2022-2023學年北京市密云區(qū)高二年級上冊學期期末考試數學試題【含答案】

2022-2023學年北京市密云區(qū)高二上學期期末考試數學試題一、單選題1．拋物線的準線方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由拋物線的方程直接求解準線方程即可.【詳解】解：由拋物線，可得其準線方程是.故選：A.2．已知數列，首項，，則（

）A．5 B．8 C．11 D．15【答案】B【分析】根據遞推關系求得.【詳解】.故選：B3．設，是兩條不同的直線，是一個平面，則下列命題中正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】A【分析】根據空間線線、線面、面面位置關系有關知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，根據線面垂直的定義可知，若，，則，A選項正確.B選項，若，，則可能平行，所以B選項錯誤.C選項，若，，則可能含于平面，所以C選項錯誤.D選項，若，，則可能含于平面，所以D選項錯誤.故選：A4．已知直線.則下列結論正確的是（

）A．點在直線上 B．直線的傾斜角為C．直線在軸上的截距為8 D．直線的一個方向向量為【答案】B【分析】逐個分析各個選項.【詳解】對于A項，當，時，代入直線方程后得，∴點不在直線l上，故A項錯誤；對于B項，設直線l的傾斜角為，∵，∴，又∵，∴，故B項正確；對于C項，令得：，∴直線l在y軸上的截距為，故選項C錯誤；對于D項，∵直線l的一個方向向量為，∴，這與已知相矛盾，故選項D錯誤.故選：B.5．在四面體OABC中記，，，若點M、N分別為棱OA、BC的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據空間向量的線性運算，即得.【詳解】由題意得：.故選：B.6．若雙曲線的一條漸近線經過點，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】先求出漸近線方程，代入點化簡求解.【詳解】雙曲線的漸近線方程為：，點在一條漸近線上即故選：D7．若直線：與：互相平行，則a的值是（

）A． B．2C．或2 D．3或【答案】A【分析】根據直線：與：互相平行，由求解.【詳解】因為直線：與：互相平行，所以，即，解得或，當時，直線：，：，互相平行；當時，直線：，：，重合；所以，故選：A8．已知，，且，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】利用向量平行的充要條件列出關于x、y的方程組，解之即可求得x、y的值.【詳解】，，則，由，可得，解之得故選：B9．已知直線和圓：，則直線與圓的位置關系為（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【答案】A【解析】求出直線過的定點坐標，確定定點在圓內，則可判斷．【詳解】直線方程整理為，即直線過定點，而，在圓內，∴直線與圓相交．故選：A．【點睛】關鍵點點睛：本題考查直線與圓的位置關系．關鍵點有兩個：一是確定動直線所過定點坐標，二是確定點到圓的位置關系：圓的一般方程為，點，則點在圓內，點在圓上，點在圓外．10．在直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，且滿足，點滿足，其中，，則下列說法不正確的是（

）A．當時，的面積的最大值為B．當時，三棱錐的體積為定值C．當時，有且僅有一個點，使得D．當時，存在點，使得平面【答案】C【分析】根據選項A，可得點在上運動，當點運動到點時，的面積取得最大值，則，判斷選項A；根據選項B，可得點在上運動，則，判斷選項B；設的中點為，的中點為，根據選項C，可得點在上運動，則點在上運動，可證得面，即可判斷選項C；建立空間直角坐標系，設出點的坐標，求得出點的坐標，即可判斷選項D.【詳解】當時,,則點在上運動，則當點與重合時，則此時面積取得最大值，,由于直三棱柱，則,為等腰直角三角形,則,面則面面則,故選項A正確；當時，則，點在上運動，則,由于點到平面的距離為定值，點到線段的距離恒為則,則，故選項B正確；當時，,設的中點為，的中點為，則點在上運動，當點與點重合時，,則面，則當點與點重合時，面，即面，則,故選項C錯誤；如圖建立空間直角坐標系，設的中點為，的中點為，當時，，則點在線段上運動，設平面的法向量為.則當時，則與平行，則存在點，使得平面，故選項D正確.故選：C.【點睛】思路點睛：用向量方法解決立體幾何問題，樹立“基底”意識，利用基向量進行線性運算，要理解空間向量概念、性質、運算，注意和平面向量類比..二、填空題11．已知直線和直線互相垂直，則的值是______.【答案】【分析】根據直線垂直列方程，由此求得的值.【詳解】由于兩條直線垂直，所以.故答案為：12．圓心為且和軸相切的圓的方程是______.【答案】【分析】根據圓的切線性質進行求解即可.【詳解】因為該圓與軸相切，所以該圓的半徑為，因此圓的方程為，故答案為：13．已知拋物線的焦點為，準線為，點是拋物線上一點，于．若，，則拋物線的方程為______．【答案】【分析】根據拋物線的定義可得，然后在直角三角形中利用可得，從而可得答案．【詳解】根據拋物線的定義可得，又，所以，得，所以拋物線的方程為．故答案為：．14．關于曲線，給出下列四個結論：①曲線關于原點對稱，也關于軸、軸對稱；②曲線圍成的面積是；③曲線上任意一點到原點的距離者不大于；④曲線上的點到原點的距離的最小值為1.其中，所有正確結論的序號是______.【答案】①②③④【分析】畫出曲線的圖象，根據對稱性、面積、圖象等知識確定正確答案.【詳解】曲線，則時，，時，，時，，當時，，由此畫出曲線的圖象如下圖所示，由圖可知：曲線關于原點對稱，也關于軸、軸對稱，①正確.曲線圍成的面積是，②正確.曲線上任意一點到原點的距離者不大于，③正確曲線上的點到原點的距離的最小值為1，即，所以④正確.故答案為：①②③④三、雙空題15．已知數列的前項和，則______，的最小值為______.【答案】

【分析】利用求得，進而求得正確答案.【詳解】當時，，當時，由得，，所以，所以，由于時，，是遞增數列，，所以的最小值為.故答案為：；四、解答題16．已知數列為等差數列，且，.(1)求數列的通項公式；(2)若等比數列滿足，，求數列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由得出數列的通項公式；（2）先由得出公比，再由求和公式計算即可.【詳解】（1）因為，，所以，解得.即數列的通項公式為.（2）設公比為，因為，所以，所以數列的前項和為.17．已知圓，圓，直線.(1)求圓心到直線的距離；(2)已知直線與圓交于，兩點，求弦的長；(3)判斷圓與圓的位置關系.【答案】(1)(2)(3)外切【分析】（1）利用點到直線的距離公式求得正確答案.（2）根據弦長公式求得正確答案.（3）根據圓心距與兩圓半徑的關系確定兩圓的位置關系.【詳解】（1）圓的圓心為，半徑.圓的方程可化為，所以圓心為，半徑.所以圓心到直線的距離為.（2）.（3），所以兩圓外切.18．如圖所示，在多面體中，梯形與正方形所在平面互相垂直，，，.(1)求證：平面；(2)求證：平面；(3)若點在線段上，且，求異面直線與所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）首先根據面面平行的判定證明平面平面，再根據面面平行的性質即可得到答案.（2）首先取的中點，連接，易證，，再利用線面垂直的判定即可證明平面.（3）首先以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，再利用空間向量法求解即可.【詳解】（1）因為平面；平面；，所以平面.因為平面；平面；，所以平面.又因為平面，平面，，所以平面平面；又因為平面，所以平面.（2）取的中點，連接，如圖所示：因為四邊形為梯形，且，，所以四邊形為正方形，，.所以，，即，.又因為平面平面，且平面，，所以平面.又因為平面，所以.因為，，，平面，所以平面.（3）以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，，，，，，，設異面直線與所成角為，則.所以異面直線與所成角的余弦值為.19．已知橢圓的長軸長是焦距的2倍，點是橢圓的右焦點，且點在橢圓上，直線與橢圓交于A，兩點.(1)求橢圓的方程；(2)當時，求的面積；(3)對，的周長是否為定值？若是，給出證明，并求出定值；若不是，說明理由.【答案】(1)(2)(3)是，定值為8，證明見解析【分析】（1）由a、b、c關系及點在橢圓上建立方程組即可解得參數；（2），聯立直線與橢圓方程，結合韋達定理即可求.（3）判斷直線恒過左焦點，由橢圓定義可得周長為定值.【詳解】（1）長軸長是焦距的2倍，則，則，∴橢圓為，代入點得，解得.∴橢圓的方程為.（2），則直線為，過橢圓左焦點，右焦點為.設，由得，∴，，.∴.∴.（3）的周長為定值，理由如下：直線l恒過橢圓左焦點，由橢圓定義可知的周長為.20．已知在四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，是正三角形，、、、分別是、、、的中點.再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個條件作為已知.條件①：平面；條件②：；條件③：平面平面.(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成銳二面角的大??；(3)在線段上是否存在點，使得直線與平面所成角為，若存在，求線段的長度；若不存在，說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)(3)答案見解析.【分析】（1）選條件①：平面，利用面面垂直的判定定理得到平面平面，再由，利用面面垂直的性質定理證明；選條件②：，由，得到，又，得到平面，然后利用面面垂直的判定定理得到平面平面，再由，利用面面垂直的性質定理證明；選條件③：平面平面，由，利用面面垂直的性質定理證明；（2）由（1）建立空間直角坐標系，求得平面EFG的一個法向量為，易知平面ABCD的一個法向量為，由求解；（3）設，，得到，由（2）知平面EFG的一個法向量為，由求解.【詳解】（1）證明：選條件①：平面，又平面ABCD，所以平面平面，因為是正三角形，且是的中點，所以，又平面APD平面ABCD=AD，平面APD所以平面；選條件②：；因為，所以，則，又，且，所以平面，又平面ABCD，所以平面平面，因為是正三角形，且是的中點，所以，又平面APD平面ABCD=AD，平面APD所以平面；選條件③：平面平面.因為是正三角形，且是的中點，所以，又平面APD平面ABCD=AD，平面APD所以平面；（2）由（1）建立如圖所示空間直角坐標系：則，，所以，設平面EFG的一個法向量為，則，即，令，則，所以，易知平面ABCD的一個法向量為，所以，所以平面與平面所成銳二面角為；（3）設，，則，由（2）知平面EFG的一個法向量為：，所以直線與平面所成角的正弦值為，即，整理得，因為，所以方程無解，即不存在滿足條件的點M.21．已知橢圓的一個頂點為，離心率為，，分別為橢圓的上、下頂點，動直線交橢圓于，兩點，滿足，過點作，垂足為.(1)求橢圓的標準方程；(2)判斷直線是否過定點，如果是，則求出此定點的坐標，如果不是，則說明理由；(3)寫出面積的最大值.【答案】(1)(2)過定點(3)【分析】（1）根據已知條件求得，從而求得橢圓的標準方程.（2）設出直線的方程并與橢圓方程聯立，化簡寫出根與系數關系，根據列方程，化簡后確