山西省陽泉市盂縣秀水鎮(zhèn)第二中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

山西省陽泉市盂縣秀水鎮(zhèn)第二中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若（為虛數(shù)單位，），則等于（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：A因為，則．所以，故答案選A．2.已知銳角α、β滿足cosα＝，cos(α＋β)＝－，則cosβ＝()A．

B．－

C．

D．－參考答案：A略3.直線l與圓x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A、B兩點，若弦AB的中點為(－2,3)，則直線l的方程為()A．x－y＋5＝0

B．x＋y－1＝0C．x－y－5＝0

D．x＋y－3＝0參考答案：A4.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)(1﹣i)2對應(yīng)的點P位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：C【考點】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【分析】展開完全平方式，得到復(fù)數(shù)對應(yīng)的點P的坐標(biāo)得答案．【解答】解：∵=，∴復(fù)數(shù)對應(yīng)的點P的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2），位于第三象限．故選：C．【點評】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．5.對于實數(shù)和，定于運算“”：設(shè)函數(shù).若函數(shù)的圖象與軸恰有兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略6.若雙曲線的左、右頂點分別為A、B，點P是第一象限內(nèi)雙曲線上的點。若直線PA、PB的傾斜角分別為α，β，且，那么α的值是（

） A． B． C． D．參考答案：D7.已知不等式組，表示的平面區(qū)域的面積為4，點P（x，y）在所給平面區(qū)域內(nèi)，則z=2x+y的最大值為（）A．3B．5C．6D．7參考答案：C略8.已知不等式的解集為，點在直線上，其中，則的最小值為

(A)

(B)8

(C)9

(D)12參考答案：C略9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入p=2017，則輸出i的值為（）A．335 B．336 C．337 D．338參考答案：C【考點】程序框圖．【分析】根據(jù)題意，模擬程序框圖的運行過程，即可得出輸出i的值．【解答】解：模擬程序的運行，可得程序框圖的功能是統(tǒng)計1到2017這些數(shù)中能同時被2和3整除的數(shù)的個數(shù)i，由于：2017=336×6+1，故程序框圖輸出的i的值為337．故選：C．【點評】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時模擬程序框圖的運行過程，正確得出程序框圖的功能是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．10.對任意兩個非零的平面向量和，定義；若平面向量滿足，與的夾角，且，都在集合中，則

A．

B．

C．

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在中，點在線段的延長線上，且，點在線段上（與點不重合）若，則的取值范圍是____________.參考答案：【知識點】平面向量基本定理F2=y=y(-)=-y+(1+y),y,x.【思路點撥】根據(jù)所給的數(shù)量關(guān)系，寫出要求向量的表示式，注意共線的向量之間的二分之一關(guān)系，根據(jù)表示的關(guān)系式和所給的關(guān)系式進行比較，得到結(jié)果．12.已知數(shù)列{an}為1，3，7，15，31，…，2n﹣1，數(shù)列{bn}滿足b1=1，bn=an﹣an﹣1，則數(shù)列的前n﹣1項和Sn﹣1為

．參考答案：2﹣22﹣n（n≥2）【考點】8E：數(shù)列的求和．【分析】an=2n﹣1．?dāng)?shù)列{bn}滿足b1=1，n≥2時bn=an﹣an﹣1=2n﹣1﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1，（n=1時也成立）．可得bn=2n﹣1．利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．【解答】解：an=2n﹣1．?dāng)?shù)列{bn}滿足b1=1，n≥2時bn=an﹣an﹣1=2n﹣1﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1，（n=1時也成立）．∴bn=2n﹣1．∴=．∴數(shù)列的前n﹣1項和Sn﹣1=1+=2﹣22﹣n（n≥2）．故答案為：2﹣22﹣n（n≥2）．13.（5分）設(shè)a，b為正實數(shù)，則的最小值為．參考答案：2﹣2【考點】：基本不等式．【專題】：不等式．【分析】：把所給的式子直接通分相加，把分子整理出含有分母的形式，做到分子常數(shù)化，分子和分母同除以分母，把原式的分母變化成具有基本不等式的形式，求出最小值解：==1﹣=1﹣，∵a，b為正實數(shù)，∴≥2=2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號，∴≥1﹣=1﹣（3﹣2）=2﹣2，故的最小值為：，故答案為：2﹣2【點評】：本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義，本題解題的關(guān)鍵是整理出原式含有基本不等式的形式，可以應(yīng)用基本不等式求最值．14.已知等差數(shù)列{an}的首項為1，公差為2，若a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…對n∈N*恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是

．參考答案：（﹣∞，﹣12]【考點】數(shù)列的求和．【分析】由a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2na2n+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣1﹣a2n+1）=4（a2+a4+…+a2n），結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式可得關(guān)于n的不等式，解不等式可求對n∈N*恒成立，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值即可【解答】解：a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2na2n+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣1﹣a2n+1）=﹣4（a2+a4+…+a2n）=，所以﹣8n2﹣4n≥tn2，所以t≤﹣8﹣對n∈N*恒成立，t≤﹣12，故答案為（﹣∞，﹣12]15.在矩形ABCD中，=（1，﹣3），，則實數(shù)k=．參考答案：4【考點】數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系．【專題】平面向量及應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，利用?=0，列出方程，求出k的值．【解答】解：如圖所示，在矩形ABCD中，=（1，﹣3），，∴=﹣=（k﹣1，﹣2+3）=（k﹣1，1），∴?=1×（k﹣1）+（﹣3）×1=0，解得k=4．故答案為：4．【點評】本題考查了利用平面向量的數(shù)量積表示向量垂直的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．16.男隊有號碼1，2，3的三名乒乓球運動員，女隊有號碼為1，2，3，4的四名乒乓球運動員，現(xiàn)兩隊各出一名運動員比賽一場，則出場的兩名運動員號碼不同的概率為．參考答案：【考點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【分析】出場的兩名運動員號碼不同的對立事件是出場的兩名運動員號碼相同，由此利用對立事件概率計算公式能求出出場的兩名運動員號碼不同的概率．【解答】解：男隊有號碼1，2，3的三名乒乓球運動員，女隊有號碼為1，2，3，4的四名乒乓球運動員，現(xiàn)兩隊各出一名運動員比賽一場，基本事件總數(shù)n=3×4=12，出場的兩名運動員號碼不同的對立事件是出場的兩名運動員號碼相同，∴出場的兩名運動員號碼不同的概率p=1﹣=．故答案為：．17.＝

．參考答案：由定積分的幾何意義可知表示的為單位圓在第一象限內(nèi)的面積，即由微積分基本定理可知所以

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為（），且曲線C與直線l有且僅有一個公共點．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）設(shè)A、B為曲線C上的兩點，且，求的最大值．參考答案：（Ⅰ）直線的普通方程是，曲線的直角坐標(biāo)方程是，依題意直線與圓相切，則，解得或，因為，所以．（Ⅱ）如圖，不妨設(shè)，，則，，，所以，即，時，最大值是．19.已知函數(shù)

（1）若

且函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求實數(shù)的取值范圍；（2）如果當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）求證參考答案：解：（1）因為，x0，則，

當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以在（0，1）上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極大值.

因為函數(shù)在區(qū)間（其中）上存在極值，所以

解得.

（2）不等式即為

記

所以

令，則，，在上單調(diào)遞增，

，從而，故在上也單調(diào)遞增，

所以，所以

.

（3）由（2）知：恒成立，即，

令，則，

所以,，，

…

…

，

疊加得：

.

則，所以20.已知橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率e=，直線y=x+1經(jīng)過橢圓C的左焦點． （I）求橢圓C的方程； （Ⅱ）若過點M（2，0）的直線與橢圓C交于A，B兩點，設(shè)P為橢圓上一點，且滿足+=t（其中O為坐標(biāo)原點），求實數(shù)t的取值范圍． 參考答案：【考點】橢圓的簡單性質(zhì)． 【分析】（I）直線y=x+1與x軸交點為（﹣1，0），即橢圓的左焦點，可得c=1．又=，b2=a2﹣c2．即可得出． （Ⅱ）由題意知直線AB的斜率存在．設(shè)直線ABd的方程：y=k（k﹣2），與橢圓方程聯(lián)立可得：（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0．利用△＞0，解得k2．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）．利用根與系數(shù)的關(guān)系及+=t，可得P坐標(biāo)，代入橢圓方程即可得出．【解答】解：（I）直線y=x+1與x軸交點為（﹣1，0），即橢圓的左焦點，∴c=1． 又=，∴a=，b2=a2﹣c2=1． 故橢圓C的方程為=1． （Ⅱ）由題意知直線AB的斜率存在． 設(shè)直線ABd的方程：y=k（k﹣2）， 聯(lián)立，化為：（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0． △=64k4﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）＞0，解得k2． 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）， 則x1+x2=，x1x2=， ∵+=t， ∴x1+x2=tx，y1+y2=ty． x==， y===． ∵點P在橢圓上，∴+2=2， ∴16k2=t2（1+2k2）， k2， ∴t2===4， 解得﹣2＜t＜2．， ∴t的取值范圍是為（﹣2，2）． 【點評】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量坐標(biāo)運算、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．21.選修4—1：幾何證明選講在中，AB=AC，過點A的直線與其外接圓交于點P，交BC延長線于點D。

（1）求證：；

（2）若AC=3，求的值。參考答案：解：（1）連結(jié)BP，∵四邊形ABCP內(nèi)接于圓，∴∠PCD=∠BAD又∠PDC=∠BDA∴△PCD～△BAD∴又∵AB=AC∴

（5分）（2）連結(jié)BP。∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB

又∵