測量誤差分析與處理

第二章測量誤差分析與處理本章主要內(nèi)容：1.隨機誤差的分析2.系統(tǒng)誤差分析3.等精度測量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理本章重點：1.掌握標準偏差、標準誤差、貝塞爾公式等概念和計算公式2.掌握隨機誤差、系統(tǒng)誤差的基本概念、分析及處理方法。3.掌握等精度測量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理方法本章難點：等精度測量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理方法及應(yīng)用。2/6/2023材料學院熱能系周麗雯§2.1隨機誤差的分析隨機誤差:測量值與在重復(fù)性條件下對同一被測量進行無限多次測量所得結(jié)果的平均值之差。再規(guī)定的條件下對某一物理量重復(fù)測量時，所得結(jié)果互不相同，其總體服從統(tǒng)計規(guī)律，多數(shù)情況下服從正態(tài)分布，具有隨機變量的一切特征.2/6/2023材料學院熱能系周麗雯§2.1.1隨機誤差的正態(tài)分布連續(xù)型正態(tài)分布隨機變量X的概率密度函數(shù)的數(shù)學表達式為：（2-1）式中μ——均值或數(shù)學期望值；——均方根差或標準差；2——方差

隨機變量可能取值的范圍和取這些值的相應(yīng)概率,稱為隨機變量的概率分布.2/6/2023材料學院熱能系周麗雯方差的定義是當n時，測定值xi與真值之差的平方的統(tǒng)計值，表示為：2-2則：2-3值恒為正值。如果令測定值x對真值的偏差為真誤差，據(jù)定義，有

=x-，2-42/6/2023材料學院熱能系周麗雯則2-1式可以改寫成作用于該組測定值的隨機誤差的分布密度函數(shù)形式：2-5

函數(shù)p(x)或p()的圖解曲線成為正態(tài)分布曲線，呈鐘型，如圖2.1所示。2/6/2023材料學院熱能系周麗雯P（x）x圖2-1正態(tài)分布（a）x的正態(tài)分布曲線（b）隨機誤差的正態(tài)分布曲線2/6/2023材料學院熱能系周麗雯2.1.2正態(tài)分布密度函數(shù)與概率積分

將密度函數(shù)積分，就獲得正態(tài)分布函數(shù)F（x），亦稱概率積分或簡稱為概率：2-6由概率積分求隨機誤差出現(xiàn)在某一區(qū)間的概率為:2-72/6/2023材料學院熱能系周麗雯而且，p(||)68.27%，p(||2)95.45%，p(||3)99.73%。以上關(guān)系示于圖2-2。圖2-2置信概率與置信區(qū)間

-3-2-02368.27%95.45%99.73%P()2/6/2023材料學院熱能系周麗雯§2.1.3

隨機誤差的特點1對稱性2單峰性3有界性4抵償性

2/6/2023材料學院熱能系周麗雯§2.1.4標準偏差圖2-3表示了對應(yīng)不同標準偏差的正態(tài)分布曲線。-6-4-20246P()圖2-3標準偏差不同的正態(tài)分布曲線=0.4=1.0=2.52/6/2023材料學院熱能系周麗雯§2.2直接測量誤差分析與處理2.2.1算術(shù)平均值與標準誤差

一列n次等精度測量所得到的n個測定值xi為隨機變量，其算術(shù)平均值為樣本平均值的代數(shù)和除以樣本容量，即：2-8當測量次數(shù)n時，的極限值稱為該測量值的數(shù)學期望，其關(guān)系式為2-92/6/2023材料學院熱能系周麗雯可以證明即Mx

=μ2-10上式說明的數(shù)學期望（統(tǒng)計平均值）等于真值μ。也就是說，算數(shù)平均值是真值μ的無偏估計。證明如下：

設(shè)測量序列為x1,x2,…,xn,則隨機誤差為：

i=xi-μi=1,2,…,n2-11將上式兩邊求和得：或2/6/2023材料學院熱能系周麗雯對于有限測量列，其算術(shù)平均值是該測量值的最佳值。算術(shù)平均值原理:標準誤差:算術(shù)平均值的均方根誤差稱為標準誤差?？梢宰C明：1.21.00.80.60.40.2

0510152025圖2-4比值與n的關(guān)系曲線n2-122/6/2023材料學院熱能系周麗雯§2.2.2

標準偏差的估計值——貝塞爾公式一、剩余誤差（殘差）：隨機變量的某一次測定值xi與全部測量結(jié)果算術(shù)平均值之差：二、貝塞爾公式三、標準偏差的標準偏差Vi=xi-2-132-142/6/2023材料學院熱能系周麗雯§2.2.3

小子樣誤差分析、t分布及其應(yīng)用一、t分布（學生氏分布）2-15t分布的概率密度函數(shù)是：2-16

式中：是特殊函數(shù)，是正整數(shù)，t分布的自由度。當進行n次獨立測量時=n-1。2/6/2023材料學院熱能系周麗雯正態(tài)分布（n=)t分布（n=2)tF(t;)0圖2-5

t分布曲線

假設(shè)一列等精度獨立測量值x1，x2，…，xn

服從正態(tài)分布，真值μ和均未知，根據(jù)這一列測定值可求得子樣平均值及均方根誤差的估計值：2/6/2023材料學院熱能系周麗雯

利用2-16作如下的概率描述：2-17或?qū)懗桑?-18測量結(jié)果可表示成：(P=?)表2-1

t分布的分位數(shù)（tp）表

顯然，tp>1,對于小子樣，若用來計算誤差限，往

往得到太好的結(jié)果。2/6/2023材料學院熱能系周麗雯

例：用光學高溫計測量某金屬鑄液的溫度，得如下5個測量數(shù)據(jù)（℃):975,1005,988,993,987。設(shè)金屬鑄液溫度穩(wěn)定，測溫隨機誤差屬于正態(tài)分布。求鑄液的實際溫度（置信概率取99%）。

解：（1）（2）p=99.73%，置信系數(shù)k=3，

測量結(jié)果為：μ=989.8±3*4.7=989.8±14.1℃（3）因測量次數(shù)較少，采用t分布推斷給定置信概率下的誤差限：由p=99.73%，=5-1=4,查表4-1得tp=5.51,測量結(jié)果為：

μ=989.8±5.51*4.7=989.8±25.9℃ (p=99.73%)2/6/2023材料學院熱能系周麗雯§2.3

間接測量的誤差分析與處理

通過已經(jīng)得到的有關(guān)直接測量量的平均值（也可是單次測定值）及其誤差，估計間接測量量的真值及其誤差。§2.3.1

誤差傳遞原理：

設(shè)間接測量量y是可以直接測量量x1,x2,…,xm

的函數(shù)，其函數(shù)關(guān)系式為：

y=F(x1,x2,…,xm)5-1

假定對x1,x2,…,xm都進行了n次測量，那么每個xi(i=1,2，…m)都有自己的一列測定值xi1,xi2,…,xim,則：（1）間接測量量的最佳估計值可以由與其有關(guān)的各直接測量量的算術(shù)平均值（I=1,2,…,m)，代入代數(shù)關(guān)系式5-1求得：5-2（2）間接測量量的標準誤差是各獨立直接測量量的標準誤差和函數(shù)對該直接測量量偏導(dǎo)數(shù)乘積的平方和的根：5-3（3）局部誤差的取舍原則：若某個局部誤差小于間接測量量標準誤差的1/3，則該局部誤差是微小誤差，可以舍去。2/6/2023材料學院熱能系周麗雯§2.3.2

間接測量誤差分析在測量系統(tǒng)設(shè)計中的應(yīng)用

誤差傳布原理不僅可以解決如何根據(jù)各獨立的直接測量量及其誤差估計間接測量量的真值及其誤差的問題，而且對測量系統(tǒng)的設(shè)計有重要意義。如果規(guī)定了間接測量結(jié)果的誤差不能超過某一值，那么可以利用誤差傳布規(guī)律求出各間接測量量的誤差允許值，以便滿足間接測量量允許誤差的要求。同時，可以根據(jù)各間接測量量允許誤差的大小選擇適當?shù)膬x表。

一般采用等影響原則即：從而

進而考慮技術(shù)上實現(xiàn)的可能性及各測量量在函數(shù)關(guān)系中的地位，對誤差分配進一步調(diào)整。（高次冪出現(xiàn)的應(yīng)提高精度要求，對方根形式出現(xiàn)的可放松要求等。）2/6/2023材料學院熱能系周麗雯

§2.3

剔除可疑數(shù)據(jù)的統(tǒng)計學方法

凡是用測量的客觀條件不能解釋為合理的明顯偏離測量總體的個別測值，稱為異常值（壞值）。異常值是虛假的，并會直接形象數(shù)據(jù)總體的正確性。測量中的粗大誤差導(dǎo)致出現(xiàn)異常值。粗大誤差又稱疏失誤差、粗差、差錯。意指明顯歪曲測量結(jié)果的誤差。在測量過程中，粗大誤差是偶然出現(xiàn)的，帶有隨機性。產(chǎn)生粗大誤差的原因主要是測量方法不當，測試者的粗心大意，以及出現(xiàn)概率極小但作用較強的偶發(fā)性干擾等。粗大誤差在數(shù)值上遠大于隨機誤差或系統(tǒng)誤差。嚴格地說，它已不屬于誤差的范疇，而是不應(yīng)該發(fā)生但大多由于粗心大意而導(dǎo)致的一種錯誤。2/6/2023材料學院熱能系周麗雯

根據(jù)隨機誤差的單峰性和有界性，絕對值很大的誤差出現(xiàn)的概率很小。因此，總可以確定一些原則來判斷某些可疑數(shù)據(jù)是否在正常的離散分布范圍之內(nèi)。用統(tǒng)計學方法處理可疑數(shù)據(jù)的實質(zhì)，就是給定一個置信系數(shù)或置信概率，再根據(jù)a=k,找出相應(yīng)的置信區(qū)間。凡在此區(qū)間以外的數(shù)據(jù)，就定為異常數(shù)據(jù)并從測定值數(shù)列中剔除。在實際測定值處理中，常用算術(shù)平均值代替真值，用標準偏差估計值代替標準偏差，凡測量值在區(qū)間[]以外，即6-12/6/2023材料學院熱能系周麗雯這時，就將該數(shù)據(jù)xk定為壞值，棄而不用。公式6-1中，置信系數(shù)k選定過小，有可能把正常的測定值當成異常值剔除；置信系數(shù)給得過大，異常值又有可能未被鑒別出來，從而影響測值處理的精確度。下面介紹幾種常用的判別方法。（1）萊特準則(3準則）6-2該準則是以n為前提的。當測量次數(shù)較少時，這個判據(jù)并不可靠。當n=10,若壞值xk包含在一列等精度測量值xi中，則：即式子恒成立，此時已無法依據(jù)萊特準則剔除壞值Xk。當然以上推算理論上也是不嚴格的，因為貝塞爾公式的引用有n的前提。

萊特準則的運用條件一般要求n20。2/6/2023材料學院熱能系周麗雯（2）肖維勒準則同上，根據(jù)式6-1，當某剩余誤差滿足：剔除該壞值xk，式中n〈3，故肖維勒準則比萊特準則嚴格一些，更易于發(fā)現(xiàn)壞值。但在n<10時，使用這個判據(jù)也比較勉強。當n=4~10時，即使沒有差錯值，平均也會有（5~12）%的測量數(shù)據(jù)可能被誤剔除，故該準則偏嚴。當n=185時，二判據(jù)相當；當在n>185時，肖維勒準則是對萊特準則的一種變革，但它沒有固定的概率意義，特別是理論上當n時，n，此時所有異常值都不能被剔除。2/6/2023材料學院熱能系周麗雯表6.2肖維勒系數(shù)n數(shù)值表2/6/2023材料學院熱能系周麗雯（3）格拉布斯準則當6-4則認為xk為壞值。式中，=1-p為危險率；(,n)值列于表6.3。

格拉布斯準則是建立在統(tǒng)計理論基礎(chǔ)上的較為合理的判斷方法。在作以上統(tǒng)計學處理時，值不宜選得過小，否則正常值被誤判的概率固然減小了，但把異常值判為正常值的另一種誤判的可能性卻增大了。工程計算時，通常取=0.05或0.01。表6.3格拉布斯系數(shù)(,n)數(shù)值表2/6/2023材料學院熱能系周麗雯例2：重復(fù)測量某電壓24次，測定結(jié)果如表6.4:求估計值及標準誤差。解：（1）根據(jù)測量數(shù)據(jù)可以求出：根據(jù)萊特準則，全體數(shù)據(jù)可用。2/6/2023材料學院熱能系周麗雯（2）根據(jù)肖維勒準則，n=24時，24=2.32。其中，故x8此時被判為壞值。剔除后重新計算：標準偏差已明顯下降，而23=2.30，各剩余誤差均能滿足無新的壞值出現(xiàn)，各測定值可用。（3）根據(jù)格拉布斯準則，系數(shù)(0.01,24)=2.99，(0.05,24)=2.64。如果取=0.01，將判定x8為正常數(shù)據(jù)；若取=0.05，則x8被判為壞值。

從例6.2可以看出，對于同一測定值數(shù)列，三種判據(jù)的結(jié)論互有差異。2/6/2023材料學院熱能系周麗雯§2.4

系統(tǒng)誤差

§2.4.1

系統(tǒng)誤差的性質(zhì)及分類

系統(tǒng)誤差是指在規(guī)定的測量條件下多次測量同一量值時，誤差的數(shù)值保持恒定，或按某種確定的規(guī)律變化的誤差。系統(tǒng)誤差具有下面特點：（1）確定性——系統(tǒng)誤差是固定不變的，或是一個確定性的（非隨機性質(zhì)）時間函數(shù)，它的出現(xiàn)服從確定的函數(shù)規(guī)律。（2）重現(xiàn)性——在測量條件完全相同時，重復(fù)測量時系統(tǒng)誤差可以重復(fù)出現(xiàn)。（3）可修正性——由于系統(tǒng)誤差的重現(xiàn)性，就決定了它的可修正性。

系統(tǒng)誤差的分類：（1）固定不變的系統(tǒng)誤差。（2）線性變化的系統(tǒng)誤差。（3）周期性變化的系統(tǒng)誤差。（4）變化規(guī)律復(fù)雜的系統(tǒng)誤差。變值系差恒值系差2/6/2023材料學院熱能系周麗雯研究系統(tǒng)誤差的意義在于：（1）對隨機誤差所進行的數(shù)學分析和處理，是以測量數(shù)據(jù)中不含系統(tǒng)誤差為前提的。研究系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因極其規(guī)律，并消除或減弱其在誤差總體中的影響，對以數(shù)理統(tǒng)計方法提高隨即誤差的分析至關(guān)重要。（2）系統(tǒng)誤差在數(shù)值上常比隨即誤差大得多，但其出現(xiàn)的規(guī)律性又常隱含在測量數(shù)據(jù)中不易被發(fā)現(xiàn)，更由于多次重復(fù)測量不能降低它對測量結(jié)果準確度的影響，故比隨即誤差更具危險性。（3）對系統(tǒng)誤差的性質(zhì)及其本質(zhì)的研究，有助于發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律或事物。

恒定系差可以修正，而變值系差無法修正。二者都可以通過實驗分析或計算予以抵消或削弱。2/6/2023材料學院熱能系周麗雯§2.4.2

系統(tǒng)誤差的判別（1）實驗對比法——通過改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件進行同條件的測量，以便發(fā)現(xiàn)誤差，它用于發(fā)現(xiàn)固定不變的系統(tǒng)誤差。（2）殘余誤差觀察法——對被測量進行多次測量后得到測量列x1,x2,…,xn,便可算出相應(yīng)的殘余誤差列，通過對殘余誤差列大小符號的變化分析，可以判斷該測量列有無系統(tǒng)誤差，這種方法主要用于發(fā)現(xiàn)有規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。（3）殘余誤差之和相減法——當測量次數(shù)較多時，將測量列前一半的殘余誤差之和，減去測量列后一半的殘余誤差之和，若其差值接近于零，說明不存在變化的系統(tǒng)誤差。若其差值明顯不為零，則認為測量列存在著變化的系統(tǒng)誤差。2/6/2023材料學院熱能系周麗雯§2.4.3

減少系統(tǒng)誤差的方法

從現(xiàn)實的角度看,沒有一種通用的處理模式來降低系統(tǒng)誤差的影響,檢驗及鑒別實驗中是否存在系統(tǒng)誤差,分析產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因,估計系統(tǒng)誤差的數(shù)值,以及盡可能消除產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的根源,或設(shè)法防止受到這些誤差源的影響,例如提高操作人員的水平;改善測量工作環(huán)境,采用穩(wěn)壓、散熱、恒溫、屏蔽措施;定期校準儀表,正確調(diào)節(jié)零點;在讀測數(shù)據(jù)時引入儀表的修正值等,這些都是減小系統(tǒng)誤差較為有效的方法.

采用某些特定的測量技術(shù),可以在相當程度上減小以致消除系統(tǒng)誤差的影響,例如:(1)零示法_零示法屬于比較測量法.它是把被測量與作為計量單位的標準的已知量進行比較,使二者的效應(yīng)相互抵消.當總的效應(yīng)為零時,指示讀數(shù)為零或最小.零示法測量的準確度主要決定于標準已知量的準確性,而對平衡狀態(tài)的判斷是否準確,主要取決于指示器的靈敏度.零示法可以較好地消除系統(tǒng)誤差.2/6/2023材料學院熱能系周麗雯（3）交換法——交換法又稱為對照法。交換法原理是交換改變測量條件，使產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因?qū)y量結(jié)果起相反的作用，從而抵消了恒定系差。

系統(tǒng)誤差的出現(xiàn)一般是有規(guī)律的，其產(chǎn)生的原因是可知或可以掌握的。工程測量中估計誤差時，應(yīng)該重點研究系統(tǒng)誤差。在一個測量當中，如果系統(tǒng)誤差很小，則測量結(jié)果的準確度就高。可以說，測量的準確度由系統(tǒng)誤差來表征。如果存在某項系統(tǒng)誤差，而我們卻毫無察覺，那是很危險的。（2）

替代法——替代法是在測量條件不變的情況下，用已知量替代測量電路中的待測量，并使儀器的示值不變，以達到消除恒定系差的目的。此時，被測量就等于標準已知量。2/6/2023材料學院熱能系周麗雯§2.5

等精度測量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理

恒定量數(shù)據(jù)處理的目的，就是從測量所得的一組等精度原始數(shù)據(jù)中，通過誤差分析和加工整理，求出被測量值的最佳估計值，并計算其精度。

在一組等精度測量的數(shù)據(jù)中，常含有系統(tǒng)誤差、隨機誤差和粗大誤差。誤差的性質(zhì)不同，對誤差的處理方法也不同。對于系統(tǒng)誤差，可以采取消除誤差源或減弱誤差源的影響、以及對測定值進行修正等技術(shù)措施來處理；對于隨機誤差的影響，應(yīng)該用統(tǒng)計平均的方法消除或削弱；而對含有粗大誤差的壞值，則應(yīng)予以剔除。當然，在實際測量中，隨機誤差、系統(tǒng)誤差和粗大誤差并不是一成不變的，它們在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化。2/6/2023材料學院熱能系周麗雯數(shù)據(jù)處理的步驟如下：（1）判明是否含有系統(tǒng)誤差，（方法如§3.2），然后，采取各種措施消除誤差源或減小誤差源的影響，用修正值等方法，減小恒定系差的影響。判明含有系統(tǒng)誤差的測量數(shù)據(jù)，原則上應(yīng)舍棄不用。（2）求算術(shù)平均值（3）求各測定值相應(yīng)的剩余誤差2/6/2023材料學院熱能系周麗雯理論上講，剩余誤差之和為零。應(yīng)予校準：（4）按貝塞爾公式計算數(shù)列標準偏差的估計值（5）判斷測定值中是否含有壞值，并剔除之。當測量次數(shù)足夠多時，可以用方法較為簡單的萊特準則；如果n較少，應(yīng)當用格拉布斯或肖維勒準則。（6）剔除壞值后，數(shù)據(jù)總數(shù)相應(yīng)減少。應(yīng)重新計算，vi和再判斷和剔除可能出現(xiàn)的壞值。2/6/2023材料學院熱能系周麗雯在一組測量數(shù)據(jù)中，由于粗大誤差引起的壞值應(yīng)當是很少的幾個。如果剔除的壞值數(shù)目較多，則說明測量系統(tǒng)工作不正常，不具備精密測量條件，測量數(shù)據(jù)不可信。應(yīng)重新安排測量工作，改善測量條件，獲取新的測量數(shù)據(jù)。（7）計算算術(shù)平均值的標準誤差估計值（8）按設(shè)定的數(shù)據(jù)量和置信概率，可以寫出測量結(jié)果處理值及其可信范圍的表示式。

(P=?)2/6/2023材料學院熱能系周麗雯（9）測量結(jié)果的誤差評價

測量誤差即一定概率下真誤差可能出現(xiàn)的范圍的界限值也就是置信區(qū)間半長。實際測量中常用以下幾種表示方法：1.標準誤差(P=68.3%)2.平均誤差（p=57.5%）這時實質(zhì)是殘差的平均值。2/6/2023材料學院熱能系周麗雯3.或然誤差（p=50%）4.極限誤差（p=99.73%）

以上的表示方法的置信概率含義并不明確，因為即使測定值服從正態(tài)分布，其置信概率并不恒定，而是隨n而異，因此，常用t分布估計測量誤差。5.t分布誤差估計（p=99%或p=95%）

t根據(jù)設(shè)定的置信概率p和樣本容量n，由t分布表4-1查得。2/6/2023材料學院熱能系周麗雯§2.6

誤差的綜合（1）隨機誤差的綜合

若測量結(jié)果中含有k項彼此獨立的隨機誤差，各單項測量的標準誤差分別為1,2,…,k，則k項獨立隨機誤差的綜合效應(yīng)是它們的平方和之均方根。（2）系統(tǒng)誤差的綜合

若測量結(jié)果中含有l(wèi)項已定系統(tǒng)誤差分別為E1，E2，…，El,則已定系統(tǒng)誤差的綜合效應(yīng)為：（3）未定系統(tǒng)誤差的綜合

估計出未定系統(tǒng)誤差極限范圍e，并設(shè)測量結(jié)果中含有m項未定系統(tǒng)誤差為e1,e2,…,em,則：2/6/2023材料學院熱能系周麗雯（4）誤差合成規(guī)律測量系統(tǒng)的綜合誤差為：2/6/2023材料學院熱能系周麗雯§2.7

組合測量的誤差分析與處理§2.7.1概述

從一組離散的測量數(shù)據(jù)中，運用有關(guān)誤差理論知識，用數(shù)學方法減小隨機因數(shù)引起測定值對原函數(shù)的偶然偏差，求得一條能最佳地描述該原函數(shù)的曲線的過程，稱為擬合。而以比較符合事物內(nèi)在規(guī)律性的數(shù)學表達式來代表這一函數(shù)關(guān)系或你和擬合曲線的方法，稱為回歸分析。

采用回歸分析，能夠把測量數(shù)據(jù)的內(nèi)在規(guī)律性用最佳的經(jīng)驗公式表示出來，關(guān)系簡明緊湊，易于判斷各因數(shù)的影響，從而能最優(yōu)化的分析測試條件?；貧w分析后，還可進行微積分和插值處理，以及對變化趨勢作某種預(yù)測和估計預(yù)測的精度等。2/6/2023材料學院熱能系周麗雯

回歸分析的主要內(nèi)容有：（1）根據(jù)實驗測量數(shù)據(jù)，確定變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系，如果存在相關(guān)關(guān)系，則找出變量間關(guān)系的合適的數(shù)學表達式，對變量間的關(guān)系給以近似描述，從而建立表征被測系統(tǒng)基本特征的數(shù)學模型。（2）對關(guān)系式的可信程度進行統(tǒng)計檢驗，并了解這種歸納性預(yù)測的精度。2/6/2023材料學院熱能系周麗雯§2.7.2

最小二乘法原理

最小二乘法原理是一個統(tǒng)計學原理，用來解決從一組測定值中決定最佳值或最可信賴值的問題，它在工程實際中應(yīng)用很廣泛。最小二乘法作為一種最似然方法，僅在正態(tài)分布誤差的情況下才成立。然而在與正態(tài)分布差異不大，以及在誤差很小的任意分布時，也常用最小二乘法原理來處理數(shù)據(jù)。假定某一元獨立變量x的函數(shù)表示為：y=f(x;a,b,…)8-1式中，a,b,…是常數(shù)變量，而且是測量求解值。測量時，改變x數(shù)值，相繼取x1,x2,…,xn,測量出對應(yīng)值y1,y2,…,yn

,若測量無誤差，則把n個測量結(jié)果yi及其對應(yīng)值xi代入式8-1中，就可以得到n個方程，就能得到a,b,…共n個參數(shù)值。

2/6/2023材料學院熱能系周麗雯然而yi的測量不可避免地含有誤差，因而解出的a,b,…也必然有誤差。為了簡化討論，假定xi的取值無誤差，則真誤差為：I=yi-f(xi

;a,b,…)8-2

設(shè)在等精度測量中，各測量值的出現(xiàn)是彼此獨立的，互不相關(guān)，I為正態(tài)分布，故所有誤差同時出現(xiàn)的概率為8-32/6/2023材料學院熱能系周麗雯

根據(jù)正態(tài)分布的特性，在一組測量中，測量結(jié)果的最佳估計值乃是概率p為最大時所求出的計算值。為使p最大，顯然應(yīng)該令8-4或?qū)嶋H上，測定值的真值不可知，常用算術(shù)平均值代替真值，以剩余誤差代替真誤差，并以標準偏差的估計值代替標準偏差，則上式可以改寫為：8-5

式8-5說明，測量結(jié)果中最佳估計值出現(xiàn)的條件是剩余誤差平方和為最小，這在數(shù)學上稱為最小二乘法。而8-62/6/2023材料學院熱能系周麗雯

將式8-6代入8-5，有8-7

要求估計值能滿足最小二乘條件8-7，就是要求8-8亦即要求解下列聯(lián)立方程組：8-9式中，表示函數(shù)f(x;a,b,…)對a的偏導(dǎo)數(shù)在x=xi點上所取的值。2/6/2023材料學院熱能系周麗雯方程組8-9稱為正規(guī)方程或法方程。這是一個線性方程組，利用線性代數(shù)知識或