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山西省朔州市新進疃中學2023年高二數(shù)學理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.在R上可導的函數(shù)f(x)的圖形如圖所示,則關于x的不等式x?f′(x)<0的解集為()A.(﹣∞,﹣1)∪(0,1) B.(﹣1,0)∪(1,+∞) C.(﹣2,﹣1)∪(1,2) D.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)參考答案:A【考點】導數(shù)的運算;其他不等式的解法.【分析】討論x的符號,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關系即可得到結論.【解答】解:若x=0時,不等式x?f′(x)<0不成立.若x>0,則不等式x?f′(x)<0等價為f′(x)<0,此時函數(shù)單調(diào)遞減,由圖象可知,此時0<x<1.若x<0,則不等式x?f′(x)<0等價為f′(x)>0,此時函數(shù)單調(diào)遞增,由圖象可知,此時x<﹣1.,故不等式x?f′(x)<0的解集為(﹣∞,﹣1)∪(0,1).故選:A.2.已知隨機變量X滿足D(X)=2,則D(3X+2)=()A.2
B.8C.18
D.20.參考答案:CD(3X+2)=9D(X)=183.在一次隨機試驗中。彼此互斥的事件A、B、C、D的概率分別是0.2、0.2、0.3、0.3,則下列說法正確的是
(
)A.A+B與C是互斥事件,也是對立事件B.B+C與D是互斥事件,也是對立事件C.A+C與B+D是互斥事件,但不是對立事件D.A與B+C+D是互斥事件,也是對立事件參考答案:D4.已知為實數(shù),則“且”是“”的
(
)A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件參考答案:C略5.復數(shù)(i為虛數(shù)單位)等于()A.2 B.-2 C.2i D.-2i參考答案:B【分析】由復數(shù)的乘法運算法則求解.【詳解】故選.【點睛】本題考查復數(shù)的乘法運算,屬于基礎題.6.下列說法的正確的是
(
)
A.經(jīng)過定點的直線都可以用方程表示
B.經(jīng)過定點的直線都可以用方程表示
C.不經(jīng)過原點的直線都可以用方程表示
D.經(jīng)過任意兩個不同的點的直線都可以用方程
表示參考答案:D
解析:斜率有可能不存在,截距也有可能為7.對于滿足等式的一切實數(shù)、,不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍是(
)A.(-∞,0]
B.[,+∞)
C.[-1,+∞)
D.[1-,+∞)參考答案:C略8.一個長方體去掉一個小長方體,所得幾何體的正(主)視圖與側(左)視圖分別如下圖所示,則該幾何體的俯視圖為()參考答案:C略9.已知棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,P,Q是面對角線A1C1上的兩個不同的動點(包括端點A1,C1).給出以下四個結論:①存在P,Q兩點,使BP⊥DQ;②存在P,Q兩點,使BP,DQ與直線B1C都成45°的角;③若PQ=1,則四面體BDPQ的體積一定是定值;④若PQ=1,則四面體BDPQ在該正方體六個面上的正投影的面積之和為定值.以上各結論中,正確結論的個數(shù)是()A.4 B.3 C.2 D.1參考答案:B【考點】棱柱的結構特征.【分析】令P與A1點重合,Q與C1點重合,可判斷①.當P與A1點重合時,BP與直線B1C所成的角最小,此時兩異面直線夾角為60°,可判斷②.根據(jù)平面OBD將四面體BDPQ可分成兩個底面均為平面OBD,高之和為PQ的棱錐(其中O為上底面中心),可判斷③;根據(jù)四面體BDPQ在該正方體六個面上的正投影的面積不變,可判斷④.【解答】解:對于①.當P與A1點重合,Q與C1點重合時,BP⊥DQ,故①正確;對于②.當P與A1點重合時,BP與直線B1C所成的角最小,此時兩異面直線夾角為60°,故②錯誤.對于③.設平面A1B1C1D1兩條對角線交點為O,則易得PQ⊥平面OBD.平面OBD將四面體BDPQ可分成兩個底面均為平面OBD,高之和為PQ的棱錐,故四面體BDPQ的體積一定是定值,故③正確.對于④.四面體BDPQ在上下兩個底面上的投影是對角線互相垂直且對角線長度均為1的四邊形,其面積為定值.四面體BDPQ在四個側面上的投影,均為上底為,下底和高均為1的梯形,其面積為定值.故四面體BDPQ在該正方體六個面上的正投影的面積的和為定值.故④正確.綜上可得:只有①③④正確.故選:B.10.已知集合,,則S∩T=(
)A.(-9,5) B.(-∞,5) C.(-9,0) D.(0,5)參考答案:D【分析】先化簡集合S、T,再求得解.【詳解】由題得,所以.故選:D【點睛】本題主要考查集合的化簡和交集運算,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.半徑為的圓的面積,周長,若將看作上的變量,則①.①式可用語言敘述為:圓的面積函數(shù)的導數(shù)等于圓的周長函數(shù).對于半徑為的球,若將看作上的變量,請你寫出類似于①的式子:
②;
②式可用語言敘述為
參考答案:②式可用語言敘述為:球的體積函數(shù)的導數(shù)等于球的表面積函數(shù).略12.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是
.參考答案:.
13.已知數(shù)列的通項公式為,則數(shù)列{an}是公差為
的等差數(shù)列,參考答案:314.已知雙曲線C:=1(a>0,b>0),P為x軸上一動點,經(jīng)過P的直線y=2x+m(m≠0)與雙曲線C有且只有一個交點,則雙曲線C的離心率為________.參考答案:即雙曲線的漸近線與直線y=2x+m平行,即=2,所求的離心率e===.15.曲線在點(1,1)處的切線方程為
.參考答案:16.如圖是一個算法的程序框圖,其輸出的結果是
.參考答案:16略17.函數(shù).若曲線y=f(x)在點(e,f(e))處的切線與直線x﹣2=0垂直,則f(x)的極小值(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))等于
.參考答案:2【考點】6H:利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程.【分析】先利用導數(shù)的幾何意義求出k的值,然后利用導數(shù)求該函數(shù)單調(diào)區(qū)間及其極值.【解答】解:由函數(shù)得f′(x)=﹣.∵曲線y=f(x)在點(e,f(e))處的切線與直線x﹣2=0垂直,∴此切線的斜率為0.即f′(e)=0,有﹣=0,解得k=e.∴f′(x)=﹣=,由f′(x)<0得0<x<e,由f′(x)>0得x>e.∴f(x)在(0,e)上單調(diào)遞減,在(e,+∞)上單調(diào)遞增,當x=e時f(x)取得極小值f(e)=lne+=2.故答案為:2.三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.(10分).已知的展開式中,第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)之比是56:3,求展開式中的常數(shù)項。參考答案:19.已知圓C:x2+y2﹣2x﹣4y+3=0,直線l:y=kx,直線l與圓C交于A,B兩點,點M的坐標為(0,m),且滿足.(1)當m=1時,求k的值;(2)當時,求k的取值范圍.參考答案:【考點】平面向量數(shù)量積的運算;直線與圓的位置關系.【分析】(1)當m=1時,點M(0,m)在圓C上,當且僅當直線l經(jīng)過圓心C時,滿足,把圓心坐標(1,2)代入直線l:y=kx,可得k的值;(2)把直線l的方程代入圓的方程轉化為關于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關系以及,求得=+m∈(,4),解此不等式求得k的取值范圍.【解答】解:(1)將圓C轉化成標準方程:(x﹣1)2+(y﹣2)2=2,當m=1時,點M(0,1)在圓C上,當且僅當直線l經(jīng)過圓心C時,滿足,即MA⊥MB.∵圓心C的坐標為(1,2),∴k=2.(2)由,消去y得:(k2+1)x2﹣(4k+2)x+3=0,①設P(x1,y1)Q(x2,y2),∴x1+x2=,x1?x2=,∵,即(x1,y1﹣m)(x2,y2﹣m)=0,即x1?x2+(y1﹣m)(y2﹣m)=0,∵y1=kx1,y2=kx2,∴(1+k2)x1?x2﹣km(x1+x2)+m2=0,∴(1+k2)?﹣km?+m2=0,即=+m,∵20.本小題滿分8分如圖:已知四棱錐中,是正方形,E是的中點,求證:(1)
平面
(2)平面PBC⊥平面PCD參考答案:21.(本小題滿分12分)某工廠用兩種不同原料均可生產(chǎn)同一產(chǎn)品,若采用甲種原料,每噸成本1000元,運費500元,可得產(chǎn)品90千克;若采用乙種原料,每噸成本為1500元,運費400元,可得產(chǎn)品100千克,如果每月原料的總成本不超過6000元,運費不超過2000元,那么此工廠每月最多可生產(chǎn)多少千克產(chǎn)品?參考答案:解:分析:將已知數(shù)據(jù)列成下表
甲原料(噸)乙原料(噸)費用限額成本100015006000運費5004002000產(chǎn)品90100
解:設此工廠每月甲、乙兩種原料各x噸、y噸,生產(chǎn)z千克產(chǎn)品,則:z=90x+100y作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域,即可行域:由
令90x+100y=t,作直線:90x+100y=0即9x+10y=0的平行線90x+100y=t,當9
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