平面體的切割

第四章體的表面交線(平面體的切割)第二節(jié)平面與回轉(zhuǎn)體相交第三節(jié)兩立體體表面相交第一節(jié)平面立體被截切第四章體的表面交線截平面概念：

截切——用一個(gè)與立體相交的平面，截去立體的一部分。截?cái)嗝娼亟痪€截平面——用以截切物體的平面。截交線——截平面與物體表面的交線。截?cái)嗝妗蚪仄矫娴慕厍?，在物上形成的平面。相貫線——兩回轉(zhuǎn)體的相交叫相貫，其表面產(chǎn)生的交線叫相貫線

截交線的性質(zhì)：截交線是一封閉的平面多邊形，它是截平面與立體表面的共有線。

實(shí)質(zhì)：求兩平面的交線。

求截交線的方法：空間分析：截平面與體的相對(duì)位置，確定截交線的形狀；截平面與投影面的相對(duì)位置，確定截交線的投影特性。作圖方法：1）交點(diǎn)法：求出立體表面上已知直線與截平面的交點(diǎn)，連接交點(diǎn)位所求。2）表面取點(diǎn)法：利用立體表面在投影面上的投影右積聚性的特點(diǎn)求之。3）輔助線法：在立體表面上作輔助素線及輔助圓求之。4）輔助平面法：借助輔助平面與立體表面及截平面相交來求之?！?--1平面立體被截切例1：求作四棱錐被截切后的水平投影和側(cè)面投影。分析：截平面為正垂面截交線的正面投影積聚為直線。截平面與四條棱線相交，從正面可直接找出交點(diǎn)。1'11"2'2"2(4')43'33"作出各對(duì)應(yīng)點(diǎn)的投影，依次連接各點(diǎn)。補(bǔ)全棱錐體的外形投影。4"??1、單一平面與平面立體截交被截切后的投影圖：例2、正垂面截切六棱柱，完成截切后的三面投影。分析：由圖可知，截交線的正面投影積聚為一直線。水平投影，除頂面上的截交線外，其余各段截線都積聚在六邊形上。1'12'（3'）234'（5'）451"2"3"4"5"6'（7'）676"7"完成后的投影圖例3、如下圖所示，作四棱柱被截切后的投影。a'(b')baa"b"分析：四棱柱的上部被一個(gè)正垂面和一個(gè)側(cè)平面所截切，因四棱柱的四個(gè)棱面均垂直于水平面，截平面與棱線的交點(diǎn)均在棱面的投影上。此題還應(yīng)作出兩截平面的交線AB的投影。??BA2、多個(gè)平面與平面立體截交完成后的投影圖a'(b')baa"b"??截交線的性質(zhì)：

截交線是截平面和回轉(zhuǎn)體表面的共有線，截交線上任意點(diǎn)都是它們的共有點(diǎn)。

截交線是封閉的平面曲線或曲線與平面組成的平面圖形。

截交線的形狀，取決于回轉(zhuǎn)體表面的形狀及截平面對(duì)回轉(zhuǎn)體軸線的相對(duì)位置。求截交線的方法和步驟：

分析回轉(zhuǎn)體的表面性質(zhì)，截平面與投影面的相對(duì)位置，截平面與回轉(zhuǎn)體的相對(duì)位置，初步判斷截交線的形狀及其投影。

求出截交線上的點(diǎn)，首先找特殊點(diǎn)再補(bǔ)充中間點(diǎn)。

補(bǔ)全輪廓線，光滑地連接各點(diǎn)，得截交線的投影?！?--2平面與回轉(zhuǎn)體相交一、平面與圓柱體相交截平面與圓柱面截交線的形狀取決于截平面與圓柱軸線的相對(duì)位置。P截平面與圓柱軸線平行截交線為矩形PHPPv截平面與圓柱軸線傾斜截交線為橢圓PPv截平面與圓柱軸線垂直截交線為圓例1、求斜切圓柱體的投影，已知正面和水平面的投影，完成側(cè)面投影。1'?2'?1??2?1"2"?3'(4')?4??34"??3"a?a'(b')?b??a"b"?c'(d')??c?d?c"d"?

作圖過程：求特殊點(diǎn)即找最高、最低、最左、最右、最前、最后點(diǎn)可確定出橢圓長(zhǎng)短軸的端點(diǎn)。求一般點(diǎn)從正面投影上選取A、B、C、D四點(diǎn)分別求出水平面和側(cè)面投影。

光滑地連接各點(diǎn)。例2、已知圓柱截?cái)囿w的正面和側(cè)面投影，求水平投影。分析：圓柱的軸線是側(cè)垂線，截?cái)囿w分別由側(cè)平面、正垂面、水平面截切圓柱體而成的。側(cè)平面與圓柱軸線垂直，截交線為圓弧，其正面投影為直線，側(cè)面投影為圓弧。正垂面與圓柱軸線傾斜，截交線為部分橢圓，正面投影為直線，側(cè)面投影與圓重合。水平面與圓柱軸線平行截交線為矩形，正面、側(cè)面投影均直線。1'

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·cdc"d"c'(d')?()()完成后的投影圖例3、求如圖所示的開槽圓柱的左視圖。分析：槽是由三個(gè)截平面形成的，左右對(duì)稱的兩個(gè)截平面是平行于圓柱軸線的側(cè)平面，它們與圓柱面的截交線均為兩條直素線，與上底面的截交線為正垂線。另一個(gè)截平面是垂直于圓柱軸線的水平面，它與圓柱面的截交線為兩段圓弧。三個(gè)截平面間產(chǎn)生了兩條交線，均為正垂線。1'（2'）

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6"?完成后的投影圖二、平面與圓錐體相交截平面與錐體的截切位置和軸線傾角不同，截交線的形狀不同。截平面垂直于圓錐軸線，傾角為θ=90ο，截交線為圓形。Pvθ截平面與圓錐軸線傾斜，傾角θ>α截交線為橢圓。PvθαθαPvαPvPv截平面與圓錐軸線傾斜面，傾角θ=α截交線為拋物線。截平面與圓錐軸線平行或傾角θ<α，截交線為雙曲線。截平面過錐頂截交線為三角形。例1、已知圓錐體的正面投影和部分水平面投影，求斜切圓錐體的水平投影和側(cè)面投影。圓錐體的軸線為鉛垂線，截平面與圓錐軸線的傾角大于圓錐母線與軸線的夾角，截交線為橢圓。截平面是正垂面，截交線的正面投影為直線。?

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?作圖：1、求特殊點(diǎn)最高點(diǎn)B最低點(diǎn)A；圓錐體的前后素線與截交線的正面投影的交點(diǎn)c'd'重影為一點(diǎn)，其余兩面投影根據(jù)投影關(guān)系求出；截交線的最前點(diǎn)K 和最后點(diǎn)L，正面投影重影于a'b'的中點(diǎn)。2、求一般點(diǎn)。3、光滑連接各點(diǎn)的同面投影。完成后的三視圖例2、已知頂尖被截切后的正面和側(cè)面投影，求作水平投影。分析：頂尖頭是由相連的圓錐體和圓柱體被兩個(gè)平面截切而成，軸線為側(cè)垂線，截平面分別為側(cè)平面和水平面。側(cè)平面與圓柱軸線垂直，與圓柱的截交線為圓弧，正面投影為直線，側(cè)面投影為圓弧的實(shí)形。水平面與圓柱的截交線為開口矩形，與圓角度的截交線為雙曲線，其正面和側(cè)面投影均為直線。a'??b'(c')?a

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e??df'??f"?fg'h'??g"?h"?g

h?三、平面與球體相交

球被平面截切，截交線均為圓。由于截平面位置不同，截交線的投影可能是圓、直線或橢圓。Ph1、截平面為平行面截平面為正平面，正面投影為截交線圓的實(shí)形。PvPv截平面為水平面，水平投影為截交線圓的實(shí)形。截平面為正垂面，截交線的水平投影及側(cè)面為橢圓。3、截平面為垂直面2、截平面為水平面例1：已知圓球體被截切后的正面投影求作水平投影。a'b'?ba

?e'(f')??ef?c'(d')??cd?g'(h')??gh?分析：截平面為正垂面，截交線的正面投影為直線，水平投影為橢圓。作圖：1、求特殊點(diǎn)截交線的最低點(diǎn)A和最高點(diǎn)B是水平投影的最右點(diǎn)和最左點(diǎn)，也是截交線水平投影橢圓短軸的交點(diǎn)，水平投影a、b在其正面投影輪廓線的水平投影上。a'b'的中點(diǎn)c'd'是截交線水平投影橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)的正面投影，其水平投影cd投影在輔助緯圓上。e'f'是截交線與球的水平投影輪廓線的正面投影的交點(diǎn)，其水平投影ef在球的水平投影輪廓線上。2、求一般點(diǎn)選擇適當(dāng)位置作輔助水平面，與ab的交點(diǎn)g、h為截交線上兩個(gè)點(diǎn)的正面投影，其水平投影g、h投影在輔助緯圓上。例2、已知帶通槽半球的正面投影，完成水平和側(cè)面投影。分析：半球的通槽由三個(gè)平面構(gòu)成，一個(gè)水平面和兩個(gè)側(cè)平面截切圓球它們與球面的截交線都是分別平行于投影面的圓弧。關(guān)鍵是確定截交圓弧的半徑；可根據(jù)截平面位置確定。1、通槽的水平投影作圖：過槽底部作輔助水平面，水平投影為圓，并在圓周上截取與正面投影相對(duì)應(yīng)的前后兩段圓弧。2、通槽側(cè)面投影的作圖：兩側(cè)平面距球心等遠(yuǎn)，兩圓弧的半徑相等，兩段圓弧的側(cè)面投影重合?！?--3兩立體表面相交概念兩立體的相交叫相貫，其表面產(chǎn)生的交線叫相貫線?！锵嘭灳€性質(zhì)：

表面性——相貫線位于兩立體的表面上。

封閉性——相貫線一般是封閉的空間曲線。

共有性——相貫線是兩立體表面的共有線?！镒鲌D實(shí)質(zhì)：找兩立體表面的若干共有點(diǎn)的投影?！镒鲌D方法：

交點(diǎn)法、表面取點(diǎn)法、輔助線法、輔助平面法。輔助平面法：根據(jù)三面共點(diǎn)原理，利用輔助平面求出兩回轉(zhuǎn)體表面上的共有點(diǎn)?！镒鲌D步驟：

分析兩立體表面性質(zhì)，即兩立體的相對(duì)位置和相交情況。

求相貫線上的特殊點(diǎn)。求相貫線上的一般點(diǎn)。假想用輔助平面截切兩立體，分別得出兩立體表面的截交線，截交線的交點(diǎn)是相貫線上的點(diǎn)。

★選擇輔助平面的原則：

使輔助平面與兩立體表面的截交線的投影是最簡(jiǎn)單形狀（直線或圓）。一般選投影面平行面。一、平面立體與平面立體相交

兩平面立體的相貫線在一般情況下是一條封閉的折線

由于兩立體的相對(duì)位置不同，相交折線可能由一個(gè)或幾個(gè)部分的交線組成。折線的各個(gè)頂點(diǎn)是一個(gè)平面立體的棱與另一個(gè)平面立體的交點(diǎn)，折線的各段是兩平面立體各側(cè)面的交線。ACDBa`(e`)b`(f`)d`(g`)c`a(c`)bfegda``e``c``f``(g``)b``(d``)二、平面立體與曲面立體相交

平面立體與曲面立體的相貫線，一般是由若干段平面曲線或直線所組成的空間封閉曲線。ACDEa``(b``)e``(f``)c``(d``)c`(e`)a`d`(f`)b`acebdf相貫線投影三、曲面立體與曲面立體相交兩曲面立體相貫，其相貫線一般為光滑的封閉空間曲線。相貫線上的點(diǎn)，是兩曲面立體表面上的共有點(diǎn)。1、兩圓柱相交相交兩回轉(zhuǎn)體的相互位置不同可分為正交、偏交、斜交。相貫線投影相貫線投影分析：兩圓柱體軸線垂直相交，其軸線分別為鉛垂線和側(cè)垂線，因此小圓柱的水平投影和大圓柱的側(cè)面投影都具有積聚性。相貫線的水平投影積矛在圓周上，側(cè)面投影積聚于圓周的一部分。作圖：求特殊點(diǎn)：a'、b'就是兩圓柱表面共有點(diǎn)的正面投影，也是相貫線的最高點(diǎn)、最左點(diǎn)、最右點(diǎn)。從側(cè)面投影輪廓線的交點(diǎn)求得相貫線最前點(diǎn)、最后點(diǎn)的側(cè)面投影c"、d"，由從屬關(guān)系求出其余兩面投影。求一般點(diǎn)：作輔助正平面，與兩圓柱的交線均為矩形，其側(cè)面投影1、2和水平面投影1、2分別在圓周與平面投影的交點(diǎn)上。a'?b'?a"b"?a?b??c"d"??c'(d')?cd?1??21"(2")??1'?2'例1、如圖示，求兩圓柱正交的相貫線。完成后的投影圖例2、已知一圓柱體上有一圓柱孔，如圖所示，求相貫線。a'?b'

?a??ba"(b")

??c"d"??c'(d')?cd?1??21"(2")??1'?2'完成后的相貫線投影圖2、圓柱與圓錐相交例：求圓柱和圓錐相貫線的正面和側(cè)面投影。分析：圓柱與圓錐的軸線相互垂直，圓柱的軸線是側(cè)垂線，圓錐的軸線是鉛垂線。相貫線的側(cè)面投影積聚在圓柱側(cè)面投影的圓周上。用輔助平面法作圖。作圖：求特殊點(diǎn)A、B是最高點(diǎn)和最低點(diǎn)；過圓柱的最前、最后轉(zhuǎn)向輪廓線作輔助水平面，可求得相貫線最前、最后點(diǎn)的投影。a'?

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4"?3、圓柱與球相交例：求圓柱與球偏交相貫線的正面和側(cè)面投影。分析：圓柱軸線不能過球心，因此圓柱與球是偏交。圓柱的軸線是鉛垂線，則相貫線的水平投影必積聚在圓柱水平投影的圓周上。求特殊點(diǎn)由于圓柱和球下面投影的轉(zhuǎn)向輪廓線在同一平面上，交點(diǎn)a'b'是最高和最低點(diǎn)的正面投影。作輔助側(cè)平面求出最前、最后點(diǎn)的投影。a'?b'?a?b?

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?cd"?c'd'?求一般點(diǎn)作輔助水平面，與圓柱交線的水平投影都積聚在圓柱水平投影的圓周上，與球交線的水平投影為不同直徑的圓，兩個(gè)圓的交點(diǎn)為相貫線上的一般點(diǎn)。1?2

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