山西省長治市上村中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

山西省長治市上村中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B【考點(diǎn)】1E：交集及其運(yùn)算．【分析】利用交集定義先求出A∩B，由此能求出A∩B中元素的個(gè)數(shù)．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，∴A∩B={2，4}，∴A∩B中元素的個(gè)數(shù)為2．故選：B．2.某電視臺連續(xù)播放5個(gè)不同的廣告，其中有3個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的奧運(yùn)宣傳廣告，要求最后播放的必須是奧運(yùn)宣傳廣告，且兩個(gè)奧運(yùn)宣傳廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式有

()

A．120種

B．48種

C.36種

D．18種參考答案：C3.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C4.函數(shù)f（x）=lnx﹣4x+1的遞增區(qū)間為（）A．（0，） B．（0，4） C．（﹣∞，） D．（，+∞）參考答案：A【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】先求函數(shù)的定義域，然后求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0求出x的范圍與定義域求交集即可．【解答】解：∵f（x）=lnx﹣4x+1定義域是{x|x＞0}∵f'（x）=﹣4=當(dāng)f'（x）＞0時(shí)，0＜x＜故選：A5.設(shè)過拋物線的焦點(diǎn)F的弦為PQ，則以PQ為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線的位置關(guān)系（）A．相交 B．相切C．相離 D．以上答案均有可能參考答案：B【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】設(shè)拋物線為標(biāo)準(zhǔn)拋物線：y2=2px（p＞0），過焦點(diǎn)的弦為PQ，PQ的中點(diǎn)是M且到準(zhǔn)線的距離是d．設(shè)P到準(zhǔn)線的距離d1=|PF|，Q到準(zhǔn)線的距離d2=|QF|．結(jié)合中位線的定義與拋物線的定義可得：==半徑，進(jìn)而得到答案．【解答】解：不妨設(shè)拋物線為標(biāo)準(zhǔn)拋物線：y2=2px（p＞0），即拋物線位于Y軸的右側(cè)，以X軸為對稱軸．設(shè)過焦點(diǎn)的弦為PQ，PQ的中點(diǎn)是M，M到準(zhǔn)線的距離是d．而P到準(zhǔn)線的距離d1=|PF|，Q到準(zhǔn)線的距離d2=|QF|．又M到準(zhǔn)線的距離d是梯形的中位線，故有d=，由拋物線的定義可得：==半徑．所以圓心M到準(zhǔn)線的距離等于半徑，所以圓與準(zhǔn)線是相切．故選：B．6.與正方體的三條棱、、所在直線的距離相等的點(diǎn)(

)A．有且只有1個(gè)

B.有且只有2個(gè)

C.有且只有3個(gè)

D.有無數(shù)個(gè)參考答案：D略7.等差數(shù)列{an}中，a7+a9=16，a4=1，則a12=（）A．15B．30C．31D．64參考答案：A【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)．【分析】由a7+a9=16可得2a1+14d=16，再由a4=1=a1+3d，解方程求得a1和公差d的值，從而求得a12的值．【解答】解：設(shè)公差等于d，由a7+a9=16可得2a1+14d=16，即a1+7d=8．再由a4=1=a1+3d，可得a1=﹣，d=．故a12=a1+11d=﹣+=15，故選：A．8.設(shè)的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為M，二項(xiàng)式系數(shù)之和為N，若M-N=240，則展開式的系數(shù)為

（

）

A．-150

B．150

C．-500

D．500參考答案：B9.過點(diǎn)(0,1)的直線與x2＋y2＝4相交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為()A．2 B．2C．3 D．2參考答案：B略10.與向量共線的單位向量是

（

）

A.

B.和

C.

D.和參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)單調(diào)增區(qū)間是

;參考答案：(0,e)略12.正方體的各頂點(diǎn)在體積為的球面上，則該正方體的表面積為

參考答案：略13.若隨機(jī)變量X的分布列為

X01Pm

則D(X)=

．參考答案：

14.已知是復(fù)數(shù)，且，則的最大值為

參考答案：615.若直線l1：ax+2y+6=0與直線l2：x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0平行則實(shí)數(shù)a=．參考答案：﹣1考點(diǎn)：直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系．專題：直線與圓．分析：由直線的平行關(guān)系可得a的方程，解方程驗(yàn)證可得．解答：解：∵直線l1：ax+2y+6=0與直線l2：x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0平行，∴a（a﹣1）﹣2×1=0，解得a=﹣1或a=2，經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)a=2時(shí)，直線重合，a=﹣1符合題意，故答案為：﹣1點(diǎn)評：本題考查直線的一般式方程和直線的平行關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．16.已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為

。參考答案：略17.已知直線的斜率為3，直線經(jīng)過點(diǎn)，若直線則______.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，斜率為1的直線過拋物線的焦點(diǎn)F，與拋物線交于兩點(diǎn)A，B，（1）若|AB|=8，求拋物線的方程；（2）設(shè)C為拋物線弧AB上的動點(diǎn)（不包括A，B兩點(diǎn)），求的面積S的最大值；（3）設(shè)P是拋物線上異于A，B的任意一點(diǎn)，直線PA，PB分別交拋物線的準(zhǔn)線于M，N兩點(diǎn)，證明M，N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值（僅與p有關(guān)）參考答案：解：設(shè)（1）由條件知直線由消去y，得………1分由題意，判別式由韋達(dá)定理，由拋物線的定義，從而所求拋物的方程為………3分（2）設(shè)。由（1）易求得則，點(diǎn)C到直線的距離將原點(diǎn)O（0，0）的坐標(biāo)代入直線的左邊，得而點(diǎn)C與原點(diǎn)O們于直線的同側(cè)，由線性規(guī)劃的知識知因此……6分由（1），|AB|=4p。由知當(dāng)…8分

（3）由（2），易得設(shè)。將代入直線PA的方程得同理直線PB的方程為將代入直線PA，PB的方程得19.已知函數(shù)y=x3－3x2.（1）求函數(shù)的極小值；（2）求函數(shù)的遞增區(qū)間.

參考答案：解：（1）∵y=x3－3x2，∴=3x2－6x，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

∴當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)有極小值-4.

（2）由=3x2-6x>0，解得x<0或x>2，

∴遞增區(qū)間是，.略20.已知橢圓的離心率為，直線過點(diǎn)，，且與橢圓相切于點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）是否存在過點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)、，使得，若存在，試求出直線的方程；若不存在，請說明理由．參考答案：解:（Ⅰ）由題得過兩點(diǎn)，直線的方程為.因?yàn)?，所以?

設(shè)橢圓方程為,

………2分由消去得，.又因?yàn)橹本€與橢圓相切,所以

………4分

………6分又直線與橢圓相切，由解得，所以

…………8分則.所以.又

………10分所以，解得.經(jīng)檢驗(yàn)成立.所以直線的方程為.

略21.（12分）已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率e=，原點(diǎn)到過點(diǎn)A（a，0），B（0，﹣b）的直線的距離是．（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在直線y=kx+m（k≠0）交橢圓于不同的兩點(diǎn)C、D，且C、D都在以B為圓心的圓上，若存在，求出m的范圍；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（1）利用離心率，原點(diǎn)到過點(diǎn)A（a，0），B（0，﹣b）的直線的距離是．列出方程組求解即可得到橢圓的方程．（2）聯(lián)立消y整理，設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中點(diǎn)是E（x0，y0），利用韋達(dá)定理求出，求出BE的方程x0+ky0+k=0，化簡推出m=1+2k2，求出m∈（0，1）說明不存在這樣的直線，交橢圓于不同的兩點(diǎn)，且這兩點(diǎn)都在以B為圓心的圓上．【解答】（本小題滿分12分）解：（1）∵，c2=a2﹣b2…（1分）原點(diǎn)到直線AB：的距離…（2分）∴…∴所求的橢圓方程：…（2）消y整理得：…（6分）設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中點(diǎn)是E（x0，y0），則，…（7分）…（8分）所以x0+ky0+k=0即（1+k2）x0+km+k=0，即，，∴m=1+2k2（∵k≠0，∴m＞1）…（9分）又即m2﹣（1+2k2）＜0，…（