【2021】高中數(shù)學(xué)《1.1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理》公開課優(yōu)質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)教案

精品資源：名師優(yōu)品店鋪1.1基本計(jì)數(shù)理教學(xué)目：知與能①理解分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理；②會(huì)利用兩個(gè)原理分析和解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題；過與法培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力；情、度價(jià)觀引導(dǎo)學(xué)生形成“自主學(xué)習(xí)”與“合作學(xué)習(xí)”等良的學(xué)習(xí)方式教學(xué)重教學(xué)難授課類課時(shí)安

：類計(jì)數(shù)原理加法原與分步計(jì)數(shù)原理(乘法原理：類計(jì)數(shù)原理加法原與分步計(jì)數(shù)原理(乘法原理的準(zhǔn)確理解：授課：2課教

具

：多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)過

：引課先看下面的問題：①從我們班上推選出兩名同學(xué)擔(dān)任班長(zhǎng)，有多少種不同的選法？②把我們的同學(xué)排成一排，共有多少種不同的排法？要解決這些問題，就要運(yùn)用有關(guān)排列、組合知.排列合是一種重要的數(shù)學(xué)計(jì)數(shù)方.總來，就是研究按某一規(guī)則做某事時(shí)，一共有多少種不同的做.在運(yùn)用排列、組合方法時(shí)，經(jīng)常要用到分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原這課，我們從體例子出發(fā)來學(xué)習(xí)這兩個(gè)原.

分加計(jì)原（1）提出問題問：一個(gè)大寫的英文字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里座位編號(hào)，總共能夠編出多少種不同的號(hào)碼？問：甲地到乙地，可以乘火車，也以乘汽.如果一天中火車有3班汽車有2班那一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？探：能說說以上兩個(gè)問題的特征嗎？（2發(fā)現(xiàn)新知分加計(jì)原

完一事兩不方，第1類案有

種同方，第2類案有

種同方那么成件共

種同方（3知識(shí)應(yīng)用例1.在填高考志愿表時(shí)，一名高中畢業(yè)生了解到A,B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，具體情況如下：A大B大生物學(xué)精品資源：名師優(yōu)品店鋪

數(shù)學(xué)

精品資源：名師優(yōu)品店鋪化學(xué)醫(yī)學(xué)物理學(xué)工程學(xué)

會(huì)計(jì)學(xué)信息技術(shù)學(xué)法學(xué)如果這名同學(xué)只能選一個(gè)專業(yè)，那么他共有多少種選擇呢？分：由于這名同學(xué)在,B兩大學(xué)中只能選擇一所，而且只能選擇一個(gè)專業(yè)，又由于兩所大學(xué)沒有共同的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，因此符合分類加法計(jì)數(shù)原理的條件．解：這名同學(xué)可以選擇,B兩大學(xué)中的一所．在A大中有5種業(yè)擇方法，在B大中有4種專業(yè)選擇方法．又由于沒有一個(gè)強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)是兩所大學(xué)共有的，因此根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇共有5+4=9（）變：還有大學(xué)其中強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)為：新聞學(xué)、金融學(xué)、人力資源那么，這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇共有多少種？探：果完成一件事有三類不同方案，在第1類方中有

1

種不同的方法，在第2類案中有

2種不同的方法，在第3類方案中種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的法？如果完成一件事情有一歸：

類不同方案，在每一類中都有若干種不同方法，那么應(yīng)當(dāng)如何計(jì)數(shù)呢？完成一件事情，有n類法，在1類辦中有m種不同的方法，在第2類辦中有種同的方1法……在第n類法中有

m

種不同的方.那么完成這件事有N12n理解分類加法計(jì)數(shù)原理：

種不同的方法.分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類”問題，完成一件事要分為若干類，各類的方法相互獨(dú)立，類中的各種方法也相對(duì)獨(dú)立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨(dú)完成這件.

分乘計(jì)原（1）提出問題問：前6個(gè)大英文字母和1—9九個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，以

A1

,

2

,…，

B1

,

2

,…的方式給教室里的座位編號(hào)，總共能編出多少個(gè)不同的號(hào)碼？用列舉法可以列出所有可能的號(hào)碼：精品資源：名師優(yōu)品店鋪

精品資源：名師優(yōu)品店鋪我們還可以這樣來思考：由于前6個(gè)文字母中的任意一個(gè)都能與9個(gè)字中的任何一個(gè)組成個(gè)號(hào)碼，而且它們各不相同，因此共有6×9=54個(gè)不同的號(hào)碼．探：能說說這個(gè)問題的特征嗎？（2發(fā)現(xiàn)新知分乘計(jì)原

完一事兩不方，第類方案有

種同方，第2類方中

種同方那么成件共

n種同方.（3知識(shí)應(yīng)用例2.設(shè)某有男生30名女24名.現(xiàn)從中選出男女各一名代表班級(jí)參加比賽共有多少種不同的選法？分：選出一組參賽代表，可以分個(gè)步驟．第步男生．第2步女生．解第1步，從30名男生中選出1人，30種不同選擇；第2步，24名女生中選出1人，有24種不同選擇．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有30×24=720種不同的選法．探：果完成一件事需要三個(gè)步驟，做第1步有m種不同方法，做第2有m種不同的方法，12做第3步有

m

種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？如果完成一件事情需要一歸：

個(gè)步驟，做每一步中都有若干種不同方法，那么應(yīng)當(dāng)如何計(jì)數(shù)呢？完成一件事情，需要分成n個(gè)驟，做第1步

種不同的方法，做第2步

種不同的方法……做第n步有種同的方那么完成這件事共有種不同的方法.理解分步乘法計(jì)數(shù)原理：精品資源：名師優(yōu)品店鋪

Nm12

n

精品資源：名師優(yōu)品店鋪分步計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步”問題，完成一件事要分為若干步，各個(gè)步驟相互依存，完成任其中的一步都不能完成該件事，只有當(dāng)各個(gè)步驟都完成后，才算完成這件.．理解分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理異同點(diǎn)①相同點(diǎn)：都是完成一件事的不同方法種數(shù)的問題②不同點(diǎn)：分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類”問題，完成一件事要分為若干類，各類的方法互獨(dú)立，各類中的各種方法也相對(duì)獨(dú)立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨(dú)完成這件事，是獨(dú)立成；而分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步”問題，完成一件事要分為若干步，各個(gè)步驟相互依存，完成何其中的一步都不能完成該件事，只有當(dāng)各個(gè)步驟都完成后，才算完成這件事，是合作完.

綜應(yīng)例3.書架的第1層有4本同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有本不的文藝書，第3層2本不同的體育書①從書架上任取1本，有多少種不同的取法？②從書架的第1、2、3層各取1本，有多少種不同的取法？③從書架上任取兩本不同學(xué)科的書，有多少種不同的取法？【分析】①要完成的事“一本書于不論取書架的哪一層的書都可以完成了這件事因此是分類問，應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原.②要完成的事是“從書架的第1、2層中各取一本書”，由于取一層中的一本書都只完成了這件事的一部分，只有第1、2、3層都取后，才能完成這件事，因此是分步問題，應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原.③要完成的事是“取2本不學(xué)的書”，先要考慮的是取哪兩個(gè)學(xué)科的書，如取計(jì)算機(jī)和文藝書各1本，再要考慮取1本計(jì)機(jī)書或取1本文藝書都只完成了這件事的一部分，應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原理，上述每一種選法都完成后，這件事才能完成，因此這些選的種數(shù)之間還應(yīng)運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理.解(1)從書架上任取本，有類方法：第類法是從第層取1本算書，有種法；第2類法是從第層文藝書，有種法第3類方法是從第3層取1本育書，有種法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是N123

=4+3+2=9;(2）從書架的第12,層各取本，可以分成3個(gè)驟完成：第步從第1層本算機(jī)書，有種法第步第層1本文藝書，有3種法；第3步第3層本育，有種法根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是N13

=4×2=24.（3）

N26

。例4.要甲、乙、丙3幅不的畫中選出幅，別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，問共有多少種不同的掛法？解：從幅中選出幅別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個(gè)步驟完成：第1步從幅中選幅在邊墻上種法步下2幅中選1幅在右邊墻上種法精品資源：名師優(yōu)品店鋪

精品資源：名師優(yōu)品店鋪據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)是×2=6.種法可以表示如下：分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的都是有關(guān)做一件事的不同方法的種數(shù)問題在：分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類”問題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可做完這件事，分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步”問題，各個(gè)步驟中的方法互相依存，只有各個(gè)步驟都成才算做完這件事．練習(xí)．填空：(1）件工作可以用2種方法完成，有人會(huì)用第1種法完成，另有4人會(huì)用第2種方法完成，從中選出l人來完成這件工作，不同選法的種數(shù)是＿;(2）A村B村的道路有條從B村C村道路有2條從A村B的線有＿條．．現(xiàn)有高一年級(jí)的學(xué)生3名高二年級(jí)的生名，高三年級(jí)的學(xué)生4名1）中任選人參加接待外賓的活動(dòng)，有多少種不同的選法？村去C村不同(2）個(gè)級(jí)的學(xué)生中各選1人加接待外賓的活動(dòng)，有多少種不同的選法？．在例1中如果數(shù)學(xué)也是A大學(xué)的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，則A大共有6個(gè)業(yè)可以選擇，大共有個(gè)專業(yè)可以選擇，那么用分類加法計(jì)數(shù)理，得到這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇共有4=（種）.這種算法有什么問題？例5.給程序模塊命名，需要用個(gè)符，其中首字符要求用字母AG或UZ后個(gè)要求用數(shù)字1～．問最多可以給多少個(gè)程命名？分析：要給一個(gè)程序模塊命名，可以分三個(gè)步驟：第步選首字符；第2步選中間字符；第步，選最后一個(gè)字符．而首字符又可以分為兩類．解先計(jì)算首字符的選法．由分類加法計(jì)數(shù)原理，首字符共有6=種選法．再計(jì)算可能的不同程序名稱．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，最多可以有××9==1053個(gè)不同的名稱，即最多可以給個(gè)序命名．例6.核糖核酸（RNA）子是在生物細(xì)胞中發(fā)現(xiàn)的化學(xué)成分一個(gè)RNA分是一個(gè)有著百個(gè)甚至數(shù)千個(gè)位置的長(zhǎng)鏈，長(zhǎng)鏈中每一個(gè)位置上都由一種稱為堿基的化學(xué)成分所占據(jù)．精品資源：名師優(yōu)品店鋪

精品資源：名師優(yōu)品店鋪總共有4種同的堿基，分別A,C,G,U表示在一個(gè)RNA子中，各種堿基能夠以任意次序出現(xiàn)，所以在任意一個(gè)位置上的堿基與其他位置上的堿基無關(guān)．假設(shè)有一類RNA分由100個(gè)堿組成，那么能有多少種不同的RNA分？分：用圖1.1一2來表由100個(gè)基組成的長(zhǎng)鏈，這時(shí)我們共有個(gè)置，每個(gè)位置都可以從A,C,G,U中選一個(gè)來占據(jù)．解100個(gè)堿基組成的長(zhǎng)鏈共有100個(gè)置，如圖1.1一2所示．從左到右依次在每一個(gè)位置中，從A,C,G,中選一個(gè)填人，每個(gè)位置有4填充方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，長(zhǎng)度為100所有可能的不同RNA分?jǐn)?shù)目有

（個(gè)）例7.電子件很容易實(shí)現(xiàn)電路的通與斷、電位的與低等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài)．因此計(jì)算機(jī)內(nèi)部就采用了每一位只有O或1兩數(shù)字的記數(shù)法，即二進(jìn)制．為了使計(jì)算機(jī)能夠識(shí)別字符，需要對(duì)字符進(jìn)行編碼，每個(gè)字符可以用一個(gè)或多個(gè)字節(jié)來表示，其中字節(jié)是計(jì)算機(jī)中數(shù)存儲(chǔ)的最小計(jì)量單位，每個(gè)字節(jié)由8個(gè)進(jìn)制位構(gòu)成．問：(1）一個(gè)字節(jié)（位）多可以表示多少個(gè)不同的字符？(2）計(jì)算機(jī)漢字國標(biāo)碼GB碼包含了6763個(gè)字，一個(gè)漢字為一個(gè)字符，要對(duì)這些漢字進(jìn)編碼，每個(gè)漢字至少要用多少個(gè)字節(jié)表示？分：由于每個(gè)字節(jié)有個(gè)進(jìn)位，每一位上的值都有0,1兩種選擇，而且不同的順序代表不的字符，因此可以用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解本題．解：(1）用圖一3來示一個(gè)字節(jié)．圖1.1一3一個(gè)字節(jié)共有8位，位上有2種選擇．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，一個(gè)字節(jié)最多可以表示2×2×2×2×2×2×2×2=2=256個(gè)同的字符；(2）（1），用一個(gè)字節(jié)所能表示的不同字符不夠6763個(gè)，我們就考慮用2個(gè)節(jié)能夠精品資源：名師優(yōu)品店鋪

精品資源：名師優(yōu)品店鋪示多少個(gè)字符．前一個(gè)字節(jié)有256種同的表示方法，后一個(gè)字節(jié)也有256種表示方法．根據(jù)步乘法計(jì)數(shù)原理，個(gè)節(jié)可以表示256×256=65536個(gè)不同的字符，這已經(jīng)大于漢字國標(biāo)碼包含的漢字個(gè)數(shù)6．所以要表示這些漢字，每個(gè)漢字至少要用2個(gè)節(jié)表示．例8.計(jì)算編程人員在編寫好程序以后需要對(duì)程進(jìn)行測(cè)試員需要知道到底有多少條執(zhí)行路徑（即程序從開始到結(jié)束的路線），以便知道需要提供多少個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù)．一般地，一個(gè)程序模塊許多子模塊組成．如圖一4，它是一具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊．問：這個(gè)程序模塊有多少條執(zhí)行路徑？另外，為了減少測(cè)試時(shí)間，程序員需要設(shè)法減少測(cè)試次數(shù)你能幫助程序員設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)試方法，減少測(cè)試次數(shù)嗎？圖1.1一4分析個(gè)塊的任意一條執(zhí)行路徑都分兩步完成步是從開始執(zhí)行到A點(diǎn)2步從點(diǎn)執(zhí)行到結(jié)束．而第1步可子塊1或模塊2或模塊來完；第2步由子模塊4子模塊5來成．因此，分析一條指令整個(gè)模塊的執(zhí)行路徑需要用到兩個(gè)計(jì)數(shù)原理．解：由分類加法計(jì)數(shù)原理，子模塊或子模塊2或子模塊中的路徑共有18+45+28=91（條）;子模塊4或模塊中的路共有38+43=81（）又由分步乘法計(jì)數(shù)原理，整個(gè)模塊的執(zhí)行路徑共有91×81=7（條）在實(shí)際測(cè)試中，程序員總是把每一個(gè)子模塊看成一個(gè)黑箱，即通過只考察是否執(zhí)行了正確的子塊的方式來測(cè)試整個(gè)模塊．這樣，他可以先分別單獨(dú)測(cè)試5個(gè)塊，以考察每個(gè)子模塊的工作是否正常．總共需要的測(cè)試次數(shù)為18+45+28+3843=172.再測(cè)試各個(gè)模塊之間的信息交流是否正常，只需要測(cè)試程序第1步的各個(gè)子模塊和第2步中各個(gè)子模塊之間的信息交流是否正常，需要的測(cè)試次數(shù)為精品資源：名師優(yōu)品店鋪

精品資源：名師優(yōu)品店鋪3×2=6.如果每個(gè)子模塊都工作正常，并且各個(gè)子模塊之間的信息交流也正常，那么整個(gè)程序模塊就工正常．這樣，測(cè)試整個(gè)模塊的次數(shù)就變?yōu)?72+6=178（次）顯然，與7371的差距是非大的．你看出了程序員是如何實(shí)現(xiàn)減少測(cè)試次數(shù)的嗎？例9.隨著們生活水平的提高城市家庭汽車擁有量迅速增長(zhǎng)車牌照號(hào)碼需交通管理部門出臺(tái)了一種汽車牌照組成辦法，每一個(gè)汽車牌照都必須有不重復(fù)的英文字母和3個(gè)重復(fù)的阿拉數(shù)字，并且3個(gè)母必須合成一組出現(xiàn)3個(gè)數(shù)字也必須合成一組出現(xiàn)．那么這種辦法共能給多少輛汽上牌照？分析：按照新規(guī)定，牌照可以分為類，字母組合在左和字母組合在右．確定一個(gè)牌照的字母數(shù)字可以分6個(gè)步．解：將汽車牌照分為2類一的字母組合在左，另一類的字母組合在右．字母組合在左時(shí)，分個(gè)步驟確定一個(gè)牌照的字母和數(shù)字：第1步，從26個(gè)字中選1個(gè)放在首位，有26種選法；第2步，從剩下的25個(gè)母中選1個(gè)，在第2位，25種選法；第3步，從剩下的24個(gè)母中選1個(gè)，在第3位，24種選法；第4步，從10個(gè)數(shù)中選1個(gè)放在第位，有10種法；第5步，從剩下的個(gè)數(shù)中1，放在第，有種選法；第6步，從剩下的個(gè)字中1，放在第，有種選法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，字母組合在左的牌照共有26232000個(gè)）同理，字母組合在右的牌照也有11232000個(gè)所以，共能給11232000+11232000=22464000個(gè)）輛汽車上牌照．用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問題時(shí)，最重要的是在開始計(jì)算之前要進(jìn)行仔細(xì)分析―需要分類還是要分步．分類要做到“不重不漏”．分類后再分別對(duì)每一類進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后用分類加法計(jì)數(shù)原理和，得到總數(shù)．分步要做到“步驟完整”―完了所有步驟，恰好完成任務(wù)，當(dāng)然步與步之間要相互獨(dú)立．分步后再計(jì)算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總．練習(xí)1．乘a123231

展開后共有多少項(xiàng)？2．某電話局管轄范圍內(nèi)的電話碼由八位數(shù)字組成，其中前四位的數(shù)字是不變的，后四位數(shù)字都是。到9之的一個(gè)數(shù)字，那么這電話局不同的電話號(hào)碼最多有多少個(gè)？3．從5名學(xué)中選出正、副組長(zhǎng)各名，多少種不同的選法？4．某商場(chǎng)有6個(gè)，如果某人其中的任意一個(gè)門進(jìn)人商場(chǎng)，并且要求從其他的門出去，共有多少種不同的進(jìn)出商場(chǎng)的方式？精品資源：名師優(yōu)品店鋪

lj精品資源：名師優(yōu)品店lj課作：例1.一螞蟻沿著長(zhǎng)方體的,從一個(gè)頂點(diǎn)爬到相對(duì)的另一個(gè)頂點(diǎn)的最近路線共有多少條？解從體上看如螞從頂點(diǎn)A爬到頂點(diǎn)C1有三方從局部上看每類又需兩步完成,所以,第一類m11×2=2第二類m21×2=2第三類m31×2=2

條條條所以,根加法原理,從點(diǎn)A到點(diǎn)C1最近線共有N2+2+2=6

條例2.如圖要地圖AC四個(gè)區(qū)域分別涂上3不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,同的涂色方案有多少種？解按圖A、B、C、D四區(qū)依次分四步完,第一步m1=3第二步m2=2第三步m3=1第四步m4=1

種種種種所以根據(jù)乘法原,得到同的涂色方案種數(shù)共有=3××1×16變式1，如圖要給地圖A、C、D四個(gè)區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同的,同的涂色方案有多少種？2若顏色是2種4種，5種會(huì)么樣的結(jié)果呢？75600有少個(gè)正約數(shù)有少個(gè)奇約數(shù)解由75600=2×3×5×7(1)75600的每個(gè)約數(shù)都可以寫的式其0,0j,,于是,要確定75600的個(gè)約數(shù)可分四步完,ijk,l

分別在各自的范圍內(nèi)任取一個(gè)這樣i

有5種取法j

有4種取法取法l

有2種取法根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得約數(shù)的個(gè)數(shù)為5×4×3×2=120個(gè)鞏練：1.如圖從地到乙地有2條路通從乙地到丙地有3條路通;從甲地到丁地有4條路可,從地到丙地有2條路通。從甲地到丙地共有多少種不同的走法？.書架上放有3本同的數(shù)學(xué)書，本不同的語文書，6本同的英語書．（1若從這些書中任取一本，多少種不同的取法？（2若從這些書中，取數(shù)學(xué)書語文書、英語書各一本，有多少種不同的取法？精品資源：名師優(yōu)品店鋪

精品資源：名師優(yōu)品店鋪（3若從這些書中取不同的科的書兩本，有多少種不同的取法？3.如一,要①,②,③,④塊區(qū)域分別涂上五種顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,相鄰區(qū)域必須涂不同顏色則同涂色方法種數(shù))A.180B.160C.96D.60②

④

①

①①

③

②

③

④

②

③

④圖一若變?yōu)閳D二圖呢

圖二

圖三5.五名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育比，每人限報(bào)一項(xiàng)，報(bào)名方法的種數(shù)為多少？又他們爭(zhēng)奪這四項(xiàng)比賽的