第三章 第七節(jié) 正弦定理和余弦定理

第七節(jié)正弦定理和余弦定理正弦定理與余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容（R是△ABC外接圓的半徑）

在△ABC中，有a2=_______________;b2=_______________c2=_______________b2+c2-2bccosAc2+a2-2cacosBa2+b2-2abcosC面積公式定理正弦定理余弦定理變形公式①a=_________,b=_________,c=_________；②sinA∶sinB∶sinC=_______③

2RsinA2RsinB2RsinCa∶b∶c,sinC=定理正弦定理余弦定理解決的問題①已知兩角和任一邊，求其它邊和角②已知兩邊和其中一邊的對角，求其它邊和角①已知三邊,求各角②已知兩邊和它們的夾角,求第三邊和其他角注意：1.用正弦定理求角時(shí)，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)多個(gè)解，要注意分析取舍2.在已知兩邊及一邊的對角時(shí)，有時(shí)用余弦定理列方程比正弦定理更簡捷，要靈活使用定理。判斷下面結(jié)論是否正確（請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”）.（1）在△ABC中，A＞B必有sinA＞sinB.()（2）正弦定理對直角三角形不成立.()（3）在△ABC中共有三個(gè)角、三個(gè)邊六個(gè)量，可以已知三個(gè)量求另外三個(gè)量.()（4）余弦定理對任意三角形均成立.()（5）正弦定理可以實(shí)現(xiàn)邊角互化，但余弦定理不可以.()答案：（1）√（2）×（3）×（4）√（5）×例2：在△ABC中，a,b，c分別是角A，B，C的對邊，且（1）求角B的大小.（2）若求a,c的值.（1）（2013·唐山模擬）在△ABC中,則B=()（2）（2013·惠陽模擬）已知a,b,c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對的邊，若則sinC等于()變式訓(xùn)練CA(3).在△ABC中，B＝30°，C＝120°，則a∶b∶c＝_____.

（4）（2013·西安模擬）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a,b,c.①若求A的值；②若求sinC的值.（5）如圖,在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，AD=33,（1）求sin∠ABD的值.（2）求BD的長.【拓展提升】

1.已知兩邊和其中一邊的對角時(shí)解三角形的情況已知兩邊和其中一邊的對角,解三角形時(shí),注意解的情況.如已知a,b,A,則有兩解、一解、無解三種情況.2.解三角形中的常用公式和結(jié)論(1）A+B+C=π.(2)sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC，tan（A+B）=-tanC.

(3)(4)三角形ABC中（8）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a,b,c，且滿足則邊a=()(7).在△ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，則角A等于______.(5)(2013·重慶模擬)在△ABC中，角A，B，C所對邊長分別為a,b,c，若a2+b2=2c2，則角C的最大值為()(6)（2013·濟(jì)南模擬）已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶4，則cosC等于()CBC(2).△ABC滿足acosB=bcosA，則△ABC的形狀為()(A)直角三角形(B)等邊三角形(C)等腰三角形(D)等腰直角三角形(1)(2013·哈爾濱模擬)在△ABC中,若a=2bcosC,則△ABC是()(A)銳角三角形 (B)等腰三角形(C)鈍角三角形 (D)直角三角形B變式訓(xùn)練（3）△ABC中，若b=asinC,c=acosB,則△ABC的形狀為------三角形C(4)△ABC中，已知a-b=ccosB－ccosA，則△ABC的形狀為()(A)等腰三角形(B)直角三角形(C)等腰直角三角形(D)等腰或直角三角形D【拓展提升】

1.三角形形狀的判斷思路(1)若出現(xiàn)邊與邊的關(guān)系時(shí)主要看是否有等邊或是否符合勾股定理等.(2)若出現(xiàn)角與角的關(guān)系時(shí)主要是看是否有等角、有無直角或鈍角等.2.判定三角形形狀的兩種常用途徑(1)邊化角：通過正弦定理或余弦定理，化邊為角,利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系后進(jìn)行判斷.(2)角化邊：利用正弦定理或余弦定理，化角為邊,通過代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系后進(jìn)行判斷.四、正、余弦定理綜合問題【典例】(12分)（2012·江蘇高考）在△ABC中，已知（1）求證：tanB=3tanA.（2）若求A的值．變式訓(xùn)練1.(2012·湖北高考)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若(a+b-c)(a+b+c)=ab,則角C等于()(A)30° (B)45° (C)60° (D)120°D2.(2013·合肥模擬)在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,則A的取值范圍是()(A)(0,] (B)[,π)(C)(0,] (D)[,π)C3.(2012·北京高考)在△ABC中,a=2,b+c=7,cosB=,則b=

.4.在△ABC中，若2acosB=c，則的取值范圍是()4C5.(2013·巢湖模擬）已