山西省長治市師莊鄉(xiāng)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

山西省長治市師莊鄉(xiāng)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)f(x)=2mx3?3nx2+10(m>0)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則lg2m+lg2n的最小值為

（

）

A、

B、

C、

D、參考答案：D試題分析：,由得，，，即函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，，又因?yàn)?，函?shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以，即，所以

,當(dāng)時(shí)，有最小值，故選D.考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值；2.函數(shù)與方程；3.二次函數(shù).2.已知點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y）滿足，過點(diǎn)P的直線l與圓C：x2+y2=16相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為（）A．B． C．D．參考答案：A【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，畫出以原點(diǎn)為圓心，半徑是4的圓，利用數(shù)形結(jié)合即可得到在哪一個(gè)點(diǎn)的直線與圓相交的弦最短．【解答】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖由圖象可知，當(dāng)P點(diǎn)在直線x=1與x+y=4的交點(diǎn)時(shí)，與圓心距離最遠(yuǎn)，作出直線與圓相交的弦短．P的坐標(biāo)為（1，3），圓心到P點(diǎn)距離為d=，根據(jù)公式|AB|=2，可得：|AB|=2．故選：A．3.某程序的框圖如圖所示，執(zhí)行該程序，若輸入的為12，則輸出的的值分別為（A）

（B）（C）

（D）參考答案：D4.已知﹑均為非零向量，條件

條件的夾角為銳角，則是成立的Ａ．充要條件

Ｂ．充分而不必要的條件Ｃ．必要而不充分的條件

Ｄ．既不充分也不必要的條件參考答案：答案：C5.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則角（

）A

B

C

D參考答案：B略6.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，正視圖與側(cè)視圖為全等的矩形，俯視圖為正方形，則該幾何體的體積為（

）（A）

(B)

(C)

(D)參考答案：A根據(jù)三視圖可知，該幾何體是長方體中挖去一個(gè)正四棱錐，故該幾何體的體積等于7.已知關(guān)于x的二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，常數(shù)項(xiàng)為80，則a的值為（）A．1 B．±1 C．2 D．±2參考答案：C【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理．【分析】根據(jù)題意，有2n=32，可得n=5，進(jìn)而可得其展開式為Tr+1=C5r?（）5﹣r?（）r，分析可得其常數(shù)項(xiàng)為第4項(xiàng)，即C53?（a）3，依題意，可得C53?（a）3=80，解可得a的值．【解答】解：根據(jù)題意，該二項(xiàng)式的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，則有2n=32，可得n=5，則二項(xiàng)式的展開式為Tr+1=C5r?（）5﹣r?（）r，其常數(shù)項(xiàng)為第4項(xiàng)，即C53?（a）3，根據(jù)題意，有C53?（a）3=80，解可得，a=2；故選C．8.“”是“”的（

）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：A【分析】先考慮充分性，再考慮必要性得解.【詳解】先考慮充分性.,=，因?yàn)椋?，所以“”是“”的充分條件.再考慮必要性.,=，不能推出.如：a=-3,b=-1.所以“”是“”的非必要條件.所以“”是“”充分不必要條件.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查充分必要條件的判斷，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.9.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=（i為虛數(shù)單位）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：A【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出．【解答】解：復(fù)數(shù)z===i+1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（1，1）位于第一象限．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10.函數(shù)f(x)的部分圖像如圖所示，則f(x)的解析式可以是（）參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)．若函數(shù)g（x）=f（x）﹣k有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是．參考答案：【考點(diǎn)】52：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【分析】由題意可得函數(shù)f（x）的圖象與直線y=k有二個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合圖象求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．【解答】解：由題意可得函數(shù)f（x）的圖象與直線y=k有二個(gè)不同的交點(diǎn)，如圖所示：故實(shí)數(shù)k的取值范圍是，故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．12.在正三棱錐S﹣ABC中，AB=，M是SC的中點(diǎn)，AM⊥SB，則正三棱錐S﹣ABC外接球的球心到平面ABC的距離為．參考答案：【考點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征．【分析】利用正三棱錐S﹣ABC和M是SC的中點(diǎn)，AM⊥SB，找到SB，SA，SC之間的關(guān)系．在求正三棱錐S﹣ABC外接球的球心與平面ABC的距離．【解答】解：取AC的中點(diǎn)N，連接BN，因?yàn)镾A=SC，所以AC⊥SN，由∵△ABC是正三角形，∴AC⊥BN．故AC⊥平面SBN，AC⊥BC．又∵AM⊥SB，AC∩AM=A，∴SB⊥平面SAC，SB⊥SA且SB⊥SC故得到SB，SA，SC是三條兩兩垂直的．可以看成是一個(gè)正方體切下來的一個(gè)正三棱錐．故外接圓直徑2R=∵AB=，∴SA=1．那么：外接球的球心與平面ABC的距離為正方體對(duì)角線的，即d=．故答案為：．13.函數(shù)的最大值為

參考答案：14.正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2，側(cè)棱長為，D為BC中點(diǎn)，則三棱錐A-B1DC1的體積為

．參考答案：1；15.已知三棱錐的頂點(diǎn)都在球的球面上,且平面,則三棱錐的體積等于．參考答案：12略16.已知，且復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則a=

.參考答案：－2

17.以雙曲線的右焦點(diǎn)為圓心，并與其漸近線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

_______.參考答案：雙曲線的漸近線為，不妨取，即。雙曲線的右焦點(diǎn)為，圓心到直線的距離為，即圓的半徑為4，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知橢圓C:的離心率為，其左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且，，其中為坐標(biāo)原點(diǎn).⑴求橢圓C的方程；⑵如圖，過點(diǎn)，且斜率為的動(dòng)直線交橢圓于、兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使以為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：解：(1)設(shè)，由可知①(1分)又，，即②

(2分)①代入②得：.又，可得，故所求橢圓方程為

(4分)(2)設(shè)直線，代入，有.設(shè)，則.

(6分)若軸上存在定點(diǎn)滿足題設(shè)，則，，

(9分)由題意知，對(duì)任意實(shí)數(shù)都有恒成立，

即對(duì)成立.解得，

(11分)在軸上存在定點(diǎn)，使以為直徑的圓恒過這個(gè)定點(diǎn).

(12分)19.已知{an}是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，.（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;（Ⅱ）求證:對(duì)任意的，數(shù)列為遞減數(shù)列.參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）見解析【分析】（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列的公比為，利用和建立方程組，求出與的值，注意到，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求出數(shù)列的前項(xiàng)和，利用作差法得出來說明數(shù)列為遞減數(shù)列?！驹斀狻浚á瘢┰O(shè)等比數(shù)列的公比為，則，

解得或（舍），

.

所以；

證明：（Ⅱ）因?yàn)椋?/p>

所以是以為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列.

所以，

.

因?yàn)椋驗(yàn)?，所以，所以?shù)列為遞減數(shù)列?！军c(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列單調(diào)性的定義，在證明數(shù)列的單調(diào)性時(shí)，一般有以下幾種證法：①作差法：，則數(shù)列為遞增數(shù)列；，則數(shù)列為常數(shù)列；，則數(shù)列為遞減數(shù)列；②當(dāng)數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，可采用作商法：，則數(shù)列為遞增數(shù)列；，則數(shù)列為常數(shù)列；，則數(shù)列為遞減數(shù)列。20.如圖所示，多面體EF﹣ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，四邊形ACFE為矩形，且平面ACFE⊥平面ABCD，AD＝DC＝BC＝CF＝1，AC⊥BC，∠ADC＝120°

（1）求證：BC⊥AF

（2）求平面BDF與平面CDF所成夾角的余弦值．參考答案：（1）證明：∵平面ACFE⊥平面ABCD且平面ACFE∩平面ABCD＝AC又∵BC⊥AC

∴BC⊥平面ACFE又∵AF平面ACFE

∴BC⊥AF方法二：建系后用向量證之（略）（2）解：由已知，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CF所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz，連接BD交AC于O點(diǎn)，連接OF，要使AM∥平面BDF，易得AM∥OF∵AD＝DC＝BC＝CF＝1，∠ADC＝120°∴AC＝BD＝，OC＝，即B（0，1，0），D（，，0），F(xiàn)（0，0，1）∴＝（，，－1），＝（0，1，－1），＝（0，0，－1）設(shè)平面BDF的法向量為＝（x，y，z）令z＝1，則y＝1，x＝，∴＝（，1，1）設(shè)平面CDF的法向量為＝（x，y，z）令x＝1，則y＝，z＝0，∴＝（1，，0）設(shè)平面BDF與平面CDF的夾角為α21.選修4—4：極坐標(biāo)與參數(shù)方程已知圓方程為。①．求圓心軌跡的參數(shù)方程C；②．點(diǎn)是（1）中曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍。參考答案：①．將圓的方程整理得：(x-4cos)2+(y-3sin)2=1

設(shè)圓心坐標(biāo)為P(x,y)

則……………3分

②．2x+y=8cos+3sin

=∴-≤2x+y≤……………7分22.如圖，棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四邊形，側(cè)棱AA1⊥底面ABCD，AB=1，AC=，BC=BB1=2．（Ⅰ）求證：AC⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求二面角A﹣C1D﹣C的平面角的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】MT：二面角的平面角及求法；LW：直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推導(dǎo)出AB⊥AC，AA1⊥AC，由此能證明AC⊥平面ABB1A1．（Ⅱ）過點(diǎn)C作CP⊥C1D于P，連接AP，則AC⊥平面DCC1D1，從而∠CPA是二面角A﹣C1D﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣C1D﹣C的平面角的余弦