2021-2022學(xué)年陜西省西安市高新高一年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年陜西省西安市高新第一中學(xué)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．下列能正確表示集合和關(guān)系的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出集合N，再求出即可得答案.【詳解】解：，故，故選：A2．若，是第二象限的角，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得，然后求得.【詳解】由于，是第二象限的角，所以，所以.故選：C3．已知向量＝(3，1)，＝(2，λ)(λ∈R)，若⊥，則(

)A．5 B． C． D．10【答案】B【分析】向量垂直，它們數(shù)量積為零，求出λ即可計(jì)算.【詳解】依題意，即，解得，則＝(2，－6)，，故．故選：B.4．三個(gè)數(shù)a＝0.42，b＝log20.3，c＝20.6之間的大小關(guān)系是（

）A．a(chǎn)＜c＜b B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得0＜a＜1，b＜0，c＞1，由此可判斷得選項(xiàng).【詳解】解：∵0＜0.42＜0.40＝1，∴0＜a＜1，∵log20.3＜log21＝0，∴b＜0，∵20.6＞20＝1，∴c＞1，∴b＜a＜c，故選：C．5．已知點(diǎn)是直線與單位圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得，，解方程可得的值，再由余弦的二倍角公式即可求解.【詳解】由題意可得且，則，解得：，所以，故選：A.6．在△中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則A． B．C． D．【答案】A【分析】分析：首先將圖畫出來，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得，之后應(yīng)用向量的加法運(yùn)算法則-------三角形法則，得到，之后將其合并，得到，下一步應(yīng)用相反向量，求得，從而求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，所以，故選A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認(rèn)真對(duì)待每一步運(yùn)算.7．已知函數(shù)是偶函數(shù)，則在上的值域是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】化簡(jiǎn)可得，根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)可得，再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)可求出值域.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以.又∵，∴，即.因?yàn)?，∴，∴?dāng)時(shí)，的最大值為1，當(dāng)時(shí)，的最小值是.所以在上的值域是.故選：D.8．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先判斷的奇偶性和單調(diào)性，由此化簡(jiǎn)不等式，從而求得的取值范圍.【詳解】的定義域?yàn)?，，所以為奇函?shù)，在上遞增，由得，∴，，解得.故選：B9．已知函數(shù)的圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為的圖象與軸的交點(diǎn)為，則的圖象的一條對(duì)稱軸方程可以為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先化簡(jiǎn)函數(shù)為，再根據(jù)函數(shù)的圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為，求得，再根據(jù)的圖象與軸的交點(diǎn)為，由求得函數(shù)解析式，然后令求解.【詳解】由題意知，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為，所以其最小正周期為，故，因?yàn)榈膱D象與軸的交點(diǎn)為，所以，又，所以，所以，令，得，令，得，則的圖象的一條對(duì)稱軸方程可以為.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1．討論三角函數(shù)性質(zhì)，應(yīng)先把函數(shù)式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式．2．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期為.3．對(duì)于函數(shù)的性質(zhì)(定義域、值域、單調(diào)性、對(duì)稱性、最值等)可以通過換元的方法令t＝ωx＋φ，將其轉(zhuǎn)化為研究y＝sint的性質(zhì)．10．在中，，，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知數(shù)量積相等求得，取中點(diǎn)D，從而求得中線的長(zhǎng)，可表示為的函數(shù)，由三角函數(shù)知識(shí)得取值范圍．【詳解】在中，，即，取中點(diǎn)D，即，則又BD是中線，所以是等腰三角形，BA=BC.由，即，，則，由，則，所以.故選：C．二、填空題11．已知向量，且，則___________.【答案】【分析】由向量平行的坐標(biāo)表示可直接構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】解：向量，且，所以，解得.故答案為：.12．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_______.【答案】2【分析】由題意結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的概念可轉(zhuǎn)化條件得，在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)與的圖象，由函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可得函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】令，則，在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)與的圖象，如圖：由圖象可知，函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)不同實(shí)根，所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的求解及函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題.13．已知，與的夾角為，那么=___________.【答案】【分析】根據(jù)向量加法運(yùn)算公式計(jì)算求解即可【詳解】解：根據(jù)向量模的計(jì)算公式得，，所以故答案為：14．已知函數(shù)，下列說法正確的序號(hào)是___________.①函數(shù)的周期為；②；③在區(qū)間上單調(diào)遞增；④的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱.【答案】②③【分析】應(yīng)用特殊值法，結(jié)合周期性、對(duì)稱的性質(zhì)判斷①、④，利用是函數(shù)的周期直接求判斷②；由已知區(qū)間有，即可判斷③.【詳解】解：對(duì)于①，函數(shù)，，，函數(shù)的周期不是，故①不正確.對(duì)于②，因?yàn)?，所以是函?shù)的周期，所以，②正確；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，③正確；對(duì)于④，，，則，所以的圖像不關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故④不正確.故答案為：②③.三、解答題15．已知tanα＝2.(1)求的值；(2)求的值【答案】(1)-3(2)【分析】（1）由正切的和角公式求解即可；（2）由余弦的二倍角公式與弦的齊次式弦化切求解即可【詳解】（1）；（2）16．試用向量的方法證明：在中，.【答案】證明見解析【分析】設(shè)，從而得出，化簡(jiǎn)整理可得，兩邊同時(shí)與作內(nèi)積，利用向量的數(shù)量積公式即可求解.【詳解】設(shè)，從而得出，，，，得證.17．某企業(yè)欲做一個(gè)介紹企業(yè)發(fā)展史的銘牌，銘牌的截面形狀是如圖所示的扇形環(huán)面（由扇形OAD挖去扇形OBC后構(gòu)成的）.已知，，線段BA，CD與，的長(zhǎng)度之和為30，圓心角為弧度.(1)求關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(2)記銘牌的截面面積為y，試問x取何值時(shí)，y的值最大？并求出最大值.【答案】(1)；(2)，.【分析】（1）根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)公式結(jié)合已知條件可得出關(guān)于、的等式，即可得出關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）利用扇形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）解：根據(jù)題意，可算得，．因?yàn)椋裕裕?（2）解：根據(jù)題意，可知，當(dāng)時(shí)，.綜上所述，當(dāng)時(shí)銘牌的面積最大，且最大面積為.18．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的對(duì)稱中心；(2)若，且，求的值.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用二倍角公式和輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)為，根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱中心，令，解之即可求解；(2)結(jié)合（1）的結(jié)論，將化簡(jiǎn)整理可得：，進(jìn)而求出，代入即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，令，則，所以函數(shù)的對(duì)稱中心為；（2），所以，又，所以，則.19．已知向量a＝(cos2ωx－sin2ωx，sinωx)，b＝(，2cosωx)，設(shè)函數(shù)f(x)＝a·b(x∈R)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱，其中ω為常數(shù)，且ω∈(0，1)．(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若將y＝f(x)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模賹⑺脠D象向右平移個(gè)單位，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)＝h(x)的圖象，若關(guān)于x的方程h(x)＋k＝0在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】（1）T＝6π；單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z.（2）{k|或k＝－2}．【分析】（1）先利用平面向量的數(shù)量積定義和二倍角公式、輔助角公式得到，再利用對(duì)稱性求出值，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解；（2）先利用三角函數(shù)圖象變換得到，再令，利用三角函數(shù)的圖象和數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解.【詳解】(1)f(x)＝a·b＝(cos2ωx－sin2ωx)＋2sinωxcosωx＝cos2ωx＋sin2ωx＝2sin.∵直線x＝是y＝f(x)的圖象的一條對(duì)稱軸，∴(k∈Z)，即ω＝k＋(k∈Z)．又ω∈(0，1)，∴ω＝，f(x)＝2sin，∴T＝6π.令，k∈Z，得，k∈Z，即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z.(2)由（1）得f(x)＝2sin，將y＝f(x)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，再將所得圖象向右平移個(gè)單位，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)＝2sin的圖象，∴h(x)＝2sin.令＝t，∵0≤x≤，∴－≤t≤，方程h(x)＋k＝0在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，即方程2sint＋k＝0在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，亦即y＝2sint，t∈的圖象與直線y＝－k有且只有一個(gè)交點(diǎn)，畫出圖象分析可知－≤－k＜或－k＝2，即或k＝－2.故實(shí)數(shù)k的取值范圍是{k|或k＝－2}．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、三角函數(shù)的圖象變換，意在考查學(xué)生的邏輯思維能力和綜合分析解決問題的能力，屬于中檔題．解決本題的易錯(cuò)點(diǎn)在于三角函數(shù)的圖象變換，學(xué)生往往得到錯(cuò)誤的結(jié)果“”，在處理圖象平移時(shí)，要注意平移的單位僅對(duì)于“自變量”而言，如本題中.20．設(shè)函數(shù)，若實(shí)數(shù)使得對(duì)任意恒成立，求的值.【答案】【分析】整理得，，則可整理得，，據(jù)此，列出方程組，，解方程組，可得答案.【詳解】解：，，即，即，化為：，依題意，對(duì)任意恒成立，，由得：，故答案為：21．若函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)值，在其定義域內(nèi)都存在唯一的，使成立，則稱該函數(shù)為“依賴函數(shù)”.（1）判斷函數(shù)是否為“依賴函數(shù)”，并說明理由；（2）若函數(shù)在定義域上為“依賴函數(shù)”，求的取值范圍；（3）已知函數(shù)在定義域上為“依賴函數(shù)”，若存在實(shí)數(shù)：，使得對(duì)任意的，不等式都成立，求實(shí)數(shù)的最大值.【答案】（1）不是“依賴函數(shù)”，理由見解析；（2）；（3）最大值為.【解析】（1）由“依賴函數(shù)”的定義進(jìn)行判斷即可；（2）先根據(jù)題意得到，解得：，再由，解出，根據(jù)的范圍即可求出的取值范圍；（3）根據(jù)題意分，，考慮在上單調(diào)性，再根據(jù)“依賴函數(shù)”的定義即可求得的值，代入得恒成立，由判別式，即可得到，再令函數(shù)在的單調(diào)性，求得其最值，可求得實(shí)數(shù)的最大值.【詳解】（1）對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)存在，則無解，故不是