廣東省東莞市可園中學高二數(shù)學文期末試題含解析

廣東省東莞市可園中學高二數(shù)學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若存在直線l與曲線C1和曲線C2都相切,則稱曲線C1和曲線C2為“相關曲線”，有下列四個命題：①有且只有兩條直線l使得曲線和曲線為“相關曲線”；②曲線和曲線是“相關曲線”；③當時，曲線和曲線一定不是“相關曲線”；④必存在正數(shù)a使得曲線和曲線為“相關曲線”.其中正確命題的個數(shù)為（

）A.1 B.2 C.3 D.4參考答案：B【分析】①判斷兩圓相交即可；②判斷兩雙曲線是共軛雙曲線即可；③判斷兩曲線可能相切即可；；④假設直線與曲線和曲線都相切，切點分別為，根據(jù)公切線重合，判斷方程有實數(shù)解即可.【詳解】①圓心，半徑，圓心，半徑，，因為，所以曲線與曲線有兩條公切線，所以①正確；②曲線和曲線是“相關曲線”是共軛雙曲線（一部分），沒有公切線，②錯誤；③由，消去，得：，即，令得：，當時，曲線與曲線相切，所以存在直線與曲線與曲線都相切，所以③錯誤；④假設直線與曲線和曲線都相切，切點分別為和，，，所以分別以和為切點的切線方程為，，由得：，令，則，令，得：（舍去）或，當時，，當時，，所以，所以方程有實數(shù)解，所以存在直線與曲線和曲線都相切，所以④正確．所以正確命題的個數(shù)是，故選B．【點睛】新定義題型的特點是：通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達到靈活解題的目的.遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決.2.過兩點和的直線在軸上的截距為

A.

B.

3

C.

D.參考答案：D3.已知集合，，則中元素的個數(shù)是(

)A、1

B、2

C、3

D、4參考答案：C略4.函數(shù)的圖象大致為（

）A. B.C. D.參考答案：C由函數(shù)的解析式，當時,是函數(shù)的一個零點,屬于排除A,B,當x∈(0,1)時，cosx>0，,函數(shù)f(x)<0，函數(shù)的圖象在x軸下方，排除D.本題選擇C選項.點睛：函數(shù)圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調性，判斷圖象的變化趨勢．(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性．(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項．5.從某高中隨機選取5名高三男生，其身高和體重的數(shù)據(jù)如下表所示：身高x（cm）160165170175180體重y（kg）6366707274根據(jù)上表可得回歸直線方程=0.56x+，據(jù)此模型預報身高為172cm的高三男生的體重為（）A．70.09kg B．70.12kg C．70.55kg D．71.05kg參考答案：B【考點】回歸分析的初步應用．【分析】根據(jù)所給的表格做出本組數(shù)據(jù)的樣本中心點，根據(jù)樣本中心點在線性回歸直線上，利用待定系數(shù)法做出的值，現(xiàn)在方程是一個確定的方程，根據(jù)所給的x的值，代入線性回歸方程，預報身高為172cm的高三男生的體重【解答】解：由表中數(shù)據(jù)可得==170，==69∵（，）一定在回歸直線方程=0.56x+上故69=0.56×170+解得=﹣26.2故=0.56x﹣26.2當x=172時，=0.56×172﹣26.2=70.12故選B．6.如果復數(shù)在復平面內的對應點在第二象限，則

參考答案：D略7.已知中，，，，那么角等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C8.若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】橢圓的應用；數(shù)列的應用．【專題】圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】先設長軸為2a，短軸為2b，焦距為2c，由題意可知：a+c=2b，由此可以導出該橢圓的離心率．【解答】解：設長軸為2a，短軸為2b，焦距為2c，則2a+2c=2×2b，即a+c=2b?（a+c）2=4b2=4（a2﹣c2），所以3a2﹣5c2=2ac，同除a2，整理得5e2+2e﹣3=0，∴或e=﹣1（舍去），故選B．【點評】本題考查等差數(shù)列和橢圓的離心率，難度不大，只需細心運算就行．9.從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對，其中所成的角為的共有（

）A.60對

B.48對

C.30對

D.24對

參考答案：B10.已知：a>b>c,且a+b+c=0,則（

）A．a(chǎn)b>bc

B．a(chǎn)c>bc

C．a(chǎn)b>ac

D．a(chǎn)│b│>c│b│參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在我國明代數(shù)學家吳敬所著的《九章算術比類大全》中，有一道數(shù)學名題叫“寶塔裝燈”，內容為“遠望巍巍塔七層，紅燈點點倍加增；共燈三百八十一，請問頂層幾盞燈？”（“倍加增”指燈的數(shù)量從塔的頂層到底層按公比為2的等比數(shù)列遞增）．根據(jù)此詩，可以得出塔的頂層和底層共有

盞燈．參考答案：195【考點】等比數(shù)列的前n項和．【分析】由題意可知燈的盞燈的數(shù)量從塔的頂層到底層構成等比數(shù)列，且公比為2，然后由等比數(shù)列的前7項和等于381列式計算即可．【解答】解：由題意可知燈的盞燈的數(shù)量從塔的頂層到底層構成等比數(shù)列，且公比為2，設塔的頂層燈的盞燈為x，則x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381，解得x=3，可以得出塔的頂層和底層共有x+64x=195盞燈．故答案為：195．12.=

；參考答案：13.如圖所示，輸出的值為

．參考答案：14.現(xiàn)有10個數(shù)，它們能構成一個以1為首項，-3為公比的等比數(shù)列，若從這10個數(shù)中隨機抽取一個數(shù)，則它小于18的概率是___________參考答案：略15.下列說法：①函數(shù)f（x）=lnx+3x﹣6的零點只有1個且屬于區(qū)間（1，2）；②若關于x的不等式ax2+2ax+1＞0恒成立，則a∈（0，1）；③函數(shù)y=x的圖象與函數(shù)y=sinx的圖象有3個不同的交點；④已知函數(shù)f（x）=log2為奇函數(shù)，則實數(shù)a的值為1．正確的有

．（請將你認為正確的說法的序號都寫上）．參考答案：①④【考點】命題的真假判斷與應用．【專題】函數(shù)的性質及應用；簡易邏輯．【分析】對于①：結合函數(shù)的單調性，利用零點存在性定理判斷；對于②：分a=0和a≠0進行討論，a≠0時結合二次函數(shù)的圖象求解；對于③：結合圖象及導數(shù)進行判斷；對于④：利用奇函數(shù)定義式，f（﹣x）+f（x）=0恒成立求a，注意定義域．【解答】解：對于①：函數(shù)f（x）=lnx+3x﹣6[m，n]在（0，+∞）上是增函數(shù)，且f（1）=ln1+3×1﹣6=﹣3＜0，f（2）=ln2+3×2﹣6=ln2＞0．所以①正確；對于②：當a=0時原不等式變形為1＞0，恒成立；當a≠0時，要使關于x的不等式ax2+2ax+1＞0恒成立，則a＞0且△=（2a）2﹣4a×1＜0?0＜a＜1，綜上可得a的范圍是[0，1），故②不正確；對于③：令函數(shù)y=x﹣sinx，則y′=1﹣cosx，所以該函數(shù)在[0，+∞）上是增函數(shù)，且x=0時最小，且該函數(shù)是奇函數(shù)，所以函數(shù)y=x﹣sinx只有x=0一個零點，即函數(shù)y=x的圖象與函數(shù)y=sinx的圖象只有一個交點，故③不正確；④由奇函數(shù)得：，，a2=1，因為a≠﹣1，所以a=1．故④正確．故答案為：①④．【點評】該題目考查了函數(shù)的奇偶性的定義、零點定理、等基礎知識，在應用過程中要注意準確把握定理應用的要素與條件，切不可想當然．16.一段細繩長10cm，把它拉直后隨機剪成兩段，則兩段長度都超過4的概率為

．參考答案：

17.已知是雙曲線（）的左焦點,以坐標原點為圓心,為半徑的圓與曲線在第一、三象限的交點分別為,,且的斜率為,則的離心率為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立坐標系，兩個坐標系取相同的單位長度．已知直線l的參數(shù)方程為，曲線C的極坐標方程為（1）求曲線C的直角坐標方程（2）設直線l與曲線C相交于A，B兩點，時，求的值．參考答案：（1）y2＝4x；（2）45°或135°.【分析】（1）由曲線C的極坐標方程為ρsin2θ＝4cosθ，兩邊同乘ρ結合，即可；（2）由直線的參數(shù)方程觀察得直線過定點(1,0)，用點斜式設直線方程聯(lián)立曲線C方程，用弦長公式求出弦長，列方程求出直線斜率，然后解出.【詳解】（1）∵曲線C的極坐標方程為ρsin2θ＝4cosθ，∴ρ2sin2θ＝4ρcosθ，∵ρsinθ＝y(tǒng)，ρcosθ＝x，∴曲線C的直角坐標方程為y2＝4x．（2）∵直線l的參數(shù)方程為參數(shù)，0＜a＜π），∴tanα＝，直線過（1，0），設l的方程為y＝k（x﹣1），代入曲線C：y2＝4x，消去y，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，設A（x1，y1），B（x2，y2），則，x1x2＝1，∵|AB|＝8．∴＝8，解得k＝±1，當k＝1時，α＝45°；當k＝﹣1時，α＝135°．∴α的值為45°或135°．【點睛】本題考查了拋物線的極坐標方程，直線的參數(shù)方程，直線與拋物線的位置關系，對于極坐標系和參數(shù)方程不是很熟悉的同學建議都將其轉化為平面直角坐標系中的普通方程進行解決.19.（本小題滿分12分）已知實數(shù)滿足,求證：參考答案：證法一：消b,化為a的二次函數(shù),由，得代入左邊得：

……2分左邊

……5分

……8分

……12分其它證法酌情給分，證法參考兩例：證法二：（放縮法）∵,∴左邊＝＝右邊證法三：（均值換元法）∵，所以可設，，∴左邊＝＝右邊，當且僅當t=0時，等號成立.略20.在程序語言中，下列符號分別表示什么運算

*；＼；∧；SQR（）；ABS（）？參考答案：乘、除、乘方、求平方根、絕對值21.（本小題滿分13分）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是矩形，側面PAB是正三角形，且平面PAB平面ABCD，E是PA的中點，AC與BD的交點為M.（1）求證：PC//平面EBD；（2）求證：平面BED平面AED；參考答案：（1）證明：連結，-----------------------2分∵四邊形ABCD是矩形，∴為的中點．----------------------------3分∵E是的中點，∴是三角形的中位線，-----------------4分∴∥．------------------------------------------------------------------5分22.已知{an}是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d，對任意的n∈N+，bn是an和an+1的等比中項．（1）設cn=bn+12﹣bn2，n∈N+，求證：數(shù)列{cn}是等差數(shù)列；（2）設a1=d，Tn=（﹣1）kbk2，n∈N*，求證：＜．參考答案：【考點】數(shù)列與不等式的綜合；等差關系的確定．【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質，建立方程關系，根據(jù)條件求出數(shù)列{cn}的通項公式，結合等差數(shù)列的定義進行證明即可．（2）求出Tn=（﹣1）kbk2的表達式，