2022-2023學(xué)年四川省巴中市南江名校高三年級(jí)上冊(cè)學(xué)期12月月考試題 數(shù)學(xué)文【含答案】

2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月階段考試數(shù)學(xué)（文）試題一、選擇題；本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則子集的個(gè)數(shù)為（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則等于（）A.－1 B.0 C.1 D.23.通過(guò)隨機(jī)詢問110名不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表：男女總計(jì)愛好402060不愛好203050總計(jì)6050110由附表：0．0500．0100．0013．8416．63510．828參照附表，得到的正確結(jié)論是（）A.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”B.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0．1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0．1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”4.已知雙曲線C：的一條漸近線與直線l：垂直，則雙曲線C的離心率為（）A.2 B.3 C.4 D.55.已知，則最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.46.等于（）A. B. C.－1 D.17.如圖，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，則球與圓柱的體積之比為（）A. B. C. D.8.把棱長(zhǎng)為4cm的正方體表面涂上紅色，再將它分割成棱長(zhǎng)為1cm的小正方體，在這些小正方體中隨機(jī)任取一個(gè)，則六個(gè)面都沒有紅顏色的小正方體的概率為（）A. B. C. D.9.已知向量，滿足，與的夾角為，且實(shí)數(shù)x、y滿足，則的最大值為（）A.1 B.2 C.3 D.410.已知，用表示，中的最大者，記為：．當(dāng)，，時(shí)，函數(shù)的最小值為（）A.0 B.1 C.2 D.411.已知實(shí)數(shù)和滿足，．則下列關(guān)系式中正確的是（）A. B.C. D.12.已知點(diǎn)A為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B在圓上，則點(diǎn)A和B的距離最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若將正整數(shù)集中的偶數(shù)從小到大排列，它的前n項(xiàng)和為，則的前2023項(xiàng)的和為_____________．14.若變量滿足則的最大值是____________.15.某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：千元）對(duì)年銷售量y（單位：T）和年利潤(rùn)z（單位：千元）的影響．對(duì)近10年的年宣傳費(fèi)和年銷售量的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到y(tǒng)關(guān)于x的回歸方程．且這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x、y的關(guān)系為；則年宣傳費(fèi)x為_____________時(shí)年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大．16.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)N是拋物線C的對(duì)稱軸與它的準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)M是拋物線上的任意一點(diǎn)，則的最大值為_____________．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且對(duì)，恒成立，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和；（2）設(shè)，求證：．18.已知．（1）求最小正周期和最大值；（2）在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角滿足，角A滿足，，ABC的面積為，求證：ABC是直角三角形．19.已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，為底面的邊的中點(diǎn)，且平面．（1）設(shè)為上底面的重心，試在平面內(nèi)作出過(guò)點(diǎn)與平面平行的直線，并說(shuō)明理由；（2）證明：（1）中的直線平面．20.若的圖象過(guò)點(diǎn)，且在點(diǎn)P處的切線方程為．（1）求a、b、c的值；（2）設(shè)，求證：．21.已知點(diǎn)E、F坐標(biāo)分別為、，直線EP和FP相交于點(diǎn)P，且它們的斜率之積為．（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）過(guò)定點(diǎn)任作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的直線與軌跡C相交于A、B兩點(diǎn)，求證；在x軸上存在一個(gè)定點(diǎn)M，使得MG為的一條內(nèi)角平分線，并求點(diǎn)M的坐標(biāo)．（3）設(shè)過(guò)點(diǎn)M與x軸垂直的直線為l，軌跡C上任一點(diǎn)N到點(diǎn)G的距離與點(diǎn)N到直線l的距離之比是否是定值？若為定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，說(shuō)明理由．（二）選考題：共10分，請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．22.已知曲線C：和直線l：（t參數(shù)）．（1）求曲線C的參數(shù)方程和直線l的普通方程；（2）過(guò)曲線C上任意一點(diǎn)P作與直線l夾角為30°的直線，交l于點(diǎn)A，求的最大值與最小值．23.（1）已知，若時(shí)不等式成立，求a的取值范圍；（2）已知，，且，求證：．2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月階段考試數(shù)學(xué)（文）試題一、選擇題；本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則子集的個(gè)數(shù)為（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】B【解析】【分析】首先判斷直線為曲線的切線，再結(jié)合集合含義，得出只有一個(gè)元素，從而求解.【詳解】由題知，，在點(diǎn)處的切線斜率為，則在處的切線方程為.因直線與曲線相切于點(diǎn)，有且只有這一個(gè)公共點(diǎn)，故中有且只有一個(gè)元素，所以的子集個(gè)數(shù)為2個(gè)．故選:B．2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則等于（）A.－1 B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可求得，再結(jié)合的周期性運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：，可得：，則故．故選：B．3.通過(guò)隨機(jī)詢問110名不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表：男女總計(jì)愛好402060不愛好203050總計(jì)6050110由附表：0．0500．0100．0013．8416．63510．828參照附表，得到的正確結(jié)論是（）A.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”B.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0．1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0．1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”【答案】A【解析】【詳解】由，而，故由獨(dú)立性檢驗(yàn)的意義可知選A4.已知雙曲線C：的一條漸近線與直線l：垂直，則雙曲線C的離心率為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】先由兩直線垂直得到漸近線斜率，則根據(jù)，即得離心率的值.【詳解】與直線l：垂直的雙曲線C：的漸近線方程為，故，則雙曲線的離心率．故選:．5.已知，則的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算可求得，再用基本不等式即可求得最小值.【詳解】由已知得，.因?yàn)?，所?故.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以，的最小值為3.故選：C．6.等于（）A. B. C.－1 D.1【答案】B【解析】【分析】先由對(duì)數(shù)加法運(yùn)算律得到真數(shù)位置相乘,應(yīng)用二倍角公式,由特殊角三角函數(shù)值結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算得到結(jié)果.【詳解】．故選:．7.如圖，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，則球與圓柱的體積之比為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)球的半徑為R，根據(jù)球與圓柱的體積公式計(jì)算即可【詳解】設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高．則球的體積，圓柱的體積，∴.故選：B．8.把棱長(zhǎng)為4cm正方體表面涂上紅色，再將它分割成棱長(zhǎng)為1cm的小正方體，在這些小正方體中隨機(jī)任取一個(gè)，則六個(gè)面都沒有紅顏色的小正方體的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)總的小立方體的個(gè)數(shù)64,及沒有涂色的小正方體的個(gè)數(shù),再根據(jù)古典概型得出概率.【詳解】由已知，共得到64個(gè)小立方體，其中六個(gè)面均沒有涂紅色的小立方體共8個(gè)，所求的概率為．故選:9.已知向量，滿足，與的夾角為，且實(shí)數(shù)x、y滿足，則的最大值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合數(shù)量積定義和數(shù)量積的運(yùn)算律整理可得，再利用不等式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：，∵，則，即，∴，又∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，整理得：，則，∴當(dāng)時(shí)，的最大值為2．故選：B．10.已知，用表示，中的最大者，記為：．當(dāng)，，時(shí)，函數(shù)的最小值為（）A.0 B.1 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】由二次不等式的解法結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷的單調(diào)性，進(jìn)而確定最值.【詳解】若，則；若，則或.∵在R上單調(diào)遞增，則有：當(dāng)時(shí)，則，即；當(dāng)或時(shí)，則，即；綜上所述：對(duì)于，則有：當(dāng)時(shí)，則在R上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴在上單調(diào)遞減，且，則；當(dāng)時(shí)，則在R上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞增，則；當(dāng)時(shí)，則在R上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞增，且，則；綜上所述：當(dāng)時(shí)，有最小值.故選：B.11.已知實(shí)數(shù)和滿足，．則下列關(guān)系式中正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知條件指對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化得到的值,再根據(jù)基本不等式得到BCD錯(cuò)誤,A正確.【詳解】由已知，，故且，，對(duì)于A,，故A成立．對(duì)于B,,故B錯(cuò)誤.對(duì)于C,,故C錯(cuò)誤.對(duì)于D,,故D錯(cuò)誤故選:A.12.已知點(diǎn)A為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B在圓上，則點(diǎn)A和B的距離最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可求恒成立，圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo)最大為2，則可知圖象上的點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離.又圖象上存在到圓上點(diǎn)的距離.所以，點(diǎn)A和B的距離最小值為2.【詳解】由知，，而，當(dāng)且僅當(dāng)，且時(shí)，即時(shí)取等號(hào)．故時(shí)，函數(shù)的最小值為4．所以圖象上的最低點(diǎn)為.圓的方程可化為，圓心為，半徑為1，圓的最高點(diǎn)為.所以，上點(diǎn)的縱坐標(biāo)最小為4，圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo)最大為2，所以，圖象上的點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離.又如圖取，，此時(shí).所以，點(diǎn)A和B的距離最小值為2.故選：B．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若將正整數(shù)集中的偶數(shù)從小到大排列，它的前n項(xiàng)和為，則的前2023項(xiàng)的和為_____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式求得，再利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】由題意可得：，則，故．故答案為：.14.若變量滿足則的最大值是____________.【答案】10【解析】【詳解】由約束條件作出可行域如圖，∵，，∴，聯(lián)立x+y=22x-3y=9，解得，∵，∴的最大值是10，故答案為10.點(diǎn)睛：本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題；由約束條件作出可行域，然后結(jié)合的幾何意義，即可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方求得的最大值.15.某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：千元）對(duì)年銷售量y（單位：T）和年利潤(rùn)z（單位：千元）的影響．對(duì)近10年的年宣傳費(fèi)和年銷售量的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到y(tǒng)關(guān)于x的回歸方程．且這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x、y的關(guān)系為；則年宣傳費(fèi)x為_____________時(shí)年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大．【答案】46.24（千元）【解析】【分析】利用回歸直線方程以及z與x、y的關(guān)系即可求解.【詳解】由已知，且，故，當(dāng)，即時(shí)，z有最大值66.36．故答案為：46.24（千元）16.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)N是拋物線C的對(duì)稱軸與它的準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)M是拋物線上的任意一點(diǎn)，則的最大值為_____________．【答案】【解析】【分析】首先利用拋物線定義，將轉(zhuǎn)化為，然后通過(guò)三角函數(shù)分析，去求拋物線的切線方程，從而求解最小值.【詳解】如圖所示，過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足記為.由已知得，，根據(jù)拋物線的定義知，點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離．故．在直角△MNH中，表示的倒數(shù)，故求的最大值轉(zhuǎn)化為求的最小值，此時(shí)，也最小值．而的最小值就是曲線在點(diǎn)M處切線過(guò)N點(diǎn)時(shí)的斜率．由得，故曲線在點(diǎn)處的方程為：．而點(diǎn)在此切線上，故有，則，取，此時(shí)切線斜率為：．故切線的傾斜角為45°，即．∴，故所求的最大值為．故答案為：三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且對(duì)，恒成立，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和；（2）設(shè)，求證：．【答案】（1），，（）；（2）證明見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意解出、，再利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式以及求和公式即可.（2）首先求出，再利用裂項(xiàng)相消求和，結(jié)合的范圍即可證明.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為q，由，，則，故．由得，解得∴，．（）【小問2詳解】由（1）可知，，故∵，，則∴．故命題得證.18.已知．（1）求的最小正周期和最大值；（2）在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角滿足，角A滿足，，ABC的面積為，求證：ABC是直角三角形．【答案】（1）最小正周期為，最大值為3；（2）證明見解析．【解析】【分析】(1)由二倍角公式和輔助角公式把函數(shù)化簡(jiǎn)為，應(yīng)用周期公式和值域性質(zhì)即可得解.（2）先有結(jié)合（1）得到角，再由面積公式計(jì)算得到，再應(yīng)用余弦定理得到，由勾股定理得證.【小問1詳解】由已知得故的最小正周期為，最大值為3．【小問2詳解】在ABC中由知：A為銳角，即，且，由知．由知．故，即．，由ABC的面積為，則，故．由余弦定理，得，故，則．∵，，∴，∴∵∴，故ABC是以B為直角的直角三角形．19.已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，為底面的邊的中點(diǎn)，且平面．（1）設(shè)為上底面的重心，試在平面內(nèi)作出過(guò)點(diǎn)與平面平行的直線，并說(shuō)明理由；（2）證明：（1）中的直線平面．【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理分析證明；（2）根據(jù)線面垂直的判定定理分析證明.【小問1詳解】證明：在平面內(nèi)，過(guò)作與平行的直線，交、于、兩點(diǎn)，則平面，理由如下：在三棱柱中，，，則，因?yàn)槠矫?，平面，平面．【小?詳解】證明：在底面正三角形中，為的中點(diǎn)，則．∵平面，平面，則．因?yàn)?，平面，∴平面．又∵，∴平面?0.若的圖象過(guò)點(diǎn)，且在點(diǎn)P處的切線方程為．（1）求a、b、c的值；（2）設(shè)，求證：．【答案】（1），，（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式運(yùn)算求解；（2）構(gòu)建新函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)單調(diào)性及最值證明.【小問1詳解】，則，由題意可得：，解得.【小問2詳解】由（1）可知：，，設(shè)，則，∵，令，則，當(dāng)時(shí)，，因此在內(nèi)為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，因此在內(nèi)為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，有極小值，也就是的最小值為．∵，可得，∴．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，則，，因此在上為減函數(shù)，∵，則，即，∴．綜上所述：當(dāng)時(shí)，有．【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟：(1)作差或變形；(2)構(gòu)造新的函數(shù)h(x)；(3)利用導(dǎo)數(shù)研究h(x)單調(diào)性或最值；(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個(gè)函數(shù)的最值問題．21.已知點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別為、，直線EP和FP相交于點(diǎn)P，且它們的斜率之積為．（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）過(guò)定點(diǎn)任作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的直線與軌跡C相交于A、B兩點(diǎn)，求證；在x軸上存在一個(gè)定點(diǎn)M，使得MG為的一條內(nèi)角平分線，并求點(diǎn)M的坐標(biāo)．（3）設(shè)過(guò)點(diǎn)M與x軸垂直的直線為l，軌跡C上任一點(diǎn)N到點(diǎn)G的距離與點(diǎn)N到直線l的距離之比是否是定值？若為定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）證明見解析；；（3）是定值．【解析】【分析】（1）由斜率公式列式求解，（2）由題意得，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立后由韋達(dá)定理化簡(jiǎn)后求解，（3）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，由距離公式與橢圓方程化簡(jiǎn)求解，【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)，由已知得：，∴，即①故P的軌跡方程為【小問2詳解】設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為②把②代入①，整理得：，設(shè)，，則、是方程的兩實(shí)根，由韋達(dá)定理得，，設(shè)，由