山西省陽泉市仙人鄉(xiāng)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

山西省陽泉市仙人鄉(xiāng)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.記Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，若，則公比q=（

）A.0 B.－1 C.1 D.無法確定參考答案：B【分析】用和表示，結(jié)合以及可求出的值.【詳解】由題意可知，且，解得.故選：B.【點睛】本題考查等比數(shù)列求項和中基本量的計算，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.2.一名小學(xué)生的年齡和身高（單位：cm)的數(shù)據(jù)如下：

年齡x6789身高y118126136144由散點圖可知，身高y與年齡x之間的線性回歸直線方程為，預(yù)測該學(xué)生10歲時的身高為(A)154.(B)153(C)152(D)151參考公式：回歸直線方程是：參考答案：B由表格可知因線性回歸直線方程過樣本中心，則預(yù)測該學(xué)生10歲時的身高為153.3.已知命題是的充分不必要條件；命題若數(shù)列的前項和，那么數(shù)列是等差數(shù)列.則下列命題是真命題的是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B4.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則（

）（A）16

（B）20

（C）24

（D）26參考答案：A5.函數(shù)的部分圖象如右圖所示，設(shè)是圖象的最高點，是圖象與軸的交點，則(

)A.

B.

C.

D.參考答案：B略6.已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x）=且f（x+2）=f（x），g（x）=，則方程f（x）=g（x）在區(qū)間上的所有實根之和為(

)A．﹣8 B．﹣7 C．﹣6 D．0參考答案：B【考點】分段函數(shù)的應(yīng)用．【專題】計算題；數(shù)形結(jié)合；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】化簡g（x）的表達(dá)式，得到g（x）的圖象關(guān)于點（﹣2，1）對稱，由f（x）的周期性，畫出f（x），g（x）的圖象，通過圖象觀察上的交點的橫坐標(biāo)的特點，求出它們的和【解答】解：由題意知g（x）==2+，函數(shù)f（x）的周期為2，則函數(shù)f（x），g（x）在區(qū)間上的圖象如右圖所示：由圖形可知函數(shù)f（x），g（x）在區(qū)間上的交點為A，B，C，易知點B的橫坐標(biāo)為﹣3，若設(shè)C的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜1），則點A的橫坐標(biāo)為﹣4﹣t，所以方程f（x）=g（x）在區(qū)間上的所有實數(shù)根之和為﹣3+（﹣4﹣t）+t=﹣7．故選：B．【點評】本題考查分段函數(shù)的圖象和運用，考查函數(shù)的周期性、對稱性和應(yīng)用，同時考查數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題．7.已知

（

）

（A）

（B）－

（C）

（D）－參考答案：答案：D8.三世紀(jì)中期，魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)，為計算圓周率建立了嚴(yán)密的理論和完善的算法.所謂割圓術(shù)，就是不斷倍增圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)求出圓周率的方法.如圖是劉徽利用正六邊形計算圓周率時所畫的示意圖，現(xiàn)向圓中隨機投擲一個點，則該點落在正六邊形內(nèi)的概率為（

）A． B．

C．

D．參考答案：A設(shè)圓的半徑為，則圓的面積，正六邊形的面積，所以向圓中隨機投擲一個點，該點落在正六邊形內(nèi)的概率，故選A.9.已知,則（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A10.“”是“函數(shù)

在R上單調(diào)遞減”的(

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C.充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知[x）表示大于x的最小整數(shù)，例如[3）=4，[﹣2，﹣1）=﹣1．下列命題中真命題為

．（寫出所有真命題的序號）①函數(shù)f（x）=[x）﹣x的值域是（0，1]；②若{an}為等差數(shù)列，則[an）也是等差數(shù)列；③函數(shù)f（x）=[x）﹣x是周期函數(shù)；④若x∈（1，4），則方程[x）﹣x=有3個根．參考答案：①③④【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】數(shù)形結(jié)合；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；簡易邏輯．【分析】①由于函數(shù)f（x）=[x）﹣x=，即可判斷出真假；②是假命題，例如，則[an）為1，1，2，2，2，3，…，不是等差數(shù)列；③由于f（x+1）=[x）+1﹣（x+1）=[x）﹣x=f（x），因此函數(shù)f（x）=[x）﹣x是周期為1的周期函數(shù)，；④如圖所示，即可判斷出真假．【解答】解：①∵函數(shù)f（x）=[x）﹣x=，因此f（x）的值域是（0，1]，是真命題；②若{an}為等差數(shù)列，則[an）也是等差數(shù)列，是假命題，例如，則[an）為1，1，2，2，2，3，…，不是等差數(shù)列；③∵f（x+1）=[x+1）﹣（x+1）=[x）+1﹣（x+1）=[x）﹣x=f（x），因此函數(shù)f（x）=[x）﹣x是周期為1的周期函數(shù)，是真命題；④若x∈（1，4），則方程[x）﹣x=有3個根，如圖所示，是真命題．綜上可得：真命題為①③④．故答案為：①③④．【點評】本題考查新定義函數(shù)、函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．12.設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知，，則an=______，S100=______．參考答案：

【分析】由已知可得=2，=2n，然后利用累加法可求{an}的通項公式；結(jié)合以上所求代入可得Sn=，然后利用錯位相減可求Sn，進(jìn)而可求S100．【詳解】由，，可得=2，=2n，∴=2，，…，以上n-1個式子相加可得，=2+22+…+2n-1==2n-2，∴=2n，∴an=；Sn=，∴=，兩式相減可得，===，∴，∴．故答案為：；．【點睛】本題主要考查了累加法求解數(shù)列的通項公式及利用錯位相減求解數(shù)列的和，注意仔細(xì)審題，認(rèn)真計算，屬中檔題．13.已知直線與圓交于、兩點，且，其中為坐標(biāo)原點，則正實數(shù)的值為

.

參考答案：214.函數(shù)的值域為

.參考答案：(0,+∞)

15.設(shè)，若直線與軸相交于點，與軸相交于點，且坐標(biāo)原點到直線的距離為，則面積的最小值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C16.圓心在拋物線上，并且和該拋物線的準(zhǔn)線及軸都相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

．參考答案：

17.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a處取得極大值，則a的取值范圍是________．參考答案：(－1,0)略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在直角坐標(biāo)系xoy中，直線l過點M（3，4），其傾斜角為45°，以原點為極點，以x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)，并使得它與直角坐標(biāo)系xoy有相同的長度單位，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ．（Ⅰ）求直線l的參數(shù)方程和圓C的普通方程；（Ⅱ）設(shè)圓C與直線l交于點A、B，求|MA|?|MB|的值．參考答案：【考點】Q4：簡單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】（Ⅰ）直線l過點M（3，4），其傾斜角為45°，參數(shù)方程為，（t為參數(shù)）．由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式代入化簡即可得出圓C的普通方程；（Ⅱ）直線l的參數(shù)方程代入圓方程得+9=0，利用|MA|?|MB|=|t1|?|t2|=|t1t2|即可得出．【解答】解：（Ⅰ）直線l過點M（3，4），其傾斜角為45°，參數(shù)方程為，（t為參數(shù)）．圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，直角坐標(biāo)方程為x2+y2﹣4y=0；（Ⅱ）將直線的參數(shù)方程代入圓方程得：+9=0，設(shè)A、B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2，則t1+t2=5，t1t2=9，于是|MA|?|MB|=|t1|?|t2|=|t1t2|=9．19.（本小題滿分12分）

定義：若兩個橢圓的離心率相等，則稱兩個橢圓是“相似”的，如圖，橢圓與橢圓是相似的兩個橢圓，并且相交于上下兩個頂點，橢圓的長軸長為4，橢圓短軸長是1，點分別是橢圓的左焦點與右焦點。（1）求橢圓的方程；（2）過的直線交橢圓于點，求面積的最大值。參考答案：20.（14分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，如果函數(shù)g（x）=f（x）﹣k僅有一個零點，求實數(shù)k的取值范圍；（2）當(dāng)a=2時，試比較f（x）與1的大??；（3）求證：（n∈N*）．參考答案：【考點】不等式的證明；函數(shù)的零點；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【專題】數(shù)形結(jié)合；分類討論；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）利用函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)求出它的單調(diào)區(qū)間和極值，由題意知k大于f（x）的極大值，或k小于f（x）的極小值．（2）令h（x）=f（x）﹣1，由h′（x）＞0得h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，利用h（1）=0，分x＞1、0＜x＜1、當(dāng)x=1三種情況進(jìn)行討論．（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，當(dāng)x＞1時，，令，有，可得，由，證得結(jié)論．【解答】解：（1）當(dāng)時，，定義域是（0，+∞），求得，令f'（x）=0，得，或x=2．∵當(dāng)或x＞2時，f'（x）＞0；當(dāng)時，f'（x）＜0，∴函數(shù)f（x）在（0，]、（2，+∞）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．∴f（x）的極大值是，極小值是．∵當(dāng)x趨于0時，f（x）趨于﹣∞；當(dāng)x趨于+∞時，f（x）趨于+∞，由于當(dāng)g（x）僅有一個零點時，函數(shù)f（x）的圖象和直線y=k僅有一個交點，k的取值范圍是{k|k＞3﹣ln2，或}．（2）當(dāng)a=2時，，定義域為（0，+∞）．令，∵，∴h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

①當(dāng)x＞1時，h（x）＞h（1）=0，即f（x）＞1；②當(dāng)0＜x＜1時，h（x）＜h（1）=0，即f（x）＜1；

③當(dāng)x=1時，h（x）=h（1）=0，即f（x）=1．（3）證明：根據(jù)（2）的結(jié)論，當(dāng)x＞1時，，即．令，則有，∴．∵，∴．【點評】本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)運算法則、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、證明不等式等基礎(chǔ)知識，考查分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想，考查考生的計算能力及分析問題、解決問題的能力和創(chuàng)新意識，屬于中檔題．21.已知各項為正數(shù)的等差數(shù)列滿足，，且（）．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設(shè)，