìn)一步提問，等式能否與邊c和 建立聯(lián)系？從而得到正弦定理.利用向量法證明正弦定理時(shí)關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生如何通過向量的數(shù)量積把三角形的邊長和三角函數(shù)聯(lián)系起來，由于向量中與三角函數(shù)有聯(lián)系是數(shù)量積， 而且是余弦，如何選擇輔助向量來建立聯(lián)系？教學(xué)中在關(guān)鍵處設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生主動探究，使學(xué)生對正弦定理的導(dǎo)出有透徹的理解.?正弦定理的其它證明方法可讓學(xué)生課后探討：傳統(tǒng)的幾何法，可以利用三角形面積￡迪叮二一dri?sinC=-acsin3=-beAL-i-abcL-i從而得到正弦定理.2過點(diǎn)A作圓的直徑還可以通過圓內(nèi)接三角形證明5RAD連接CD,則b2R各式中分別除以2在從而得到正弦定理.2過點(diǎn)A作圓的直徑還可以通過圓內(nèi)接三角形證明5RAD連接CD,則b2R各式中分別除以2在頃sin￡ADC利用向量也可采用如下方法：過，同理可得到其它邊角關(guān)系，即可證得.勺頂點(diǎn)A作BC邊上的高，垂足為D.(1)當(dāng)D落在邊BC上時(shí)，':的夾角為，由于-二、［一'在」1方向上的射影相等，有數(shù)量積的幾何意義可知

I 所以bc二一1一.■.'1./即一匚一三一二匚(2)當(dāng)D落在BC的延長線上時(shí)，同樣可以證得.4?運(yùn)用正弦定理解已知兩角和任一邊及已知兩邊和其中一邊的對角這兩個類型的問題，在教學(xué)中緊緊抓住這一點(diǎn)啟發(fā)學(xué)生得出具有什么條件的三角形能夠運(yùn)用正弓3。定理，這樣時(shí)學(xué)生能正確運(yùn)用正弦定理解題. 其中例題講A00解時(shí)，對于解的不同情況，用圖形展示出來，以幫助學(xué)生理解. D(5)余弦定理的證明也可先有直角三角形特例引入， 讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例，使學(xué)生理解兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系，將新知識納入已有的知識結(jié)構(gòu)中去，為講解余弦定理打下基礎(chǔ).讓學(xué)生探討余弦定理及其變形公式的應(yīng)用條件，更好的理解定理及其應(yīng)用.5.10解斜三角形應(yīng)用舉例教學(xué)目標(biāo).掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法， 會利用解任意三角形的知識解決一些實(shí)際問題；.能夠在解斜三角形應(yīng)用過程中，靈活地選擇正弦定和余弦定理；知識結(jié)構(gòu)重點(diǎn)利用解斜三角形解決相關(guān)實(shí)際問題.解斜三角形知識在生產(chǎn)實(shí)踐中有著廣泛的應(yīng)用，解斜三角形有關(guān)的實(shí)際問題過程，貫穿了數(shù)學(xué)建模的思想.這種思想就是從實(shí)際出發(fā)，經(jīng)過抽象概括，把它轉(zhuǎn)化為具體問題中的數(shù)學(xué)建模，然后通過推理演算，得出數(shù)學(xué)模型的解，再還原成實(shí)際問題的解.強(qiáng)化上述思維過程，既是本節(jié)的重點(diǎn)，又是本節(jié)難點(diǎn).難點(diǎn)是運(yùn)算問題，由于將正弦定理、余弦定理看成幾個“方程“，那么解三角形的應(yīng)用題實(shí)質(zhì)上就是把已知信息按方程的思想進(jìn)行處理，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)已知和未知合理選擇一個“容易解”的方程，從而是解題過程簡潔.同時(shí)，由于具體問題中給出的數(shù)據(jù)通常是近似值，故運(yùn)算過程一般較為復(fù)雜，必須借助于計(jì)算器計(jì)算，因此要加強(qiáng)訓(xùn)練，達(dá)到“算法簡煉，算式工整，計(jì)算準(zhǔn)確”的要求.教法建議1.復(fù)習(xí)提問正弦定理、余弦定理以及分別用它們解斜三角形的基本情況，而后指明，實(shí)際問題形式多樣，簡單結(jié)論不能概括，提出新的例題引入新課.2.在教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生重視分析題意，理解問題的實(shí)際背景， 如何將實(shí)際問題中的各種要素提出來，分清已知與所求，根據(jù)題意畫出示意圖，確定所需的數(shù)學(xué)知識，從而建立數(shù)學(xué)模型.根據(jù)數(shù)學(xué)模型啟發(fā)學(xué)生正確運(yùn)用正弦定理和余弦定理，在演算過程中，力求算法簡練，算式工整，計(jì)算正確，并且自己作出示范，嚴(yán)格要求學(xué)生.講解例題時(shí)不妨讓學(xué)生討論歸納出應(yīng)用題一般思路， 數(shù)學(xué)模型的建立，從而能使學(xué)生更好的掌握.如果有條件，最好采用多媒體演示例題中模型，幫助學(xué)理解問題的背景，建立模型，同時(shí)要求學(xué)生要注意觀察周圍生活的事物.向量----思維的全新視角、教學(xué)的最佳契機(jī)向量是新教材增加的內(nèi)容，無論是對于教師還是學(xué)生都是新的，作為學(xué)生，接觸到新的內(nèi)容，不僅增大了知識的容量，而且由于立足于向量這一新的視角，進(jìn)一步拓寬了思維的渠道。作為教師不僅要學(xué)習(xí)新內(nèi)容，而且要從思想方法上研究新內(nèi)容的內(nèi)涵實(shí)質(zhì)，修整原有的認(rèn)知，用向量的觀點(diǎn)研究以往教材的知識結(jié)構(gòu)體系，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用向量解決問題的意識。向量教學(xué)是發(fā)展創(chuàng)新意識與創(chuàng)新能力的極佳契機(jī)。在這一章的教學(xué)中，學(xué)生的反饋并不如教師心中之預(yù)料，一些教師認(rèn)為這一章內(nèi)容安排思路清晰并不難，只是概念多了一些。但學(xué)生卻覺得這一章內(nèi)容比較抽象，就拿向量的概念來說就覺得不太好把握，究其原因，是因?yàn)橄蛄渴羌扔写笮∮钟蟹较虻牧?，與以往所學(xué)的數(shù)量、長度大不相同，向量的形式運(yùn)算是多次抽象的結(jié)果，如果學(xué)習(xí)的方法不當(dāng)，就會產(chǎn)生枯燥無味的感覺。筆者以為，這一章的內(nèi)容雖然概念多，但大都有其物理上的來源，雖然抽象，卻與圖形有著密切的聯(lián)系，向量應(yīng)用的優(yōu)越性也是非常明顯的。恰當(dāng)?shù)慕膛c學(xué)，使得向量不僅生動有趣，而且是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神與能力的極佳契機(jī)。、突出概念、定理的抽象概括過程向量的概念是從物理中位移的概念抽象出來，而成為平面內(nèi)的一自由向量，雖然是抽象的形式符號，依然可以以位移為背景圖象，理解上并不困難。因此教學(xué)時(shí)要注意把握概念的物理意義，理解有關(guān)概念的實(shí)際背景，有助于學(xué)生認(rèn)同新概念的合理性。在概念引入時(shí)，如果回避知識的產(chǎn)生過程，生搬概念從而迅速進(jìn)入解題階段，忽略對問題的感悟進(jìn)而導(dǎo)致對問題的一知半解。例如在向量的加法教學(xué)中，如果一上來就按照課本給出加法的三角形法則，就會造成學(xué)生的生搬硬套。我的經(jīng)驗(yàn)是直接提出問題：應(yīng)該怎樣定義兩個向量的加法？你在物理中能找到那些依據(jù)？數(shù)學(xué)與物理的結(jié)合頓時(shí)使同學(xué)們產(chǎn)生一種新鮮感與一股探求的欲望，從而進(jìn)入一種緊張的思維狀態(tài)，在大腦中積極主動的搜尋能抽象出兩個向量加法的實(shí)際背景。經(jīng)過討論很快就達(dá)成共識，有兩種物理原型：位移的求和與力的求和。這樣學(xué)生不僅能正確的表述出怎樣求兩向量的和，而且發(fā)現(xiàn)這兩種方法的一致性。在這樣一種學(xué)習(xí)的氛圍中，教師所要做的并沒有多少，語言也寥寥無幾，教師看起來似乎漫不經(jīng)心，很輕松，但就是在這樣的情景下學(xué)生之間已形成了思維共振，在“隨意”中實(shí)現(xiàn)了知識的有效遷移。我經(jīng)常鼓勵同學(xué)們，以你們現(xiàn)在的知識，完全可以發(fā)現(xiàn)以往科學(xué)家發(fā)現(xiàn)的內(nèi)容，甚至能夠你獨(dú)到的發(fā)現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)別人所沒有發(fā)現(xiàn)的，從而極大的鼓舞了學(xué)生的士氣，激發(fā)其探求的欲望。f-V j*例如在引入數(shù)量積伍-b=Fcos8的定義后，我并沒有把教材中的五條性質(zhì)逐一注述出來，雖然這樣學(xué)生也能理解的很好，我總覺的新的內(nèi)容新的方法如果你告訴他怎么做，尚不如告訴他為什么這樣做，更不如引導(dǎo)他怎樣去想。我適時(shí)地提出問題：從這個定義中能得到什么信息從而更好的理解這個公式呢？引導(dǎo)學(xué)生站在哲學(xué)的高度，運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)，一般與特殊的處理方法去探索發(fā)現(xiàn)，結(jié)果同學(xué)們不僅“發(fā)現(xiàn)”了書上的所有性質(zhì)， 而且還得到了「一二「一等結(jié)論，加深了對抽象內(nèi)容的理解。從而使學(xué)生不僅在探索中證明了諸多性質(zhì)，更重要的是讓學(xué)生感悟到了應(yīng)該如何去發(fā)現(xiàn)。課后經(jīng)常有同學(xué)拿著自己推導(dǎo)出的結(jié)論， 有些是自己的獨(dú)到發(fā)現(xiàn)，有些是將要學(xué)習(xí)的新內(nèi)容，對此我都大加贊賞，夸獎他的獨(dú)立思考的精神，或贊嘆他的數(shù)學(xué)上的天賦，或贈送其數(shù)學(xué)博士的稱號。二、突出數(shù)形結(jié)合的思想在新教材中，向量的運(yùn)算法則以及運(yùn)算律的給出容易使學(xué)生產(chǎn)生向量是屬于代數(shù)內(nèi)容，但向量實(shí)際上又是屬于幾何的范疇的，雖然有時(shí)也會脫離圖形而進(jìn)行形式運(yùn)算，但所研究的內(nèi)容大都與圖形有關(guān)，所以向量是數(shù)形結(jié)合的一個典范。學(xué)好向量這一章的內(nèi)容，能進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生對代數(shù)幾何關(guān)系的理解，運(yùn)用代數(shù)幾何化，幾何代數(shù)化的方法從多角度思維，對于培養(yǎng)學(xué)生-豪I-X正確的數(shù)學(xué)觀有著重要的作用。例如證明必±jUa+b=d，既可以從數(shù)量積的角度算出門二二?，進(jìn)而得到」【：；亦可以從矩形的角度證明該命題。而證法二有利有學(xué)生的思維rf從直觀形象向抽象過渡，更好的理解該命題。再如對任意向量 「二'都有IEIiI杉U+云彳1|甲,味三角形三邊關(guān)系上更能看出問題的實(shí)質(zhì)。因此教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)有意識的