高等數(shù)學(xué) 殷錫鳴22 極限(1-96)

§2.2

極限10極限理論的重要地位牛頓(1642——1727)萊布尼茲(1646——1716)創(chuàng)立微積分：柯西(1789——1857)維爾斯特拉斯(1815——1897)對(duì)極限給出了嚴(yán)格的定義：2o數(shù)列與收斂數(shù)列定義數(shù)列是以自然數(shù)集N

為定義域的函數(shù),若記此函數(shù)關(guān)系為f,則就稱為數(shù)列

,記為

{an}

,而an

稱為數(shù)列的通項(xiàng)有界數(shù)列:對(duì)于數(shù)列如果存在M>0,使對(duì)一切n

有則稱數(shù)列{an}為有界數(shù)列

,否則稱為無(wú)界數(shù)列

單調(diào)數(shù)列:(1)若對(duì)一切n,有則稱數(shù)列{an}為單調(diào)增數(shù)列

.(2)若對(duì)一切n,有則稱數(shù)列{an}為單調(diào)減數(shù)列

本段我們討論數(shù)列{an}的極限定義對(duì)任意的正數(shù)>0,存在N>0,當(dāng)n>N

時(shí),有則稱當(dāng)n

時(shí),an

以A為極限,記作我們稱有極限的數(shù)列{an}為收斂數(shù)列

,而不存在的數(shù)列稱為發(fā)散數(shù)列數(shù)列極限的幾何意義

當(dāng)n>N

時(shí),有解當(dāng)時(shí),我們證明:如果r=0,則rn

=0下設(shè)對(duì)任意的>0,要使只需故取則當(dāng)n>N時(shí),就有例對(duì)于數(shù)列,證明:當(dāng)時(shí)為收斂數(shù)列

說(shuō)明:(1)當(dāng)r=1時(shí),為收斂數(shù)列

(2)當(dāng)r=-1時(shí),由于其輪番地取-1或1,不接近于任何常數(shù),故知為發(fā)散數(shù)列定理（數(shù)列收斂的必要條件）若則是有界數(shù)列,即存在M>0,使對(duì)任意n

都有證明由則對(duì)=1,存在N>0,使當(dāng)n>N時(shí),有于是有取則對(duì)任意的自然數(shù)n,有構(gòu)成一數(shù)列定義在已給數(shù)列中,任意取出無(wú)限多項(xiàng)排成一列我們稱為的子數(shù)列

定理對(duì)的任一子數(shù)列有說(shuō)明:對(duì)于數(shù)列取則取則發(fā)散定理證明設(shè)則對(duì)任意>0,存在N>0,使當(dāng)n>N時(shí),有由于2N>N,2N+1>N,故可取K=N,使當(dāng)k>K

時(shí),就有2k>2K>N,2k+1>N,從而有即設(shè)則對(duì)任意>0,分別存在K1>0,K2>0,使當(dāng)k>K1

時(shí),有當(dāng)k>K2

時(shí),有取N=max{2K1,2K2+1},則當(dāng)n>N

時(shí),必有即30

自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限定義：設(shè)函數(shù)f(x)

在x0的某個(gè)鄰域N(x0)(點(diǎn)x0可以除外)內(nèi)有定義,A是一常數(shù),若對(duì)任意給定的正數(shù)ε>0,使當(dāng)時(shí),有則稱當(dāng)時(shí),f(x)以A為極限,記作總可找到一,說(shuō)明：（1）為什么x0可以除外？（2）ε為什么要任意給定而不是給定一個(gè)？（3）存在一的意義是什么？是否唯一？極限定義的幾何解釋：

顯然,在找到一個(gè)后,比其小的數(shù)都可作為定義中的

當(dāng)x在x0的去心鄰域時(shí)，函數(shù)y=f(x)圖形完全在以直線y=A為中心線，寬為2的帶區(qū)域例證明：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，只要取的正數(shù)，此時(shí)當(dāng)就有所以例證明：證明由于，故只需在x=2的鄰近考慮問(wèn)題不妨設(shè)由于為使只需讓即可，因此可取則當(dāng)就有所以證得例

證明：證明注意到及于是有所以可取由此證得例證明：證明由于所以證得故取例證我們證明不存在的點(diǎn)使可知在x=0的鄰近,函數(shù)f(x)在-1與1之間無(wú)限震蕩,不趨向于任何常數(shù),所以極限不存在f(x)在x=0的鄰近無(wú)限震蕩引起極限不存在例證我們先證：對(duì)任取的,f(x)在上無(wú)界選取N>0,使,f(x)在x=0的鄰近無(wú)界引起極限不存在30單側(cè)極限右極限：如果保持x>x0,且

(簡(jiǎn)記為左極限：如果保持,且

(簡(jiǎn)記為定理（左、右極限與極限的關(guān)系）關(guān)于左極限、右極限與極限有以下的結(jié)論：極限存在，而且證明有由此證明了所以有例解40

自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限問(wèn)題：當(dāng)自變量x

趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處時(shí)，研究函數(shù)y=f(x)的變化趨勢(shì)自變量x

趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處可分為以下三種情況：

-101xy

-101xy10x

y定義：說(shuō)明：(1)

定義中的M不是唯一的,與ε有關(guān),重要的在于存在性在方向的水平漸近線的水平漸近線在方向的水平漸近線與單側(cè)極限類似有以下定理定理說(shuō)明：y=A是曲線

y=f(x)的水平漸近線的充要條件是y=A既是方向的又是方向的水平漸近線例證明：解對(duì)任給的要使只需又于是讓即取則當(dāng)時(shí)，就有所以50

極限的性質(zhì)定理（唯一性定理）如果極限存在，則此極限值是唯一的證明用反證法設(shè)時(shí),函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的極限,即且不妨設(shè)的情形類似證明)對(duì)于存在同樣地,存在取

同時(shí)有不等式成立

即矛盾,假設(shè)不成立,證畢于是得定理（局部有界性定理）時(shí),有證明由根據(jù)極限的定義,對(duì)于,存在有于是結(jié)論成立定理

(局部保序性定理)證明由故對(duì)存在有可得又由存在有即有現(xiàn)取有定理證畢若定理中的g(x)=0,

則有以下的推論注意：局部保號(hào)性的逆定理未必成立反例但是推論

(局部保號(hào)性定理)則存在

x0的某去心鄰域使得

f(x)在此鄰域內(nèi)與A

保持同號(hào),

即存在盡管如此,仍有以下結(jié)論推論

且在x0

的某去心鄰域內(nèi)恒有,則有證明利用反證法及局部保號(hào)性定理即可證得說(shuō)明：以上三個(gè)定理及推論對(duì)x

的其他趨限過(guò)程：及數(shù)列極限繼續(xù)成立60無(wú)窮小(量)無(wú)窮大(量)我們注意到：因此以零為極限的量具有特殊的重要性無(wú)窮小(量)的定義：若則稱函數(shù)f(x)在時(shí)是一無(wú)窮小(量)說(shuō)明：（1）無(wú)窮小并不是一個(gè)可任意小的量，它只是當(dāng)時(shí)可任意小，即無(wú)窮小是和自變量的某趨限過(guò)程聯(lián)系在一起的（2）定義中的可換成其它的趨限過(guò)程：定理（極限基本定理）其中是時(shí)的無(wú)窮小說(shuō)明：定理對(duì)其它趨限過(guò)程及數(shù)列仍然成立(3)定義也適用于數(shù)列的情況無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)：定理有限個(gè)無(wú)窮小量的和也是無(wú)窮小量(同一趨限過(guò)程中)證明我們僅對(duì)的過(guò)程給出證明,其余過(guò)程同理可證.而且只需對(duì)兩個(gè)的情形加以證明就夠了(剩余用數(shù)學(xué)歸納法)設(shè)令,要證因?yàn)橛蓪?duì)任意的分別存在故取從而證明了定理若是時(shí)的無(wú)窮小,而f(x)

在上有界,則也是時(shí)的無(wú)窮小,即有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論1常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論2有限個(gè)無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.說(shuō)明：以上定理中的“有限個(gè)”不能換成“無(wú)窮多個(gè)”.“有限”與“無(wú)限”是有本質(zhì)區(qū)別的

無(wú)窮大(量)的定義：(1)設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某去心鄰域內(nèi)有定義,如果對(duì)任意的正數(shù)M>0,存在使當(dāng)時(shí),有則稱f(x)為時(shí)的無(wú)窮大(量)

,記為(2)如果對(duì)任意的正數(shù)M>0,存在使當(dāng)時(shí),有則稱f(x)為時(shí)的正無(wú)窮大(量)

,記為(3)如果對(duì)任意的正數(shù)M>0,存在使當(dāng)時(shí),有則稱f(x)為時(shí)的負(fù)無(wú)窮大(量)

,記為說(shuō)明：（1）無(wú)窮大并不是一個(gè)可任意大的量，它只是當(dāng)時(shí)可任意大，即無(wú)窮大是和自變量的某趨限過(guò)程聯(lián)系在一起的.（2）定義中的可換成其它的趨限過(guò)程：(3)定義也適用于數(shù)列的情況無(wú)窮大量的運(yùn)算性質(zhì)：（1）

若在x

的某趨限過(guò)程中f(x)是無(wú)窮大,則是無(wú)窮?。?）

若在x

的某趨限過(guò)程中f(x)是無(wú)窮小,且則是無(wú)窮大（3）在

x

的某趨限過(guò)程中,若f(x)是無(wú)窮大,g(x)是有界量,則f(x)+g(x)是無(wú)窮大,即,有界量加無(wú)窮大是無(wú)窮大（4）在x的某趨限過(guò)程中,若f(x)是無(wú)窮大,g(x)滿足,則f(x)g(x)是無(wú)窮大說(shuō)明：（1）有界量乘無(wú)窮大未必是無(wú)窮大!反例：（2）若或或則稱直線x=x0為曲線y=f(x)的垂直漸近線(3)無(wú)窮大量無(wú)窮大量無(wú)窮大量反例：

（4）反例：例（1）寫(xiě)出的定義；

(2)證明：在的過(guò)程中，

為一無(wú)窮大解(1)(2)

我們證明：對(duì)任給的不妨設(shè)G>1(不然可取來(lái)證)要使只需即故取則當(dāng)時(shí),有使當(dāng)時(shí),有所以70極限的運(yùn)算法則定理(極限的四則運(yùn)算法則)證明我們僅就的趨限過(guò)程證明結(jié)論(3),其余趨限過(guò)程類似可證其中記則有由于是無(wú)窮小,故為證r是無(wú)窮小,只需證是有界量即可由是無(wú)窮小且

存在使當(dāng)時(shí),有因此于是即是有界量,所以r是無(wú)窮小定理證畢故對(duì)說(shuō)明：（1）定理結(jié)論成立的前提是：存在，否則定理不成立(2)結(jié)論(3)中不可缺條件否則結(jié)論不成立推論（1）若存在，c為常數(shù)，則有（齊次性）（2）若存在，則有其中k為正常數(shù)（3）定理結(jié)論對(duì)數(shù)列也成立(3)若為常數(shù),存在,則有上式說(shuō)明：極限運(yùn)算具有線性運(yùn)算性質(zhì)例證明：解設(shè)，其中p>1.則利用及結(jié)論(3)

知結(jié)論成立所以得到：例計(jì)算解例計(jì)算解例計(jì)算解原極限定理（復(fù)合函數(shù)的極限法則）如果又存在某使對(duì)任意，有則有證明因?yàn)楣蕦?duì)任意存在使當(dāng)時(shí),有又因故對(duì)這一存在

使當(dāng)時(shí),有取，則當(dāng)時(shí)，且從而有因此說(shuō)明：定理給出了極限變量代換的條件有定理（夾逼準(zhǔn)則）如果則有設(shè)在某上有成立，證明由定理知其中對(duì)任意由有從而有即又因所以對(duì)任意，存在時(shí),有使當(dāng)時(shí),有當(dāng)故取，時(shí),有則當(dāng)由此證得定理

(數(shù)列夾逼準(zhǔn)則)若存在N>0,使當(dāng)n>N時(shí),有且則也收斂,并且例利用夾逼定理證明重要極限：解因?yàn)椋?/p>

不妨設(shè)作單位圓的切線AC，于是有因?yàn)?從而有所以即，由及夾逼定理得即當(dāng)時(shí)，注意：與重要極限的區(qū)別利用重要極限計(jì)算極限舉例：例計(jì)算解例計(jì)算解例計(jì)算解由復(fù)合函數(shù)極限法則有令則

當(dāng)時(shí),

有（習(xí)題(A)：4）.于是有定理

(單調(diào)有界準(zhǔn)則)若函數(shù)f(x)是(a,b)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)有界函數(shù),則極限與都存在.證明：（略）說(shuō)明：結(jié)論對(duì)無(wú)窮區(qū)間或也成立定理

(單調(diào)數(shù)列收斂準(zhǔn)則)(1)如果單調(diào)增數(shù)列{an}有上界,即則極限存在(2)如果單調(diào)減數(shù)列{an}有下界,即則極限存在說(shuō)明:(1)定理可簡(jiǎn)述為:單調(diào)有界數(shù)列必有極限(2)定理指出極限存在,但沒(méi)有指出a

的具體值等于多少解例如果計(jì)算顯然對(duì)一切nN,an>0下證:對(duì)一切nN,an<3當(dāng)n=1時(shí),下設(shè)

,則有所以根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法知,對(duì)一切nN,an<3單調(diào)增有上界收斂設(shè)在兩邊取極限,知a

滿足即解得a=3或者a=-1(不合題意舍去),所以解例已知計(jì)算考慮單調(diào)性假設(shè)xn>xn-1,由xn>0,有根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法知{xn}單調(diào)增.又單調(diào)增有上界收斂設(shè)在兩邊取極限,有解得所以例設(shè)a>0,x1>0,定義計(jì)算解因?yàn)榧磳?duì)一切nN,

又所以單調(diào)減,據(jù)收斂準(zhǔn)則知收斂,

設(shè)取極限有(負(fù)根舍去)所以利用單調(diào)有界準(zhǔn)則及夾逼定理可以證明重要極限先利用單調(diào)有界準(zhǔn)則證明數(shù)列情形的重要極限:解設(shè)

,則比較xn

與xn+1

的對(duì)應(yīng)項(xiàng)可知:即是單調(diào)增數(shù)列.利用上式可得所以是單調(diào)增有上界數(shù)列,根據(jù)收斂準(zhǔn)則知收斂,記其極限值為e,于是有再利用夾逼定理證明極限:對(duì)任意的x>0,總存在正整數(shù)n

使且時(shí)，，由于

利用夾逼定理:當(dāng)時(shí)，令，則有根據(jù)極限性質(zhì)證得若令則利用極限的變換定理可得重要極限的另一表達(dá)形式：例計(jì)算解原極限80

無(wú)窮小的階當(dāng)時(shí),然而這些無(wú)窮小的比值的極限是不同的究其原因：無(wú)窮小趨于零的速度是其變化的關(guān)鍵因素定義設(shè)都是同一趨限過(guò)程中的無(wú)窮小,且可見(jiàn)：

由sinx

關(guān)于x

是一階的;由tanx

關(guān)于x

是一階的;由arcsinx

關(guān)于x

是一階的作為基本無(wú)窮小,則當(dāng)時(shí),稱關(guān)于基本無(wú)窮小