山西省長治市洪井中學2021年高三數(shù)學理月考試題含解析

山西省長治市洪井中學2021年高三數(shù)學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合P＝{x｜－x－2≤0}，Q＝{x｜≤1}，則（CRP）∩Q等于

A．[2，3]

B．（－∞，－1]∪[3，＋∞）

C．（2，3]

D．（－∞，－1]∪（3，＋∞）參考答案：C2.已知全集為R，集合，，則（

）A．(－∞,2]

B．(－∞,3]

C．(0,2]

D．[2,3]參考答案：C因為，，所以，即．

3.已知實數(shù)，滿足不等式組，若直線把不等式組表示的平面區(qū)域分成面積相等的兩部分，則A．

B．

C．

D．參考答案：B4.設是等差數(shù)列的前項和，若，則＝A.1

B.－1

C.2

D.參考答案：A略5.設全集,，則圖中陰影部分表示的集合為

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B，。圖中陰影部分為，所以，所以，選B.6.若A.

B.

C.

D.參考答案：D7.已知復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，則實數(shù)a的值可以是（

）A．－2 B．1 C．2 D．3參考答案：A8.設等差數(shù)列{an}前n項和為Sn，等差數(shù)列{bn}前n項和為Tn，若，則（

）A.528 B.529 C.530 D.531參考答案：D【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到結(jié)果即可.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)：得到：.故選D.【點睛】這個題目考查了等差數(shù)列的性質(zhì)的應用，即，題目比較基礎(chǔ).9.在梯形中，與相交于點.若則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B10.如圖在梯形ABCD中，BC＝2AD，DE＝EC，設，則A.

B.

C.

D.參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如右圖,該程序運行后輸出的結(jié)果為__________.參考答案：1612.已知函數(shù)f（x）=e﹣|x|+cosπx，給出下列命題：①f（x）的最大值為2；②f（x）在（﹣10，10）內(nèi)的零點之和為0；③f（x）的任何一個極大值都大于1．其中，所有正確命題的序號是

．參考答案：①②③【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】根據(jù)已知中函數(shù)f（x）=e﹣|x|+cosπx，分析函數(shù)的最值，對稱性，極值，進而可得答案．【解答】解：由→0，故當x=0時，f（x）的最大值為2，故①正確；函數(shù)f（x）=e﹣|x|+cosπx，滿足f（﹣x）=f（x），故函數(shù)為偶函數(shù)；其零點關(guān)于原點對稱，故f（x）在（﹣10，10）內(nèi)的零點之和為0，故②正確；當cosπx取極大值1時，函數(shù)f（x）=e﹣|x|+cosπx取極大值，但均大于1，故③正確；故答案為：①②③【點評】本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了函數(shù)的最值，函數(shù)的極值，函數(shù)的零點，函數(shù)的奇偶性等知識點，難度中檔．13.已知函數(shù)f（x）的定義域為[﹣2，+∞），部分對應值如下表．f′（x）為f（x）的導函數(shù)，函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示．若兩正數(shù)a，b滿足f（2a+b）＜1，則的取值范圍是．X﹣204f（x）1﹣11參考答案：（，）

【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】由導函數(shù)的圖象得到導函數(shù)的符號，利用導函數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系得到f（x）的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出不等式的解即a，b的關(guān)系，畫出關(guān)于a，b的不等式表示的平面區(qū)域，給函數(shù)與幾何意義，結(jié)合圖象求出其取值范圍【解答】解：由導函數(shù)的圖形知，x∈（﹣2，0）時，f′（x）＜0；x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0；∴f（x）在（﹣2，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增；∵f（2a+b）＜1，∴﹣2＜2a+b＜4；又a＞0，b＞0，∴a，b滿足的可行域為表示點（a，b）與（﹣3，﹣3）連線的斜率的2倍，如圖所示；由圖知當點為（2，0）時斜率最小，為=；當點為（0，4）時斜率最大，為=；所以的取值范圍是（，）．故答案為：（，）．14.（文）某中學開學后從高一年級的學生中隨機抽取80名學生進行家庭情況調(diào)查，經(jīng)過一段時間后再從這個年級隨機抽取100名學生進行學情調(diào)查，發(fā)現(xiàn)有20名同學上次被抽到過，估計這個學校高一年級的學生人數(shù)為

．參考答案：40015.設曲線在點處的切線為，曲線在點處的切線為，若存在，使得，則實數(shù)的取值范圍是

．參考答案：16.設x1，x2∈R，函數(shù)f（x）滿足ex=，若f（x1）+f（x2）=1，則f（x1+x2）最小值是．參考答案：【考點】函數(shù)的最值及其幾何意義．【專題】轉(zhuǎn)化思想；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】由條件求得f（x）的解析式，再由f（x1）+f（x2）=1，可得=++3，運用基本不等式可得≥9，再由函數(shù)的單調(diào)性，即可得到最小值．【解答】解：由ex=，可得f（x）==1﹣，由f（x1）+f（x2）=1，可得+=，即為=++3，由+≥2，即有≥2+3，解得≥3，即為≥9，當且僅當x1=x2，取得等號，則f（x1+x2）=1﹣≥1﹣=．即有最小值為．故答案為：．【點評】本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運用，主要考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及運用，同時考查基本不等式的運用：求最值，屬于中檔題．17.如圖，在三角形中，點是邊上一點，且，點是邊的中點，過作的垂線，垂足為，若，則

．參考答案：2

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，∥，，⊥平面SAD，點是的中點，且，.

（1）求四棱錐的體積；（2）求證：∥平面；（3）求直線和平面所成的角的正弦值.

參考答案：解：∵⊥底面,底面,底面∴⊥,⊥

∵,、是平面內(nèi)的兩條相交直線∴側(cè)棱底面

…2分（1）

在四棱錐中，側(cè)棱底面，底面是直角梯形，∥，⊥，，

∴

…4分

（2）取的中點，連接、。

∵點是的中點

∴∥且

∵底面是直角梯形，垂直于和，，

∴∥且

∴∥且∴四邊形是平行四邊形∴∥

∵，∴∥平面

………………7分

（3）∵側(cè)棱底面，底面∴∵垂直于，、是平面內(nèi)的兩條相交直線∴，垂足是點

∴是在平面內(nèi)的射影，∴是直線和平面所成的角

∵在中，，

∴∴∴

直線和平面所成的角的正弦值是

………………10分19.（12分）在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分別為AB、SB的中點。（Ⅰ）證明：AC⊥SB；（Ⅱ）求二面角N-CM-B的余弦值；參考答案：解：解法一：（Ⅰ）取AC中點D，連結(jié)SD、DB.∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SD且AC⊥BD，……2分∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB，∴AC⊥SB.……4分（Ⅱ）∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC，∴平面SDB⊥平面ABC.過N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，過E作EF⊥CM于F，連結(jié)NF，則NF⊥CM.∴∠NFE為二面角N-CM-B的平面角.……………6分∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴SD⊥平面ABC.又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD.∵SN=NB，∴NE=SD===，且ED=EB.在正△ABC中，由平幾知識可求得EF=MB=，在Rt△NEF中，tan∠NFE==2，∠NFE=∴二面角N-CM-B的余弦值為.………………8分（Ⅲ）在Rt△NEF中，NF==，∴S△CMN=CM·NF=，S△CMB=BM·CM=2.……10分設點B到平面CMN的距離為h，∵VB-CMN=VN-CMB，NE⊥平面CMB，∴S△CMN·h=S△CMB·NE，∴h==.即點B到平面CMN的距離為.………12分解法二：（Ⅰ）取AC中點O，連結(jié)OS、OB.∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SO且AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO.如圖所示建立空間直角坐標系O-xyz.………………2分則A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0），S（0，0，2），M(1，，0)，N(0，，).∴=（-4，0，0），=（0，2，2），∵·=（-4，0，0）·（0，2，2）=0，……3分∴AC⊥SB.………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得=（3，，0)，=（-1，0，）.設n=（x，y，z）為平面CMN的一個法向量，

·n=3x+y=0，

·n=-x+z=0，

則取z=1，則x=，y=-，……6分∴n=(，-，1)，又=(0，0，2)為平面ABC的一個法向量，∴cos(n，)==.………………7分∴二面角N-CM-B的余弦值為.………………8分（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得=（-1，，0），n=（，-，1）為平面CMN的一個法向量，∴點B到平面CMN的距離d==.……………12略20.(本小題滿分10分)選修4-5:不等式選講已知函數(shù)f(x)=∣x-a∣，其中a>1.(I)當a=3時，求不等式f(x)≥4-∣x-4∣的解集;(Ⅱ)若函數(shù)h(x)=f(2x+a)-2f(x)的圖象與x、y軸圍成的三角形面積大于a+4,求a的取值范圍.參考答案：（Ⅰ）當時，當時，由得，，解得；當時，，無解；當時，得，，解得．∴的解集為．…………5分（Ⅱ）記，則

所以

，解得.…………10分21.（本小題滿分12分）

已知

（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；ks5u

（2）若上的最大值與最小值之和為，求實數(shù)a的值。參考答案：無略22.（16分）如圖：在直角坐標系xoy中，設橢圓C：=1（a＞b＞0）的左右兩個焦點分別為F1、F2．過右焦點F2與x軸垂直的直線l與橢圓C相交，其中一個交點為．（1）求橢圓C的方程；（2）設橢圓C的一個頂點為B（0，﹣b），求點M到直線BF1的距離；（3）過F1M中點的直線l1交橢圓于P、Q兩點，求|PQ|長的最大值以及相應的直線方程．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】方程思想；待定系數(shù)法；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（1）設右焦點F2為（c，0），令x=c，代入橢圓方程，可得c=，=1，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；（2）求得直線BF1的方程，由點到直線的距離公式，計算即可得到所求值；（3）過F1M中點的直線l1的方程設為x=m（y﹣），代入橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，化簡整理即可得到弦長的取值范圍，再由斜率為0，求得直線方程，代入橢圓方程，求得PQ的長，即可得到最大值．【解答】解：（1）設右焦點F2為（c，0），令x=c，代入橢圓可得y=±b，由M（，1），即有c=，=1，又a2﹣b2=2，解得a=2，b=，則橢圓方程為+=1；（2）由題意可得B（0，﹣），F(xiàn)1（﹣，0），直線BF1的方程為x+y+=0，則點M到直線BF1的距離為=2+；（3）過F1M中點的直線l1的方程設為x=m（y﹣），代入橢圓方程，可得（2+m2）y2﹣m2y+