2022-2023學年北京市東城區(qū)高二年級上冊學期期末考試數學試題【含答案】

2022-2023學年北京市東城區(qū)高二上學期期末考試數學試題一、單選題1．已知向量，，且，那么實數的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據平行關系可知，由向量坐標運算可構造方程求得結果.【詳解】，，，解得：.故選：B.2．已知直線的傾斜角為（

）度A．45 B．135 C．60 D．90【答案】A【分析】根據給定的直線方程，求出其斜率，再求出傾斜角作答.【詳解】直線的斜率為1，所以直線的傾斜角為45度.故選：A3．拋物線的準線方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據拋物線方程可直接求得結果.【詳解】由拋物線方程可知其準線方程為：.故選：C.4．2021年9月17日，北京2022年冬奧會和冬殘奧會主題口號正式對外發(fā)布——“一起向未來”（英文為：“TogetherforaSharedFuture”），這是中國向世界發(fā)出的誠摯邀約，傳遞出14億中國人民的美好期待.“一起向未來”的英文表達是：“TogetherforaSharedFuture”，其字母出現頻數統(tǒng)計如下表：字母togehrfasdu頻數32142422112合計頻數為24，那么字母“”出現的頻率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用字母“”出現的頻數除以總數就是所求頻率.【詳解】由圖中表格可知，字母“”出現的頻數為4，合計總頻數為24，所以字母“”出現的頻率為.故選：B5．設為數列的前項和，已知，，那么（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由可直接求得結果.【詳解】由得：，.故選：A.6．已知在長方體中，，，那么直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由長方體性質易知為與面所成的角，進而求其正弦值即可.【詳解】根據長方體性質知：面，故為與面所成的角，，所以.故選：A7．如圖，點是正方形兩條對角線的交點.從這個正方形的四個頂點中隨機選取兩個，那么這兩個點關于點對稱的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出事件的基本總數，再求出滿足條件的基本事件數，利用古典概型計算即可.【詳解】從四個頂點選兩個的情況數為：，選的兩個點關于中心對稱的情況有：與兩種，所以所求概率為：，故選：C.8．圓心為，半徑的圓的標準方程為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據圓的標準方程的形式，由題中條件，可直接得出結果.【詳解】根據題意，圓心為，半徑圓的標準方程為；故選：B．9．已知正四棱錐的高為4，棱的長為2，點為側棱上一動點，那么面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據正四棱錐的性質得到平面，，然后根據，，得到的范圍，最后根據三角形面積公式求面積的最小值即可.【詳解】取中點，連接、、，因為四棱錐為正四棱錐，所以平面，，因為為中點，所以，因為平面，所以，因為，，所以，，在直角三角形中，當時，最小，為，當點和點重合時，最大，最大為4，所以，，所以當時，的面積最小，為.故選：D.10．拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，將第一次得到的點數記為，第二次得到的點數記為，那么事件“”的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知先列舉出事件總數，然后解出不等式，找出滿足條件的事件數，結合古典概率計算即可.【詳解】由題意第一次得到的點數記為，第二次得到的點數記為，記為，則它的所有可能情況為：共36種，由，即，由在單調遞增，所以，所以滿足條件的有：共6種，所以事件“”的概率為：，故選：C.11．地震預警是指在破壞性地震發(fā)生以后，在某些區(qū)域可以利用“電磁波”搶在“地震波”之前發(fā)出避險警報信息，以減小相關預警區(qū)域的災害損失.根據Rydelek和Pujol提出的雙臺子臺陣方法，在一次地震發(fā)生后，通過兩個地震臺站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在雙曲線的一支上，這兩個地震臺站的位置就是該雙曲線的兩個焦點.在一次地震預警中，兩地震臺站和站相距.根據它們收到的信息，可知震中到站與震中到站的距離之差為.據此可以判斷，震中到地震臺站的距離至少為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設震中為，根據雙曲線的定義以及可求出結果.【詳解】設震中為，依題意有，所以點的軌跡是以為焦點的雙曲線靠近的一支，因為，當且僅當三點共線時，取等號，所以,所以，所以震中到地震臺站的距離至少為.故選：A12．對于數列，若存在正數，使得對一切正整數，都有，則稱數列是有界的.若這樣的正數不存在，則稱數列是無界的.記數列的前項和為，下列結論正確的是（

）A．若，則數列是無界的 B．若，則數列是有界的C．若，則數列是有界的 D．若，則數列是有界的【答案】C【分析】根據可知A錯誤；由可知不存在最大值，即數列無界；分別在為偶數和為奇數的情況下得到，由此可確定，知C正確；采用放縮法可求得，由可知D錯誤.【詳解】對于A，恒成立，存在正數，使得恒成立，數列是有界的，A錯誤；對于B，，，，即隨著的增大，不存在正數，使得恒成立，數列是無界的，B錯誤；對于C，當為偶數時，；當為奇數時，；，存在正數，使得恒成立，數列是有界的，C正確；對于D，，；在上單調遞增，，不存在正數，使得恒成立，數列是無界的，D錯誤.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題考查數列中的新定義問題，解題關鍵是理解數列有界的本質是對于數列中的最值的求解，進而可以通過對于數列單調性的分析來確定數列是否有界.二、填空題13．已知空間向量，，若，則實數_____．【答案】1【分析】根據空間向量數量積的坐標表示公式進行求解即可.【詳解】因為，所以，故答案為：114．在等差數列中，，，則______.【答案】【分析】利用已知條件求出公差，利用等差數列通項公式求解即可.【詳解】設等差數列的公差為，由，，所以，所以，故答案為：.15．兩條直線與之間的距離是______.【答案】【分析】根據平行直線間距離公式可直接求得結果.【詳解】由平行直線間距離公式可得：之間的距離.故答案為：.16．試寫出一個中心為坐標原點，焦點在坐標軸上，漸近線方程為的雙曲線方程___________.【答案】(或其它以為漸近線的雙曲線方程)【分析】根據題意寫出一個即可.【詳解】中心為坐標原點，焦點在坐標軸上，漸近線方程為的雙曲線方程為故答案為：(或其它以為漸近線的雙曲線方程)17．已知點是曲線（其中a，b為常數）上的一點，設M，N是直線上任意兩個不同的點，且.則下列結論正確的是______.①當時，方程表示橢圓；②當時，方程表示雙曲線；③當，，且時，使得是等腰直角三角形的點有6個；④當，，且時，使得是等腰直角三角形的點有8個.【答案】②③④【分析】對①②，根據方程表示的曲線可以是圓，橢圓，雙曲線，直線判斷；對③④，求出點P到直線的距離d的取值范圍，對點P是否為直角頂點進行分類討論，確定d，t的等量關系，綜合可得出結論.【詳解】方程中當時可表示圓，當時，表示雙曲線，故①錯誤，②正確；在③④中：橢圓方程為，橢圓與直線均關于原點對稱，設點，則點到直線的距離為

對③：時，(1)若為直角頂點，如圖1，則，，滿足為等腰直角三角形的點有四個，圖1(2)若不是直角頂點，如圖2，則，，滿足是等腰直角三角形的非直角頂點有兩個，圖2故時，使得是等腰直角三角形的點有6個，③正確；對④：時，(1)若為直角頂點，如圖1,則，，滿足為等腰直角三角形的點有四個..(2)若不是直角頂點，如圖3,則，，滿足是等腰直角三角形的非直角頂點有四個，圖3故時，使得是等腰直角三角形的點有8個，④正確；故答案為：②③④.【點睛】橢圓的參數方程是，對于有關橢圓上點的橫縱坐標問題的題目可以轉化為三角函數問題求解，比如求的最大值，求點到直線的距離范圍等問題都可以使用橢圓的參數方程來解決.三、雙空題18．某單位組織知識競賽，按照比賽規(guī)則，每位參賽者從5道備選題中隨機抽取3道題作答.假設在5道備選題中，甲答對每道題的概率都是，且每道題答對與否互不影響，則甲恰好答對其中兩道題的概率為______；若乙能答對其中3道題且另外兩道題不能答對，則乙恰好答對兩道題的概率為______.【答案】

【分析】（1）甲能夠答對道題目，則，根據二項分布的概率即可進一步求解；（2）設乙能夠答對道題目，根據超幾何分布即可求出答案.【詳解】解設甲能夠答對道題目，，所以，解設乙能夠答對道題目，則.故答案為：；.四、解答題19．某超市有A，B，C三個收銀臺，顧客甲、乙兩人結賬時，選擇不同收銀臺的概率如下表所示，且兩人選擇哪個收銀臺相互獨立.收銀臺顧客A收銀臺B收銀臺C收銀臺甲a0.20.4乙0.3b0.3(1)求a，b的值；(2)求甲、乙兩人在結賬時都選擇C收銀臺的概率；(3)求甲、乙兩人在結賬時至少一人選擇C收銀臺的概率.【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根據甲在三個收銀臺結賬的概率和為1求a值，同理求b的值；（2）“甲選擇C收銀臺”與“乙選擇收銀臺”是相互獨立事件，利用獨立事件的概率公式求解；（3）利用對立事件求解.【詳解】（1）由表可知,甲選擇A收銀臺的概率為,乙選擇B收銀臺的概率為（2）設事件為“甲選擇C收銀臺”,事件為“乙選擇收銀臺”,事件為“甲,乙兩人在結賬時都選擇C收銀臺”.根據題意,,事件相互獨立.所以.（3）設事件為“甲，乙兩人在結賬時至少一人選擇收銀臺”,.20．在四棱雉中，底面是正方形，為棱的中點，，，再從下列兩個條件中任選一個作為已知，求解下列問題.條件①：平面平面；條件②：.(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)求點到平面的距離.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.【答案】(1)證明見解析；(2)(3)【分析】（1）條件①利用面面垂直的性質定理可證得；條件②利用線面垂直的判定定理可證得；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量法求面面夾角；（3）利用空間向量求點到面的距離.【詳解】（1）條件①：平面平面證明：因為平面平面，，平面，平面平面，所以平面.條件②：證明：因為，，且平面，，所以平面.（2）由（1）知平面，，兩兩垂直，以為原點，分別所在的直線為軸，建立如圖空間直角坐標系，則，，，，所以，由（1）知平面的法向量，設平面的法向量為，則，即，令，則，設平面與平面夾角的為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為（3）由已知得，，所以點到平面的距離為21．已知圓，圓及點.(1)判斷圓和圓的位置關系；(2)求經過點且與圓相切的直線方程.【答案】(1)相交(2)或【分析】（1）根據兩圓方程可確定圓心和半徑，由圓心距與兩圓半徑之間的關系可確定兩圓位置關系；（2）易知切線斜率存在，則可設其為，利用圓心到直線距離等于半徑可構造方程求得，進而得到切線方程.【詳解】（1）圓方程可整理為：，則圓心，半徑；由圓方程可知：圓心，半徑；，，，，圓和圓相交.（2）當過的直線斜率不存在，即為時，其與圓不相切，可設所求切線方程為：，即，圓心到切線的距離，即，解得：或，切線方程為：或，即或.22．已知橢圓的離心率為，一個頂點為.(1)求橢圓的方程；(2)若過點的直線與橢圓的另一個交點為，且，求點的坐標.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據橢圓中的關系求解即可；（2）先利用求出點的軌跡方程，然后求點的軌跡方程與橢圓的交點即可，求值的時候一定要注意變量范圍.【詳解】（1）由題可知；，又因為，解得所以橢圓的方程為（2）設，因為，所以有，則點為橢圓與圓的交點，聯立，解得或（舍去，因為）所以有或，故點的坐標為23．已知無窮數列滿足公式，設.(1)若，求的值；(2)若，求的值；(3)給定整數，是否存在這樣的實數，使數列滿足：①數列的前項都不為零；②數列中從第項起，每一項都是零.若存在，請將所有這樣的實數從小到大排列形成數列，并寫出數列的通項公式；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)(3)存在這樣的，，理由見解析【分析】（1）根據，求出；（2），（i）當時，可得，