2022-2023學(xué)年北京市東城區(qū)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年北京市東城區(qū)高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知向量，，且，那么實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行關(guān)系可知，由向量坐標(biāo)運(yùn)算可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】，，，解得：.故選：B.2．已知直線的傾斜角為（

）度A．45 B．135 C．60 D．90【答案】A【分析】根據(jù)給定的直線方程，求出其斜率，再求出傾斜角作答.【詳解】直線的斜率為1，所以直線的傾斜角為45度.故選：A3．拋物線的準(zhǔn)線方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)拋物線方程可直接求得結(jié)果.【詳解】由拋物線方程可知其準(zhǔn)線方程為：.故選：C.4．2021年9月17日，北京2022年冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)主題口號(hào)正式對(duì)外發(fā)布——“一起向未來(lái)”（英文為：“TogetherforaSharedFuture”），這是中國(guó)向世界發(fā)出的誠(chéng)摯邀約，傳遞出14億中國(guó)人民的美好期待.“一起向未來(lái)”的英文表達(dá)是：“TogetherforaSharedFuture”，其字母出現(xiàn)頻數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表：字母togehrfasdu頻數(shù)32142422112合計(jì)頻數(shù)為24，那么字母“”出現(xiàn)的頻率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用字母“”出現(xiàn)的頻數(shù)除以總數(shù)就是所求頻率.【詳解】由圖中表格可知，字母“”出現(xiàn)的頻數(shù)為4，合計(jì)總頻數(shù)為24，所以字母“”出現(xiàn)的頻率為.故選：B5．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，那么（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由可直接求得結(jié)果.【詳解】由得：，.故選：A.6．已知在長(zhǎng)方體中，，，那么直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由長(zhǎng)方體性質(zhì)易知為與面所成的角，進(jìn)而求其正弦值即可.【詳解】根據(jù)長(zhǎng)方體性質(zhì)知：面，故為與面所成的角，，所以.故選：A7．如圖，點(diǎn)是正方形兩條對(duì)角線的交點(diǎn).從這個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取兩個(gè)，那么這兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出事件的基本總數(shù)，再求出滿足條件的基本事件數(shù)，利用古典概型計(jì)算即可.【詳解】從四個(gè)頂點(diǎn)選兩個(gè)的情況數(shù)為：，選的兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于中心對(duì)稱的情況有：與兩種，所以所求概率為：，故選：C.8．圓心為，半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，由題中條件，可直接得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，圓心為，半徑圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；故選：B．9．已知正四棱錐的高為4，棱的長(zhǎng)為2，點(diǎn)為側(cè)棱上一動(dòng)點(diǎn)，那么面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)得到平面，，然后根據(jù)，，得到的范圍，最后根據(jù)三角形面積公式求面積的最小值即可.【詳解】取中點(diǎn)，連接、、，因?yàn)樗睦忮F為正四棱錐，所以平面，，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)?，，所以，，在直角三角形中，?dāng)時(shí)，最小，為，當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，最大，最大為4，所以，，所以當(dāng)時(shí)，的面積最小，為.故選：D.10．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，將第一次得到的點(diǎn)數(shù)記為，第二次得到的點(diǎn)數(shù)記為，那么事件“”的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知先列舉出事件總數(shù)，然后解出不等式，找出滿足條件的事件數(shù)，結(jié)合古典概率計(jì)算即可.【詳解】由題意第一次得到的點(diǎn)數(shù)記為，第二次得到的點(diǎn)數(shù)記為，記為，則它的所有可能情況為：共36種，由，即，由在單調(diào)遞增，所以，所以滿足條件的有：共6種，所以事件“”的概率為：，故選：C.11．地震預(yù)警是指在破壞性地震發(fā)生以后，在某些區(qū)域可以利用“電磁波”搶在“地震波”之前發(fā)出避險(xiǎn)警報(bào)信息，以減小相關(guān)預(yù)警區(qū)域的災(zāi)害損失.根據(jù)Rydelek和Pujol提出的雙臺(tái)子臺(tái)陣方法，在一次地震發(fā)生后，通過兩個(gè)地震臺(tái)站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在雙曲線的一支上，這兩個(gè)地震臺(tái)站的位置就是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn).在一次地震預(yù)警中，兩地震臺(tái)站和站相距.根據(jù)它們收到的信息，可知震中到站與震中到站的距離之差為.據(jù)此可以判斷，震中到地震臺(tái)站的距離至少為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)震中為，根據(jù)雙曲線的定義以及可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)震中為，依題意有，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線靠近的一支，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取等號(hào)，所以,所以，所以震中到地震臺(tái)站的距離至少為.故選：A12．對(duì)于數(shù)列，若存在正數(shù)，使得對(duì)一切正整數(shù)，都有，則稱數(shù)列是有界的.若這樣的正數(shù)不存在，則稱數(shù)列是無(wú)界的.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則數(shù)列是無(wú)界的 B．若，則數(shù)列是有界的C．若，則數(shù)列是有界的 D．若，則數(shù)列是有界的【答案】C【分析】根據(jù)可知A錯(cuò)誤；由可知不存在最大值，即數(shù)列無(wú)界；分別在為偶數(shù)和為奇數(shù)的情況下得到，由此可確定，知C正確；采用放縮法可求得，由可知D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，恒成立，存在正數(shù)，使得恒成立，數(shù)列是有界的，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，，即隨著的增大，不存在正數(shù)，使得恒成立，數(shù)列是無(wú)界的，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；，存在正數(shù)，使得恒成立，數(shù)列是有界的，C正確；對(duì)于D，，；在上單調(diào)遞增，，不存在正數(shù)，使得恒成立，數(shù)列是無(wú)界的，D錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列中的新定義問題，解題關(guān)鍵是理解數(shù)列有界的本質(zhì)是對(duì)于數(shù)列中的最值的求解，進(jìn)而可以通過對(duì)于數(shù)列單調(diào)性的分析來(lái)確定數(shù)列是否有界.二、填空題13．已知空間向量，，若，則實(shí)數(shù)_____．【答案】1【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，故答案為?14．在等差數(shù)列中，，，則______.【答案】【分析】利用已知條件求出公差，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，所以，所以，故答案為：.15．兩條直線與之間的距離是______.【答案】【分析】根據(jù)平行直線間距離公式可直接求得結(jié)果.【詳解】由平行直線間距離公式可得：之間的距離.故答案為：.16．試寫出一個(gè)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，漸近線方程為的雙曲線方程___________.【答案】(或其它以為漸近線的雙曲線方程)【分析】根據(jù)題意寫出一個(gè)即可.【詳解】中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，漸近線方程為的雙曲線方程為故答案為：(或其它以為漸近線的雙曲線方程)17．已知點(diǎn)是曲線（其中a，b為常數(shù)）上的一點(diǎn)，設(shè)M，N是直線上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，且.則下列結(jié)論正確的是______.①當(dāng)時(shí)，方程表示橢圓；②當(dāng)時(shí)，方程表示雙曲線；③當(dāng)，，且時(shí)，使得是等腰直角三角形的點(diǎn)有6個(gè)；④當(dāng)，，且時(shí)，使得是等腰直角三角形的點(diǎn)有8個(gè).【答案】②③④【分析】對(duì)①②，根據(jù)方程表示的曲線可以是圓，橢圓，雙曲線，直線判斷；對(duì)③④，求出點(diǎn)P到直線的距離d的取值范圍，對(duì)點(diǎn)P是否為直角頂點(diǎn)進(jìn)行分類討論，確定d，t的等量關(guān)系，綜合可得出結(jié)論.【詳解】方程中當(dāng)時(shí)可表示圓，當(dāng)時(shí)，表示雙曲線，故①錯(cuò)誤，②正確；在③④中：橢圓方程為，橢圓與直線均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為

對(duì)③：時(shí)，(1)若為直角頂點(diǎn)，如圖1，則，，滿足為等腰直角三角形的點(diǎn)有四個(gè)，圖1(2)若不是直角頂點(diǎn)，如圖2，則，，滿足是等腰直角三角形的非直角頂點(diǎn)有兩個(gè)，圖2故時(shí)，使得是等腰直角三角形的點(diǎn)有6個(gè)，③正確；對(duì)④：時(shí)，(1)若為直角頂點(diǎn)，如圖1,則，，滿足為等腰直角三角形的點(diǎn)有四個(gè)..(2)若不是直角頂點(diǎn)，如圖3,則，，滿足是等腰直角三角形的非直角頂點(diǎn)有四個(gè)，圖3故時(shí)，使得是等腰直角三角形的點(diǎn)有8個(gè)，④正確；故答案為：②③④.【點(diǎn)睛】橢圓的參數(shù)方程是，對(duì)于有關(guān)橢圓上點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)問題的題目可以轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題求解，比如求的最大值，求點(diǎn)到直線的距離范圍等問題都可以使用橢圓的參數(shù)方程來(lái)解決.三、雙空題18．某單位組織知識(shí)競(jìng)賽，按照比賽規(guī)則，每位參賽者從5道備選題中隨機(jī)抽取3道題作答.假設(shè)在5道備選題中，甲答對(duì)每道題的概率都是，且每道題答對(duì)與否互不影響，則甲恰好答對(duì)其中兩道題的概率為______；若乙能答對(duì)其中3道題且另外兩道題不能答對(duì)，則乙恰好答對(duì)兩道題的概率為______.【答案】

【分析】（1）甲能夠答對(duì)道題目，則，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率即可進(jìn)一步求解；（2）設(shè)乙能夠答對(duì)道題目，根據(jù)超幾何分布即可求出答案.【詳解】解設(shè)甲能夠答對(duì)道題目，，所以，解設(shè)乙能夠答對(duì)道題目，則.故答案為：；.四、解答題19．某超市有A，B，C三個(gè)收銀臺(tái)，顧客甲、乙兩人結(jié)賬時(shí)，選擇不同收銀臺(tái)的概率如下表所示，且兩人選擇哪個(gè)收銀臺(tái)相互獨(dú)立.收銀臺(tái)顧客A收銀臺(tái)B收銀臺(tái)C收銀臺(tái)甲a0.20.4乙0.3b0.3(1)求a，b的值；(2)求甲、乙兩人在結(jié)賬時(shí)都選擇C收銀臺(tái)的概率；(3)求甲、乙兩人在結(jié)賬時(shí)至少一人選擇C收銀臺(tái)的概率.【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根據(jù)甲在三個(gè)收銀臺(tái)結(jié)賬的概率和為1求a值，同理求b的值；（2）“甲選擇C收銀臺(tái)”與“乙選擇收銀臺(tái)”是相互獨(dú)立事件，利用獨(dú)立事件的概率公式求解；（3）利用對(duì)立事件求解.【詳解】（1）由表可知,甲選擇A收銀臺(tái)的概率為,乙選擇B收銀臺(tái)的概率為（2）設(shè)事件為“甲選擇C收銀臺(tái)”,事件為“乙選擇收銀臺(tái)”,事件為“甲,乙兩人在結(jié)賬時(shí)都選擇C收銀臺(tái)”.根據(jù)題意,,事件相互獨(dú)立.所以.（3）設(shè)事件為“甲，乙兩人在結(jié)賬時(shí)至少一人選擇收銀臺(tái)”,.20．在四棱雉中，底面是正方形，為棱的中點(diǎn)，，，再?gòu)南铝袃蓚€(gè)條件中任選一個(gè)作為已知，求解下列問題.條件①：平面平面；條件②：.(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)證明見解析；(2)(3)【分析】（1）條件①利用面面垂直的性質(zhì)定理可證得；條件②利用線面垂直的判定定理可證得；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求面面夾角；（3）利用空間向量求點(diǎn)到面的距離.【詳解】（1）條件①：平面平面證明：因?yàn)槠矫嫫矫妫?，平面，平面平面，所以平?條件②：證明：因?yàn)椋?，且平面，，所以平?（2）由（1）知平面，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，分別所在的直線為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，由（1）知平面的法向量，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，設(shè)平面與平面夾角的為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為（3）由已知得，，所以點(diǎn)到平面的距離為21．已知圓，圓及點(diǎn).(1)判斷圓和圓的位置關(guān)系；(2)求經(jīng)過點(diǎn)且與圓相切的直線方程.【答案】(1)相交(2)或【分析】（1）根據(jù)兩圓方程可確定圓心和半徑，由圓心距與兩圓半徑之間的關(guān)系可確定兩圓位置關(guān)系；（2）易知切線斜率存在，則可設(shè)其為，利用圓心到直線距離等于半徑可構(gòu)造方程求得，進(jìn)而得到切線方程.【詳解】（1）圓方程可整理為：，則圓心，半徑；由圓方程可知：圓心，半徑；，，，，圓和圓相交.（2）當(dāng)過的直線斜率不存在，即為時(shí)，其與圓不相切，可設(shè)所求切線方程為：，即，圓心到切線的距離，即，解得：或，切線方程為：或，即或.22．已知橢圓的離心率為，一個(gè)頂點(diǎn)為.(1)求橢圓的方程；(2)若過點(diǎn)的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，且，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓中的關(guān)系求解即可；（2）先利用求出點(diǎn)的軌跡方程，然后求點(diǎn)的軌跡方程與橢圓的交點(diǎn)即可，求值的時(shí)候一定要注意變量范圍.【詳解】（1）由題可知；，又因?yàn)?，解得所以橢圓的方程為（2）設(shè)，因?yàn)椋杂?，則點(diǎn)為橢圓與圓的交點(diǎn)，聯(lián)立，解得或（舍去，因?yàn)椋┧杂谢颍庶c(diǎn)的坐標(biāo)為23．已知無(wú)窮數(shù)列滿足公式，設(shè).(1)若，求的值；(2)若，求的值；(3)給定整數(shù)，是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使數(shù)列滿足：①數(shù)列的前項(xiàng)都不為零；②數(shù)列中從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是零.若存在，請(qǐng)將所有這樣的實(shí)數(shù)從小到大排列形成數(shù)列，并寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)(3)存在這樣的，，理由見解析【分析】（1）根據(jù)，求出；（2），（i）當(dāng)時(shí)，可得，