廣東省東莞市市長(zhǎng)安中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

廣東省東莞市市長(zhǎng)安中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B2.已知函數(shù)，，當(dāng)x=a時(shí)，取得最小值b，則函數(shù)的圖象為參考答案：B3.定義在R上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則的值是A．

B．0

C．1

D．2參考答案：B4.函數(shù)f(x)＝ln(4＋3x－x2)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A.

B.

C.

D.參考答案：A5.已知橢圓（a1＞b1＞0）的離心率為，雙曲線（a2＞0，b2＞0）與橢圓有相同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，M是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，若∠F1MF2=60°，則雙曲線的漸進(jìn)線方程為（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x參考答案：A【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由題意設(shè)焦距為2c，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a1，雙曲線實(shí)軸為2a2，令M在雙曲線的右支上，由已知條件結(jié)合雙曲線和橢圓的定義，以及余弦定理，離心率公式，得到a1，a2與c的關(guān)系，即可得到雙曲線的漸近線方程．【解答】解：由題意設(shè)焦距為2c，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a1，雙曲線實(shí)軸為2a2，令M在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義|MF1|﹣|MF2|=2a2，①由橢圓定義|MF1|+|MF2|=2a1，②又∵∠F1MF2=60°，∴|MF1|2+|MF2|2﹣2|MF1|?|MF2|cos60°=4c2，③由①②得，|MF1|=a1+a2，|MF2|=a1﹣a2，代入③，得2（a12+a22）﹣（a12﹣a22）=4c2，即a12+3a22=4c2，由，則2c2=a12，a22=c2，即有b22=c2﹣a22=c2，則漸近線方程為y=±x，即為y=±x．故選A．6.已知m，n是兩條不同的直線，為平面，則下列命題正確的是

(A)

(B)

(C)

(D)若m與相交，n與相交，則m,n一定不相交參考答案：C7.閱讀右邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出的值為

A．3

B．4

C．5

D．6參考答案：B：本題考查了對(duì)循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖的識(shí)圖能力，難度較小。由程序框圖可知：

；；，此時(shí)輸出，故選B。8.已知集合A={﹣1，1，3}，B={1，3，5}，則A∪B=（） A．{﹣1，1，3，5} B．{1，3} C．{﹣1，5} D．{﹣1，1，1，3，3，5}參考答案：A略9.已知等差數(shù)列，公差，，則(

)A.3 B.1 C.－1 D.2參考答案：C由得，則，由得，故選C．10.執(zhí)行如圖的程序框圖后，輸出的S=27，則判斷框內(nèi)的條件應(yīng)為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)f（x）=，若關(guān)于P的方程f[f（x）]+m=0恰有兩個(gè)不等實(shí)根x1、x2，則x1+x2的最小值為．參考答案：1﹣ln2【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．【分析】可判斷f（x）＜0恒成立；從而化簡(jiǎn)方程為f（x）=﹣lnm，從而作圖輔助，可知存在實(shí)數(shù)a（a≤﹣1），使﹣2x1=a=﹣，從而可得x1+x2=﹣﹣ln（﹣a），再構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，從而確定最值．【解答】解：∵f（x）=，∴f（x）＜0恒成立；∴f[f（x）]=﹣e﹣f（x），∵f[f（x）]+m=0，∴﹣e﹣f（x）+m=0，即f（x）=﹣lnm；作函數(shù)f（x）=，y=﹣lnm的圖象如下，，結(jié)合圖象可知，存在實(shí)數(shù)a（a≤﹣1），使﹣2x1=a=﹣，故x1+x2=﹣﹣ln（﹣a），令g（a）=﹣﹣ln（﹣a），則g′（a）=﹣，故當(dāng)a=﹣2時(shí)，x1+x2有最大值1﹣ln2；故答案為：1﹣ln2．12.若關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式的解集為A，則A為________參考答案：13.若目標(biāo)函數(shù)在約束條件下僅在點(diǎn)處取得最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

.參考答案：略14.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面為直角三角形。∠ACB=900，AC=6，BC=CC1=，P是BC1上一動(dòng)點(diǎn)，則CP+PA1的最小值為___________參考答案：515.函數(shù)y=tan2x在x＝處的切線方程為

(結(jié)果寫成直線方程的一般式)參考答案：答案:

16.從中任取四個(gè)數(shù)，使其和為偶數(shù)的取法共有_________種（用數(shù)字作答）.

參考答案：答案：6617.下列幾個(gè)命題：①方程x2+（a﹣3）x+a=0若有一個(gè)正實(shí)根和一個(gè)負(fù)實(shí)根，則a＜0；②函數(shù)y=+是偶函數(shù)也是奇函數(shù)；③函數(shù)f（x）的值域是[﹣2，2]，則函數(shù)f（x+1）的值域?yàn)閇﹣3，1]；④一條曲線y=|3﹣x2|和直線y=a（a∈R）的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是m，則m的值可能是1．其中錯(cuò)誤的有．參考答案：③④【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】由韋達(dá)定理，可判斷①；根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，可判斷②；根據(jù)左右平移變換不改變函數(shù)的值域，可判斷③；分析曲線y=|3﹣x2|和直線y=a（a∈R）的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，可判斷④【解答】解：①方程x2+（a﹣3）x+a=0若有一個(gè)正實(shí)根和一個(gè)負(fù)實(shí)根，則兩根之積為負(fù)，即a＜0，故正確；②函數(shù)y=+=0，x∈{﹣1，1}，即是偶函數(shù)也是奇函數(shù)，故正確；③函數(shù)f（x）的值域是[﹣2，2]，則函數(shù)f（x+1）的值域也為[﹣2，2]，故錯(cuò)誤；④一條曲線y=|3﹣x2|和直線y=a（a∈R）的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是m，則m的值可能是2，3，4，不可能是1，故錯(cuò)誤；故答案為：③④．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，點(diǎn)B是橢圓C的上頂點(diǎn)，點(diǎn)Q在橢圓C上（異于B點(diǎn)）．（Ⅰ）若橢圓V過點(diǎn)（﹣，），求橢圓C的方程；（Ⅱ）若直線l：y=kx+b與橢圓C交于B、P兩點(diǎn)，若以PQ為直徑的圓過點(diǎn)B，證明：存在k∈R，=．參考答案：【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（Ⅰ）由橢圓的離心率公式求得a和b的關(guān)系，將（﹣，）代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（Ⅱ）將直線方程代入橢圓方程，求得P的橫坐標(biāo)，求得丨BP丨，利用直線垂直的斜率關(guān)系求得丨BQ丨，由=，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判斷即可存在k∈R，=．【解答】解：（Ⅰ）橢圓的離心率e===，則a2=2b2，將點(diǎn)（﹣，）代入橢圓方程，解得：a2=4，b2=2，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，（Ⅱ）由題意的對(duì)稱性可知：設(shè)存在存在k＞0，使得=，由a2=2b2，橢圓方程為：，將直線方程代入橢圓方程，整理得：（1+2k2）x2+4kbx=0，解得：xP=﹣，則丨BP丨=×，由BP⊥BQ，則丨BQ丨=×丨丨=?，由=．，則2×=?，整理得：2k3﹣2k2+4k﹣1=0，設(shè)f（x）=2k3﹣2k2+4k﹣1，由f（）＜0，f（）＞0，∴函數(shù)f（x）存在零點(diǎn)，∴存在k∈R，=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓的離心率，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長(zhǎng)公式，考查函數(shù)零點(diǎn)的判斷，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．19.(本小題滿分14分)

已知數(shù)列{an}滿足：

(I)求證:；(II)求證:；(III)

求證:．

參考答案：20.（本小題滿分12分）由世界自然基金會(huì)發(fā)起的“地球1小時(shí)”活動(dòng)，已發(fā)展成為最有影響力的環(huán)保活動(dòng)之一，今年的參與人數(shù)再創(chuàng)新高.然而也有部分公眾對(duì)該活動(dòng)的實(shí)際效果與負(fù)面影響提出了疑問.對(duì)此，某新聞媒體進(jìn)行了網(wǎng)上調(diào)查，所有參與調(diào)查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”態(tài)度的人數(shù)如下表所示：

支持保留不支持20歲以下80045020020歲以上（含20歲）100150300（Ⅰ）在所有參與調(diào)查的人中，用分層抽樣的方法抽取個(gè)人，已知從“支持”態(tài)度的人中抽取了45人，求的值；（Ⅱ）所有參與調(diào)查的人中，完成下面列聯(lián)表，并由表中數(shù)據(jù)分析，能否認(rèn)為持“支持”態(tài)度與“20歲以下”有關(guān)？（Ⅲ）在接受調(diào)查的人中，有8人給這項(xiàng)活動(dòng)打出的分?jǐn)?shù)如下:9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2.把這8個(gè)人打出的分?jǐn)?shù)看作一個(gè)總體，從中任取個(gè)數(shù)，求該數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對(duì)值超過0.6的概率.

持支持態(tài)度不持支持態(tài)度合計(jì)20歲以下

20歲以上（含20歲）

合計(jì)

參考答案：（Ⅰ）由題意得，……………2分所以.

……………3分（Ⅱ）

持支持態(tài)度不持支持態(tài)度合計(jì)20歲以下800650145020歲以上（含20歲）100450550合計(jì)90011002000………6分法一：由表中可知，遠(yuǎn)大于，所以持“支持”態(tài)度與“20歲以下”有關(guān)．法二：計(jì)算所以持“支持”態(tài)度與“20歲以下”有關(guān)．………8分（Ⅲ）總體的平均數(shù)為，………9分那么與總體平均數(shù)之差的絕對(duì)值超過0.6的數(shù)只有8.2，

……………11分所以該數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對(duì)值超過0.6的概率為.

……………12分21.已知橢圓兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為,，且經(jīng)過點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）已知點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)．若△是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，試求直線的方程．參考答案：（Ⅰ）設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為．依題意，所以．又，所以．于是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

………………

5分（Ⅱ）依題意，顯然直線斜率存在.設(shè)直線的方程為，則由得．因?yàn)?得．

………………①設(shè)，線段中點(diǎn)為，則于是．因?yàn)?，線段中點(diǎn)為，所以．（1）當(dāng)，即且時(shí)，，整理得．

………………②因?yàn)椋?，所以，整理得，解得或．?dāng)時(shí)，由②不合題意舍去.由①②知，時(shí)，．（2）當(dāng)時(shí)，（?。┤魰r(shí)，直線的方程為，代入橢圓方程中得.設(shè)，,依題意，若△為等腰直角三角形，則.即，解得或.不合題意舍去，即此時(shí)直線的方程為.（ⅱ）若且時(shí)，即直線過原點(diǎn).依橢圓的對(duì)稱性有,則依題意不能有,即此時(shí)不滿足△為等腰直角三角形.綜上，直線的方程為或或.………………14分22.設(shè)函數(shù)f（x）=x2﹣bx+alnx．（Ⅰ）若曲線f（x）在點(diǎn)（1，）處的切線平行于x軸，求f（x）；（Ⅱ）f（x）存在極大值點(diǎn)x0，且a＜e2（其中e=2.71828…），求證：f（x0）＜0．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（I）令f（1）=，f′（1）=0即可解出a，b，得出f（x）的解析式；（II）根據(jù)f（x）有極大值點(diǎn)可得f（x）也有極小值點(diǎn)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)列出不等式組得出a，b的范圍和關(guān)系，求出x0的范圍，化簡(jiǎn)得f（x0）=﹣x02+alnx0﹣a，求出右側(cè)函數(shù)在x0的范圍內(nèi)恒小于0即可．【解答】解：（I）f′（x）=x﹣b+，∵曲線f（x）在點(diǎn)（1，）處的切線平行于x軸，∴，即，解得a=﹣2，b=﹣1．∴f（x）=x2+x﹣2lnx．（II）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．令f′（x）=x﹣b+=0得x2﹣bx+a=0，∵f（x）存在極大值點(diǎn)x0，且x→+∞時(shí)，f′（x）→+∞，∴f（x）存在極小值點(diǎn)x1，∴x2﹣bx+a=0有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根x0，x1，∴，∴a＞0，b＞0，b＞2．∵x0是f（x）的極大值點(diǎn)，∴f′（