材料力學 第七章

7彎曲應力回顧與比較內(nèi)力應力公式及分布規(guī)律FAyFSM均勻分布線形分布一、純彎曲梁段CD上，只有彎矩，沒有剪力梁段AC和BD上，既有彎矩，又有剪力§7-1梁彎曲時的正應力－－純彎曲－－橫力彎曲FsMFaFaFF1、變形幾何關系2、物理關系3、靜力學關系純彎曲的內(nèi)力剪力Fs=0橫截面上沒有切應力只有正應力。彎曲正應力的分布規(guī)律和計算公式二、彎曲時的正應力變形與應變觀察在豎直平面內(nèi)發(fā)生純彎曲的梁，研究其表面變形情況<1>.彎曲前畫在梁的側面上相鄰橫向線mm和nn間的縱向直線段aa和bb，在梁彎曲后成為弧線，靠近梁的頂面的線段aa縮短，而靠近梁的底面的線段bb則伸長；<2>.相鄰橫向線mm和nn，在梁彎曲后仍為直線，只是相對旋轉了一個角度，且與弧線aa和bb保持正交。

根據(jù)表面變形情況，并設想梁的側面上的橫向線mm和nn是梁的橫截面與側表面的交線，可作出如下推論(假設)：平面假設

梁在純彎曲時，其原來的橫截面仍保持為平面，只是繞垂直于彎曲平面(縱向平面)的某一軸轉動，轉動后的橫截面與梁彎曲后的軸線保持正交。此假設已為彈性力學的理論分析結果所證實。

橫截面的轉動使梁凹入一側的縱向線縮短，凸出一側的縱向線伸長，從而根據(jù)變形的連續(xù)性可知，中間必有一層縱向線只彎曲而無長度改變的中性層

(圖f)，而中性層與橫截面的交線就是梁彎曲時橫截面繞著它轉動的軸━━中性軸

(neutralaxis)。（f)線應變的變化規(guī)律與纖維到中性層的距離成正比。從橫截面上看：點離開中性軸越遠，該點的線應變越大。1、變形幾何關系2、物理關系虎克定律彎曲正應力的分布規(guī)律a、與點到中性軸的距離成正比；c、正彎矩作用下，上壓下拉；當σ<σP時沿截面高度線性分布；b、沿截面寬度zy均勻分布；d、危險點的位置，離開中性軸最遠處.3、靜力學關系

中性軸過截面形心坐標軸是主軸中性層的曲率計算公式EIz抗彎剛度4、彎曲正應力計算公式變形幾何關系物理關系靜力學關系正應力公式5、橫截面上最大彎曲正應力——截面的抗彎截面系數(shù)；。反映了截面的幾何形狀、尺寸對強度的影響最大彎曲正應力計算公式適用條件截面關于中性軸對稱。6、常見圖形的慣性矩及抗彎截面系數(shù)：zbhzddzD三、橫力彎曲xFsxMFFFL橫截面上內(nèi)力剪力+彎矩橫截面上的應力既有正應力，又有切應力彈性力學精確分析表明：橫力彎曲最大正應力四橫力彎曲正應力對于跨度L與橫截面高度h之比L/h>>5的細長梁，用純彎曲正應力公式計算橫力彎曲正應力，誤差<<2%滿足工程中所需要的精度。彎曲正應力公式適用范圍彎曲正應力公式1、純彎曲或細長梁的橫力彎曲;2、橫截面慣性積IYZ=0;3、彈性變形階段;

推導彎曲正應力計算公式的方法總結（1）理想模型法：純彎曲（剪力為零，彎矩為常數(shù)）（2）“實驗—觀察—假設”：梁彎曲假設（3）外力內(nèi)力變形幾何關系物理關系靜力學關系（4）三關系法積分應力合成內(nèi)力橫力彎曲應力法（5）數(shù)學方法注意（1）計算正應力時，必須清楚所求的是哪個截面上的應力，（3）特別注意正應力沿高度呈線性分布；從而確定該截面上的彎矩及該截面對中性軸的慣性矩；（2）必須清楚所求的是該截面上哪一點的正應力，（4）中性軸上正應力為零，并確定該點到中性軸的距離，而在梁的上下邊緣處分別是最大拉應力和最大壓應力。以及該點處應力的符號（6）熟記矩形、圓形截面對中性軸的慣性矩的計算式。（5）梁在中性軸的兩側分別受拉或受壓;注意正應力的正負號（拉或壓）可根據(jù)彎矩的正負及梁的變形狀態(tài)來確定。作彎矩圖，尋找最大彎矩的截面分析：非對稱截面，例1T型截面鑄鐵梁，截面尺寸如圖。求最大拉應力、最大壓應力。計算最大拉應力、最大壓應力zc52889KN1m1m4KN1mACB要尋找中性軸位置；（2）計算應力：（1）求支反力，作彎矩圖B截面應力分布9KN1m1m4KN1mACBFAFBFA=2.5KN2.5KNm4KNmM應用公式zc5288（3）結論C截面應力計算2.5KNm4KNmM9KN1m1m1mACBFAFB4KNC截面應力分布應用公式zc528830zy180120K1、C截面上K點正應力2、C截面上最大正應力3、全梁上最大正應力4、已知E=200GPa，C截面的曲率半徑ρ例2：矩形截面簡支梁承受均布載荷作用,如圖所示1m3mq=60KN/mACB1、截面幾何性質計算確定形心主軸的位置z確定中性軸的位置180120確定形心的位置FAYFBYq=60KN/m1m3mACB2.求支反力（壓應力）3、C截面上K點正應力30zy180120K4、C截面上最大正應力彎矩公式MxFSx作內(nèi)力圖FAYFBYq=60KN/m1m3mACB90kN90kN5、全梁上最大正應力危險截面公式FAYFBYq=60KN/m1m3mACB6、已知E=200GPa，C截面的曲率半徑ρ彎曲正應力的分布規(guī)律危險點：距離中性軸最遠處；分別發(fā)生最大拉應力與最大壓應力；§7-2梁彎曲時的正應力強度計算M1、塑性材料抗拉壓強度相等無論內(nèi)力圖如何梁內(nèi)最大應力其強度條件為通常將梁做成矩形、圓形、工字形等對稱于中性軸的截面；此類截面的最大拉應力與最大壓應力相等。因此：強度條件可以表示為無論截面形狀如何，a但對于塑性材料，b2.離中性軸最遠處。要綜合考慮彎矩M與截面形狀Iz1.彎矩的絕對值最大的截面上；塑性材料c、塑性材料制成的變截面梁總之，梁內(nèi)最大應力發(fā)生在：3.強度條件為2、脆性材料抗拉壓強度不等。內(nèi)力圖形狀有關。梁內(nèi)最大拉應力與最大壓應力分別發(fā)生在最大應力通常與截面形狀，通常將梁做成T形、倒T形等關于中性軸不對稱的截面。離中性軸最遠的最上邊緣與最下邊緣。由于脆性材料抗壓不抗拉，a脆性材料的最大應力與截面形狀有關MM或者①脆性材料梁的危險截面與危險點上壓下拉上拉下壓b脆性材料的最大應力與內(nèi)力圖有關危險截面只有一個。危險截面處分別校核：二個強度條件表達式M危險截面有二個；每一個截面的最上、最下邊緣均是危險點；②

脆性材料梁的危險截面與危險點各危險截面處分別校核：四個強度條件表達式彎曲正應力強度計算的三個方面1、強度校核2、設計截面3、確定許可載荷例1：圖示為機車輪軸的簡圖。試校核輪軸的強度。材料的許用應力分析（2）危險截面：（3）危險點截面關于中性軸對稱彎矩最大的截面抗彎截面系數(shù)最小的截面；危險截面的最上、下邊緣處。（1）輪軸為塑性材料,公式（1）計算簡圖（2）繪彎矩圖MFaFbFbB截面，C截面（3）危險截面（4）強度校核B截面：C截面：（5）結論MFaFbFb輪軸滿足強度條件例2：某車間欲安裝簡易吊車，大梁選用工字鋼。已知電葫蘆材料的許用應力起重量跨度試選擇工字鋼的型號。自重分析（2）確定危險截面（5）計算（6）計算，選擇工字鋼型號（3）截面為關于中性軸對稱（1）簡化為力學模型（4）應力計算公式FFF（1）計算簡圖（2）繪彎矩圖MFL/4（3）危險截面（4）強度計算（5）選擇工字鋼型號36c工字鋼F=F1+F2例3：T型截面鑄鐵梁，截面尺寸如圖示。試校核梁的強度。9KN1m1m4KN1mACB2080120205、作彎矩圖，確定危險截面6、確定危險點，進行強度校核分析：非對稱截面；確定形心主軸位置；1、脆性材料，2、尋找形心3、確定中性軸位置；4、計算圖形對中性軸的主慣性矩危險截面與內(nèi)力圖有關（2）求截面對中性軸z的慣性矩（1）求截面形心z152208012020yz（4）確定危險截面（3）求支反力，作彎矩圖B截面應力強度計算9KN1m1m4KN1mACBFAFBFA=2.5KN2.5KNm4KNmM應用公式zc5288（5）結論C截面強度計算應用公式zc52882.5KNm4KNmM9KN1m1m1mACBFAFB4KN滿足強度條件例4：一簡支梁受力如圖所示。已知，空心圓截面的內(nèi)外徑之比，試選擇截面直徑D；若外徑D增加一倍，比值不變，則載荷q可增加到多大？L=4mABq=0.5KN/m3、作彎矩圖，確定危險截面；分析：對稱截面；1、塑性材料，2、已知圖形對中性軸的主慣性矩5、公式4、確定危險點，進行強度校核L=4mABq=0.5KN/m1、求支座反力，并作彎矩圖FAFBFA=FB=ql/2M2、確定危險截面強度計算若外徑D增加一倍，不變例5：已知材料的，由M圖知：，試校核其強度。16281448單位：cm5、確定危險點，進行強度校核分析：非對稱截面；確定形心主軸位置；1、塑性材料，2、尋找形心3、確定中性軸位置；4、計算圖形對中性軸的主慣性矩6、公式（1）確定中性軸的位置（2）計算截面對形心主軸的慣性矩16281448單位：cmz'yz（4）正應力校核所以結構安全。問題：若材料為鑄鐵，截面這樣放置是否合理？28z'z§7-4梁彎曲時的剪應力橫力彎曲橫截面上內(nèi)力既有彎矩又有剪力；橫截面上應力既有正應力又有切應力。切應力分布規(guī)律和計算公式FAFBFA=FB=PFsMPPPaPPaaLCA觀察AC段內(nèi)力Fs=P=+常量+M線性規(guī)律上升距離中性軸為y的直線上點的切應力計算公式１、矩形截面梁切應力計算公式各項的物理意義1、Fs欲求切應力的點所在截面的剪力；2、Iz欲求切應力的點所在截面對中性軸的慣性矩；3、b欲求切應力的點處截面的寬度；4、Sz*橫截面上距離中性軸為y的橫線以外部分的面積A1對中性軸的靜矩。16281448208012020切應力分布規(guī)律切應力沿截面高度按拋物線規(guī)律變化。中性軸處最大正應力所在的點２、工字形截面梁切應力沿高度的分布規(guī)律τmax計算公式切應力危險點中性軸處最大切應力腹板上的切應力呈拋物線變化；腹板部分的切應力合力占總剪力的95~97%。工字形截面的翼緣翼緣部分的水平切應力沿翼緣寬度按直線規(guī)律變化；翼緣部分的切應力強度計算時一般不予考慮。并與腹板部分的豎向剪力形成“剪應力流”。T形截面梁切應力沿高度的分布規(guī)律計算公式中性軸處τmaxT形截面梁切應力流３、圓形截面梁切應力的分布規(guī)律（１）、邊緣上各點的切應力與圓周相切。AB不能假設總切應力與剪力同向；（２）、同一高度各點的切應力匯交于一點。中性軸處τmax（３）、豎直分量沿截面寬度均勻分布；圓形截面梁切應力沿高度的分布規(guī)律計算公式沿高度呈拋物線規(guī)律變化。max=2.0FsA４、圓環(huán)截面的最大切應力zy切應力的危險點能否說：“切應力的最大值一定發(fā)生在中性軸上”？當中性軸附近有尺寸突變時最大切應力不發(fā)生在中性軸上；當中性軸附近沒有尺寸突變時最大切應力發(fā)生在中性軸上；切應力強度條件對于等寬度截面，發(fā)生在中性軸上；在進行梁的強度計算時，需注意以下問題：（1）對于細長梁的彎曲變形，正應力的強度條件是主要的，剪應力的強度條件是次要的。對于寬度變化的截面，不一定發(fā)生在中性軸上。一般情況下，以正應力設計為主，切應力校核為輔；(2)對于較粗短的梁，當集中力較大時，注意(4)

薄壁截面梁時，也需要校核切應力。截面上的剪力較大，需要校核切應力強度條件。(3)載荷離支座較近時，截面上的剪力較大；(5)木梁順紋方向，抗剪能力較差;(6)工字形截面梁，要進行切應力校核;（7）正應力的最大值發(fā)生在橫截面的上下邊緣，該處的切應力為零；切應力的最大值發(fā)生在中性軸上，該處的正應力為零。對于橫截面上其余各點，同時存在正應力、切應力。這些點的強度計算，應按強度理論進行計算。注意例題1：懸臂梁由三塊木板粘接而成?？缍葹?m。膠合面的許可切應力為0.34MPa，木材的[σ[=10MPa，[τ]=1MPa，求許可載荷F。F1.畫梁的剪力圖和彎矩圖2.按正應力強度條件計算許可載荷3.按切應力強度條件計算許可載荷xFsxMFFLF4.按膠合面強度條件計算許可載荷5.梁的許可載荷為xFsxMFFLF例2鑄鐵梁的截面為T字形，受力如圖。已知材料許用拉應力為，許用壓應力為，。試校核梁的正應力強度和剪應力強度。若將梁的截面倒置，情況又如何？AB2m1m3mP=20KNCDq=10KN/m20030200302003020030(a)確定中性軸的位置(c)最大靜矩：zzC(b)計算圖形對形心主軸的慣性矩(1)平面圖形幾何性質計算157.5（2）繪剪力圖、彎矩圖計算約束反力：AB2m1m3mCDP=20KNq=10KN/mFAyFBy作內(nèi)力圖FsM10KN10KN.m20KN.m20KN10KN（3）正應力強度計算對于A截面：zP=20KNq=10KN/mFAyFByFs10KN20KN10KNM10KN.m20KN.m20030zC157.5（3）正應力強度計算對于D截面：zP=20KNq=10KN/mFAyFByFs10KN20KN10KNM10KN.m20KN.m20030zC157.5∴正應力強度足夠。結論（4）切應力強度校核在A截面左側：∴切應力強度足夠。P=20KNq=10KN/mFAyFByFs10KN20KN10KNM10KN.m20KN.m20030zC157.5危險截面計算公式（5）若將梁的截面倒置此時強度不足會導致破壞。yczP=20KNq=10KN/mFAyFByFs10KN20KN10KNM10KN.m20KN.mz§7-6提高彎曲強度的措施——1、合理布置支座一、

降低Mmax

——2、合理布置載荷降低Mmax

FL/65FL/36安裝齒輪靠近軸承一側；——3、集中力分散降低Mmax

F二、梁的合理截面增大抗彎截面系數(shù)截面面積幾乎不變的情況下，截面的大部分分布在遠離中性軸的區(qū)域1、合理設計截面抗彎截面系數(shù)WZ越大、橫截面面積A越小，截面越合理。來衡量截面的經(jīng)濟性與合理性合理截面合理截面伽利略1638年《關于兩種新科學的對話和證明》“空心梁能大大提高強度，而無須增加重量，所以在技術上得到廣泛應用。在自然界就更為普遍了，這樣的例子在鳥類的骨骼和各種蘆葦中可以看到，它們既輕巧而又對彎曲和斷裂具有相當高的抵抗能力。“矩形截面中性軸附近的材料未充分利用，工字形截面更合理。根據(jù)應力分布的規(guī)律：解釋z合理截面合理截面要求上下危險點同時達到各自的許用應力。對于塑性材料宜設計成關于中性軸對稱的截面對于脆性材料宜設計成關于中性軸不對稱的截面且使中性軸靠近受拉一側。2、合理放置截面豎放比橫放更合理。為降低重量，可在中性軸附近開孔。三、等強度梁

工程中的等強度梁

工程中的等強度梁

工程中的等強度梁

2、T型鑄鐵梁，承受正彎矩的條件下，下列哪一種放置中，強度最高？abcd討論1、梁發(fā)生平面彎曲時，橫截面繞

旋轉A：軸線；B：中性