廣東省東莞市東坑中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理測試題含解析

廣東省東莞市東坑中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)（其中＞0，＜的圖象如圖所示，為了得到的圖象，只需將的圖象A.向右平移個單位長度B.向左平移個單位長度C.向右平移個單位長度D.向左平移個單位長度參考答案：C2.下表是某小賣部統(tǒng)計出的五天中賣出熱茶的杯數(shù)與當天氣溫的對比表：

氣溫x(℃)18131040杯數(shù)y2434395162

若賣出熱茶的杯數(shù)y與氣溫x近似地滿足線性關(guān)系，則其關(guān)系式最接近的是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：C過點(9,42),選C

3.如右圖，定圓半徑為，圓心為，則直線與直線的交點在（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：D略4.已知二面角α-l-β為

，動點P、Q分別在面α、β內(nèi)，P到β的距離為，Q到α的距離為，則P、Q兩點之間距離的最小值為

（

）A、2

B、2

C、

D、4

參考答案：C略5.設(shè)集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|-2x-3≤0},則A∩（CRB）=（

）A．(1,4)

B．(3,4)

C．(1,3)

D．(1,2)∪（3,4）參考答案：B6.運行以下程序框圖，若輸入的，則輸出的y的范圍是（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，0] C．[0，1] D．（0，1]參考答案：C【考點】程序框圖．【分析】根據(jù)x的范圍，分別求出對于的y=cosx和y=sinx的范圍，取補集即可．【解答】解：x∈[﹣，0]時，y=cosx，故y=cosx∈[0，1]，x∈（0，]，y=sinx，故y=sinx∈（0，1]，故選：C．7.已知R上可導(dǎo)函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，則不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集為（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）參考答案：D【考點】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．【分析】根據(jù)題意結(jié)合圖象求出f′（x）＞0的解集與f′（x）＜0的解集，因此對原不等式進行化簡與轉(zhuǎn)化，進而得到原不等式的答案．【解答】解：由圖象可得：當f′（x）＞0時，函數(shù)f（x）是增函數(shù)，所以f′（x）＞0的解集為（﹣∞，﹣1），（1，+∞），當f′（x）＜0時，函數(shù)f（x）是減函數(shù)，所以f′（x）＜0的解集為（﹣1，1）．所以不等式f′（x）＜0即與不等式（x﹣1）（x+1）＜0的解集相等．由題意可得：不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0等價于不等式（x﹣3）（x+1）（x+1）（x﹣1）＞0，所以原不等式的解集為（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞），故選D．8.若動點A，B分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移動，則AB的中點M到原點的距離的最小值為()A．3

B．2

C．3

D．4參考答案：A9.將最小正周期為3π的函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ）﹣sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的圖象向左平移個單位，得到偶函數(shù)圖象，則滿足題意的φ的一個可能值為（）A． B．﹣ C．﹣ D．參考答案：B【考點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】由周期求得ω，可得函數(shù)f（x）的解析式，再根據(jù)函數(shù)y=Acos（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論．【解答】解：由于函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ）﹣sin（ωx+φ）=cos（ωx+φ+）的最小正周期為3π=，求得ω=，∴函數(shù)f（x）=cos（x+φ+）．再把f（x）的圖象向左平移個單位，得到偶函數(shù)y=cos[（x+）+φ+]=cos（x++φ）圖象，則滿足題意的φ的一個可能值為﹣，故選：B．10.若兩個非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，則向量a＋b與a－b的夾角是()A．

B．

C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若實數(shù)滿足，則的最小值為__________________.參考答案：-6略12.消去未知數(shù)“”，化（為已知常數(shù)）為只有“”的一元二次方程為

．參考答案：13.下面的圖是求實數(shù)x的絕對值的算法程序框圖，則判斷框①中可填

參考答案：略14.（5分）已知cosx﹣sinx=，則sin2x的值為．參考答案：∵cosx﹣sinx=，∴兩邊平方，可得1﹣sin2x=∴sin2x=故答案為15.命題“當c＞0時，若a＞b，則ac＞bc.”的逆命題是

．參考答案：當時，若，則

13.若函數(shù)，則=

參考答案：略17.在△ABC中，∠A=60°，點M為邊AC的中點，BM=，則AB+AC的最大值為．參考答案：【考點】HQ：正弦定理的應(yīng)用．【分析】依題意，利用正弦定理可求得△ABM的外接圓直徑，從而可用角表示出AB，AC，利用三角函數(shù)間的關(guān)系式即可求得AB+AC的最大值．【解答】解：∵在△ABC中，∠A=60°，點M為邊AC的中點，BM=，∴在△ABM中，設(shè)∠AMB=θ，則∠ABM=120°﹣θ，0＜θ＜120°，由正弦定理得：====4，∴|AB|=4sinθ，|AM|=4sin（120°﹣θ），又點M為邊AC的中點，∴|AC|=2|AM|=8sin（120°﹣θ），∴|AB|+|AC|=4sinθ+8sin（120°﹣θ）=4sinθ+8×cosθ﹣8×（﹣）sinθ=8sinθ+4cosθ=4sin（θ+φ），（其中tanφ=）．∴當sin（θ+φ）=1時，|AB|+|AC|取得最大值．∴|AB|+|AC|的最大值為4．故答案為：4．【點評】本題考查正弦定理的應(yīng)用，考查三角函數(shù)間的關(guān)系式及輔助角公式的應(yīng)用，能用三角關(guān)系式表示出AB+AC是關(guān)鍵，也是難點，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在中，若（1）求角的大?。?）若，，求的面積

參考答案：解：（1）由余弦定理得化簡得：∴∴B＝120°…6分（2）∴∴ac＝3∴…………………6分

19.已知A，B是拋物線y2=4x上的不同兩點，弦AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸交于點P．（Ⅰ）若直線AB經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點，求A，B兩點的縱坐標之積；（Ⅱ）若點P的坐標為（4，0），弦AB的長度是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【專題】直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（Ⅰ）求出拋物線的焦點，設(shè)直線AB方程為y=k（x﹣1），聯(lián)立拋物線方程，消去x，可得y的方程，運用韋達定理，即可求得A，B兩點的縱坐標之積；（Ⅱ）設(shè)AB：y=kx+b（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立直線和拋物線方程，消去y，可得x的方程，運用韋達定理和中點坐標公式，以及弦長公式，化簡整理，再由二次函數(shù)的最值，即可求得弦長的最大值．【解答】解：（Ⅰ）拋物線y2=4x的焦點為F（1，0），依題意，設(shè)直線AB方程為y=k（x﹣1），其中k≠0．將代入直線方程，得，整理得ky2﹣4y﹣4k=0，所以yAyB=﹣4，即A，B兩點的縱坐標之積為﹣4．（Ⅱ）設(shè)AB：y=kx+b（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．由得k2x2+（2kb﹣4）x+b2=0．由△=4k2b2+16﹣16kb﹣4k2b2=16﹣16kb＞0，得kb＜1．所以，．設(shè)AB中點坐標為（x0，y0），則，，所以弦AB的垂直平分線方程為，令y=0，得．由已知，即2k2=2﹣kb．====，當，即時，|AB|的最大值為6．當時，；當時，．均符合題意．所以弦AB的長度存在最大值，其最大值為6．【點評】本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查拋物線的方程的運用，考查直線和拋物線方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運用韋達定理和弦長公式，結(jié)合二次函數(shù)的最值求法，屬于中檔題．20.如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥面ABCD，E為PD的中點，AP=1，AD=．（I）證明：PB∥平面AEC；（II）求二面角P﹣CD﹣B的大?。唬á螅┰O(shè)三棱錐P﹣ABD的體積V=，求A到平面PBC的距離．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）連接AC、BD相交于G，連接EG．由三角形中位線定理可得EG∥PB，再由線面平行的判定得PB∥平面AEC；（II）由PA⊥面ABCD，可得平面PAD⊥平面ABCD，結(jié)合CD⊥AD，得CD⊥面PAD，則∠PDA是二面角P﹣CD﹣B的平面角，求解直角三角形得答案；（Ⅲ）由已知求得AB，再由等積法求得A到平面PBC的距離．【解答】（I）證明：連接AC、BD相交于G，連接EG．∵E為PD的中點，∴EG∥PB，又EG?平面AEC，PB?平面AEC，∴PB∥平面AEC；（II）解：∵PA⊥面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，又CD⊥AD，∴CD⊥面PAD，則∠PDA是二面角P﹣CD﹣B的平面角，在Rt△PAD中，∵AP=1，AD=，∴tan∠PDA=，則∠PDA=30°；（Ⅲ）解：∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥BC，則PA是三棱錐P﹣ABD的高，設(shè)AB=x，A到平面PBC的距離為h，∵，∴．由VP﹣ABC=VA﹣PBC，得，解得h=．21.已知集合，（I），求實數(shù)的取值范圍；（II）且，求實數(shù)的取值范圍.參考答案：略22.已知函數(shù)f（x）=ex﹣ax，（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）若對任意實數(shù)x恒有f（x）≥0，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a得到范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）由f（x）=ex﹣ax﹣a，f'（x）=ex﹣a，從而化恒成立問題為最值問題，討論求實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=ex﹣ax，f′（x）=ex﹣a，當a≤0時，f′（x）＞0，則f（x）在R上單調(diào)遞增；當a＞0時，令f′（x）=ex﹣a=0，得x=lna，則在（﹣∞，lna]上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增；（Ⅱ）由f（x）=ex﹣ax，f'（x）=ex﹣a，若a＜0，則f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，當x趨近于負無窮大時，f（x）趨近于負無窮大；當x趨近于正無窮大時，f（x）趨近于正無窮大，故a＜0不滿足條件．若a=0，