山西省陽(yáng)泉市盂縣秀水鎮(zhèn)第二中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

山西省陽(yáng)泉市盂縣秀水鎮(zhèn)第二中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若（為虛數(shù)單位，），則等于（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：A因?yàn)?，則．所以，故答案選A．2.已知銳角α、β滿足cosα＝，cos(α＋β)＝－，則cosβ＝()A．

B．－

C．

D．－參考答案：A略3.直線l與圓x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A、B兩點(diǎn)，若弦AB的中點(diǎn)為(－2,3)，則直線l的方程為()A．x－y＋5＝0

B．x＋y－1＝0C．x－y－5＝0

D．x＋y－3＝0參考答案：A4.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)(1﹣i)2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：C【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【分析】展開(kāi)完全平方式，得到復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)得答案．【解答】解：∵=，∴復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2），位于第三象限．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．5.對(duì)于實(shí)數(shù)和，定于運(yùn)算“”：設(shè)函數(shù).若函數(shù)的圖象與軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略6.若雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)雙曲線上的點(diǎn)。若直線PA、PB的傾斜角分別為α，β，且，那么α的值是（

） A． B． C． D．參考答案：D7.已知不等式組，表示的平面區(qū)域的面積為4，點(diǎn)P（x，y）在所給平面區(qū)域內(nèi)，則z=2x+y的最大值為（）A．3B．5C．6D．7參考答案：C略8.已知不等式的解集為，點(diǎn)在直線上，其中，則的最小值為

(A)

(B)8

(C)9

(D)12參考答案：C略9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入p=2017，則輸出i的值為（）A．335 B．336 C．337 D．338參考答案：C【考點(diǎn)】程序框圖．【分析】根據(jù)題意，模擬程序框圖的運(yùn)行過(guò)程，即可得出輸出i的值．【解答】解：模擬程序的運(yùn)行，可得程序框圖的功能是統(tǒng)計(jì)1到2017這些數(shù)中能同時(shí)被2和3整除的數(shù)的個(gè)數(shù)i，由于：2017=336×6+1，故程序框圖輸出的i的值為337．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)模擬程序框圖的運(yùn)行過(guò)程，正確得出程序框圖的功能是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．10.對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量和，定義；若平面向量滿足，與的夾角，且，都在集合中，則

A．

B．

C．

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在中，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，點(diǎn)在線段上（與點(diǎn)不重合）若，則的取值范圍是____________.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】平面向量基本定理F2=y=y(-)=-y+(1+y),y,x.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)所給的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出要求向量的表示式，注意共線的向量之間的二分之一關(guān)系，根據(jù)表示的關(guān)系式和所給的關(guān)系式進(jìn)行比較，得到結(jié)果．12.已知數(shù)列{an}為1，3，7，15，31，…，2n﹣1，數(shù)列{bn}滿足b1=1，bn=an﹣an﹣1，則數(shù)列的前n﹣1項(xiàng)和Sn﹣1為

．參考答案：2﹣22﹣n（n≥2）【考點(diǎn)】8E：數(shù)列的求和．【分析】an=2n﹣1．?dāng)?shù)列{bn}滿足b1=1，n≥2時(shí)bn=an﹣an﹣1=2n﹣1﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1，（n=1時(shí)也成立）．可得bn=2n﹣1．利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．【解答】解：an=2n﹣1．?dāng)?shù)列{bn}滿足b1=1，n≥2時(shí)bn=an﹣an﹣1=2n﹣1﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1，（n=1時(shí)也成立）．∴bn=2n﹣1．∴=．∴數(shù)列的前n﹣1項(xiàng)和Sn﹣1=1+=2﹣22﹣n（n≥2）．故答案為：2﹣22﹣n（n≥2）．13.（5分）設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)，則的最小值為．參考答案：2﹣2【考點(diǎn)】：基本不等式．【專題】：不等式．【分析】：把所給的式子直接通分相加，把分子整理出含有分母的形式，做到分子常數(shù)化，分子和分母同除以分母，把原式的分母變化成具有基本不等式的形式，求出最小值解：==1﹣=1﹣，∵a，b為正實(shí)數(shù)，∴≥2=2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，∴≥1﹣=1﹣（3﹣2）=2﹣2，故的最小值為：，故答案為：2﹣2【點(diǎn)評(píng)】：本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義，本題解題的關(guān)鍵是整理出原式含有基本不等式的形式，可以應(yīng)用基本不等式求最值．14.已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，公差為2，若a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…對(duì)n∈N*恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是

．參考答案：（﹣∞，﹣12]【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【分析】由a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2na2n+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣1﹣a2n+1）=4（a2+a4+…+a2n），結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式可得關(guān)于n的不等式，解不等式可求對(duì)n∈N*恒成立，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值即可【解答】解：a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2na2n+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣1﹣a2n+1）=﹣4（a2+a4+…+a2n）=，所以﹣8n2﹣4n≥tn2，所以t≤﹣8﹣對(duì)n∈N*恒成立，t≤﹣12，故答案為（﹣∞，﹣12]15.在矩形ABCD中，=（1，﹣3），，則實(shí)數(shù)k=．參考答案：4【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．【專題】平面向量及應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，利用?=0，列出方程，求出k的值．【解答】解：如圖所示，在矩形ABCD中，=（1，﹣3），，∴=﹣=（k﹣1，﹣2+3）=（k﹣1，1），∴?=1×（k﹣1）+（﹣3）×1=0，解得k=4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用平面向量的數(shù)量積表示向量垂直的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．16.男隊(duì)有號(hào)碼1，2，3的三名乒乓球運(yùn)動(dòng)員，女隊(duì)有號(hào)碼為1，2，3，4的四名乒乓球運(yùn)動(dòng)員，現(xiàn)兩隊(duì)各出一名運(yùn)動(dòng)員比賽一場(chǎng)，則出場(chǎng)的兩名運(yùn)動(dòng)員號(hào)碼不同的概率為．參考答案：【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【分析】出場(chǎng)的兩名運(yùn)動(dòng)員號(hào)碼不同的對(duì)立事件是出場(chǎng)的兩名運(yùn)動(dòng)員號(hào)碼相同，由此利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出出場(chǎng)的兩名運(yùn)動(dòng)員號(hào)碼不同的概率．【解答】解：男隊(duì)有號(hào)碼1，2，3的三名乒乓球運(yùn)動(dòng)員，女隊(duì)有號(hào)碼為1，2，3，4的四名乒乓球運(yùn)動(dòng)員，現(xiàn)兩隊(duì)各出一名運(yùn)動(dòng)員比賽一場(chǎng)，基本事件總數(shù)n=3×4=12，出場(chǎng)的兩名運(yùn)動(dòng)員號(hào)碼不同的對(duì)立事件是出場(chǎng)的兩名運(yùn)動(dòng)員號(hào)碼相同，∴出場(chǎng)的兩名運(yùn)動(dòng)員號(hào)碼不同的概率p=1﹣=．故答案為：．17.＝

．參考答案：由定積分的幾何意義可知表示的為單位圓在第一象限內(nèi)的面積，即由微積分基本定理可知所以

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為（），且曲線C與直線l有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）設(shè)A、B為曲線C上的兩點(diǎn)，且，求的最大值．參考答案：（Ⅰ）直線的普通方程是，曲線的直角坐標(biāo)方程是，依題意直線與圓相切，則，解得或，因?yàn)?，所以．（Ⅱ）如圖，不妨設(shè)，，則，，，所以，即，時(shí)，最大值是．19.已知函數(shù)

（1）若

且函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）如果當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）求證參考答案：解：（1）因?yàn)?，x0，則，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在（0，1）上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極大值.

因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間（其中）上存在極值，所以

解得.

（2）不等式即為

記

所以

令，則，，在上單調(diào)遞增，

，從而，故在上也單調(diào)遞增，

所以，所以

.

（3）由（2）知：恒成立，即，

令，則，

所以,，，

…

…

，

疊加得：

.

則，所以20.已知橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率e=，直線y=x+1經(jīng)過(guò)橢圓C的左焦點(diǎn)． （I）求橢圓C的方程； （Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)M（2，0）的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿足+=t（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)t的取值范圍． 參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)． 【分析】（I）直線y=x+1與x軸交點(diǎn)為（﹣1，0），即橢圓的左焦點(diǎn)，可得c=1．又=，b2=a2﹣c2．即可得出． （Ⅱ）由題意知直線AB的斜率存在．設(shè)直線ABd的方程：y=k（k﹣2），與橢圓方程聯(lián)立可得：（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0．利用△＞0，解得k2．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）．利用根與系數(shù)的關(guān)系及+=t，可得P坐標(biāo)，代入橢圓方程即可得出．【解答】解：（I）直線y=x+1與x軸交點(diǎn)為（﹣1，0），即橢圓的左焦點(diǎn)，∴c=1． 又=，∴a=，b2=a2﹣c2=1． 故橢圓C的方程為=1． （Ⅱ）由題意知直線AB的斜率存在． 設(shè)直線ABd的方程：y=k（k﹣2）， 聯(lián)立，化為：（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0． △=64k4﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）＞0，解得k2． 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）， 則x1+x2=，x1x2=， ∵+=t， ∴x1+x2=tx，y1+y2=ty． x==， y===． ∵點(diǎn)P在橢圓上，∴+2=2， ∴16k2=t2（1+2k2）， k2， ∴t2===4， 解得﹣2＜t＜2．， ∴t的取值范圍是為（﹣2，2）． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量坐標(biāo)運(yùn)算、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．21.選修4—1：幾何證明選講在中，AB=AC，過(guò)點(diǎn)A的直線與其外接圓交于點(diǎn)P，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)D。

（1）求證：；

（2）若AC=3，求的值。參考答案：解：（1）連結(jié)BP，∵四邊形ABCP內(nèi)接于圓，∴∠PCD=∠BAD又∠PDC=∠BDA∴△PCD～△BAD∴又∵AB=AC∴

（5分）（2）連結(jié)BP?！逜B=AC，∴∠ABC=∠ACB

又∵