有限元方法課件第三章桿系結(jié)構(gòu)有限元

第三章桿系結(jié)構(gòu)有限元§3–1概述

§3–2單元?jiǎng)偠染仃?/p>

§3–3單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)轉(zhuǎn)換

§3–4結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣

§3–5支承條件的引入

§3–6非節(jié)點(diǎn)荷載的處理

§3–7桿系結(jié)構(gòu)有限元法的計(jì)算步驟及示例

§3–8幾點(diǎn)補(bǔ)充說明

§3–9總結(jié)第三章桿系結(jié)構(gòu)有限元一、桿系結(jié)構(gòu)有限元法的基本思想結(jié)構(gòu)力學(xué)中的電算方法—桿件有限元法

(結(jié)構(gòu)矩陣分析方法)

結(jié)構(gòu)矩陣分析方法是以傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)力學(xué)理論為基礎(chǔ)、以矩陣作為數(shù)學(xué)表述形式、以電子計(jì)算機(jī)作為計(jì)算手段大規(guī)模的計(jì)算方法?！?-1概述

桿系結(jié)構(gòu)有限元法(矩陣位移法）——采用結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量。借助矩陣進(jìn)行分析，并用計(jì)算機(jī)解決各種桿系結(jié)構(gòu)受力、變形等計(jì)算的方法。理論基礎(chǔ)：位移法；分析工具：矩陣；計(jì)算手段：計(jì)算機(jī)

對(duì)于桿系結(jié)構(gòu)，桿系結(jié)構(gòu)有限元法易于編制通用的計(jì)算程序。二、桿系結(jié)構(gòu)有限元法的思路：1）離散，進(jìn)行單元分析，建立單元桿端力和桿端位移的關(guān)系。2）集合，進(jìn)行整體分析，建立結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系。任務(wù)意義單元分析建立桿端力與桿端位移間的剛度方程，形成單元?jiǎng)偠染仃囉镁仃囆问奖硎緱U件的轉(zhuǎn)角位移方程整體分析由變形條件和平衡條件建立結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移間的剛度方程，形成整體剛度矩陣用矩陣形式表示位移法基本方程

構(gòu)造結(jié)點(diǎn):桿件的轉(zhuǎn)折點(diǎn)、匯交點(diǎn)、支承點(diǎn)和截面突變點(diǎn)。

非構(gòu)造結(jié)點(diǎn):一根等截面直桿內(nèi)的單元與單元之間的結(jié)點(diǎn)。1.結(jié)點(diǎn)和單元

單元與單元之間通過結(jié)點(diǎn)聯(lián)結(jié)，結(jié)點(diǎn)一經(jīng)確定，則單元也就全部確定了。

單元——最基本的分析部件，最簡(jiǎn)單的單元是等截面直桿。

梁?jiǎn)卧茌S力、還受剪力和彎矩作用則稱為梁?jiǎn)卧?、剛架）?/p>

軸力單元——只受軸力作用的單元（桁架）。

三、基本概念

2.坐標(biāo)系

結(jié)構(gòu)整體坐標(biāo)系xoy用于描述結(jié)構(gòu)整體的量——結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)、結(jié)點(diǎn)的位移、作用在結(jié)構(gòu)上的外力等。

單元局部坐標(biāo)系固定在單元上，軸與桿軸重合,自軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)900時(shí)的方向?yàn)檩S正向。用于描述單元的桿端力和桿端位移等。

離散化將結(jié)構(gòu)離散成單元的分割點(diǎn)稱作結(jié)點(diǎn).634512135642結(jié)點(diǎn)的選擇:轉(zhuǎn)折點(diǎn)、匯交點(diǎn)、支承點(diǎn)、剛度變化、荷載作用點(diǎn)等整體編碼：?jiǎn)卧幋a、結(jié)點(diǎn)編碼、結(jié)點(diǎn)位移編碼。（1,2,3）（4,5,6）（7,8,9）（10,11,12）（13,14,15）（16,17,18）坐標(biāo)系:整體(結(jié)構(gòu))坐標(biāo)系;XY局部(單元)坐標(biāo)系.曲桿結(jié)構(gòu):以直代曲.變截面桿結(jié)構(gòu):以等截面桿代變截面桿

不忽略單元的軸向變形時(shí)，平面結(jié)構(gòu)中每個(gè)剛結(jié)點(diǎn)都有3個(gè)獨(dú)立的位移（2個(gè)獨(dú)立線位移、1個(gè)角位移），每一個(gè)鉸結(jié)點(diǎn)則有2個(gè)獨(dú)立線位移。平面剛架單元的桿力列向量為(10-1)平面剛架單元的桿端位移列向量為(10-2）

注意：桿端力與桿端位移必定是一一對(duì)應(yīng)的，即有幾個(gè)桿端位移分量就有幾個(gè)桿端力分量。

3.桿端位移和桿端力（對(duì)單元而言）

平面桁架鉸結(jié)點(diǎn)只有兩個(gè)獨(dú)立的線位移，與此對(duì)應(yīng)，桁架單元的桿端力只有軸力和剪力與其對(duì)應(yīng)，但實(shí)際上桁架單元的剪力總是為零的，所以有(10-3)

桿端位移向量(10-4)

其他任何單元都存在桿端力與桿端位移一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

桿端力向量

作用于結(jié)點(diǎn)上的所有的力的合力,沿坐標(biāo)軸方向分解為三個(gè)分量,構(gòu)成該結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)力向量。4.結(jié)點(diǎn)力和結(jié)點(diǎn)位移（對(duì)整體而言）

與結(jié)點(diǎn)力向量對(duì)應(yīng)的是結(jié)點(diǎn)位移向量，是矩陣位移法的基本未知量。注意：結(jié)點(diǎn)力和結(jié)點(diǎn)位移都是相對(duì)于整體坐標(biāo)系的。

桿端位移和桿端力（對(duì)單元而言）的正負(fù)號(hào)：

作用在結(jié)點(diǎn)上的外力和結(jié)點(diǎn)位移（對(duì)整體而言）的正負(fù)號(hào)：5.正負(fù)號(hào)規(guī)定（強(qiáng)調(diào)）

凡是與單元坐標(biāo)軸方向一致的位移和力均為正值，反之為負(fù)值。力矩和轉(zhuǎn)角以逆時(shí)針方向?yàn)檎?，反之為?fù)。

與整體坐標(biāo)系方向一致的結(jié)點(diǎn)力和結(jié)點(diǎn)位移為正，反之為負(fù)。以逆時(shí)針轉(zhuǎn)的結(jié)點(diǎn)力矩和結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角為正值,反之為負(fù)值。矩陣位移法基本思想:化整為零

------結(jié)構(gòu)離散化將結(jié)構(gòu)拆成桿件，桿件稱作單元。單元的連接點(diǎn)稱作結(jié)點(diǎn)。單元分析

對(duì)單元和結(jié)點(diǎn)編碼.634512135642e單元桿端力集零為整------整體分析單元桿端力結(jié)點(diǎn)外力單元桿端位移結(jié)點(diǎn)外力單元桿端位移(桿端位移=結(jié)點(diǎn)位移)結(jié)點(diǎn)外力結(jié)點(diǎn)位移基本未知量:結(jié)點(diǎn)位移1.建立單元桿端力與桿端位移之間的關(guān)系

截面直桿單元e,其桿端位移列向量與桿端力列向量分別為

§3-2單元?jiǎng)偠染仃噯卧獥U端力與單元桿端位移之間的關(guān)系是：

=——單元在局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠确匠?。它可記?/p>

（10-6a）其中

（10-7）

稱為局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚕ê?jiǎn)稱單剛）。

的行數(shù)等于桿端力向量的分量數(shù),列數(shù)等于桿端位移向量的分量數(shù)，

的每一個(gè)元素稱為單元?jiǎng)偠认禂?shù)，其表示了一個(gè)力。

任一元素表示當(dāng)j號(hào)位移為一單位時(shí)引起桿端沿i號(hào)位移方向的反力。

單剛陣中某一列的六個(gè)元素表示當(dāng)某個(gè)稈端位移分量等于1時(shí)所引起的六個(gè)桿端力分量。

第1列的六個(gè)元素就是當(dāng)(即端點(diǎn)i沿正方向發(fā)生單位位移)時(shí)，單元的六個(gè)桿端力分量。

2.單元?jiǎng)偠染仃嚨奶匦裕ǚ戳サ榷ɡ恚?）是對(duì)稱矩陣。

表達(dá)的桿端力和桿端位移的關(guān)系，對(duì)應(yīng)于一個(gè)完全的自由單元，沒有任何支承約束，可以有任意的剛體位移。(2)是奇異矩陣。即，其逆矩陣不存在.可以由桿端位移確定桿端力。反之，若已知桿端力，卻不能由式反求桿端位移。物理概念為：

局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?，只與單元的幾何形狀、尺寸和物理常數(shù)有關(guān)，與單元在結(jié)構(gòu)中的位置無關(guān)。(3)位置無關(guān)性矩陣位移法的單元體現(xiàn)了更強(qiáng)的通用性。單元?jiǎng)偠染仃嚍?

3.其他單元的單元?jiǎng)偠染仃?/p>

（10-9）(1)平面桁架單元

若把連續(xù)梁兩支座間的一跨取作單元，桿端位移條件為：，，，。單元?jiǎng)偠确匠虨?10-11)單元?jiǎng)偠染仃嚍椋?0-12）（10-13）(2)

連續(xù)梁?jiǎn)卧獥U端位移向量與單元桿端力向量為:

整體分析時(shí)必須建立一個(gè)統(tǒng)一的坐標(biāo)系，稱為整體坐標(biāo)系，其作用是把各單元上不同方向的量值統(tǒng)一到整體坐標(biāo)系方向上來。整體坐標(biāo)系中，單元桿端位移向量記為{δe},單元桿端力向量記為{Fe}問題的提出§3-3單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)變換局部坐標(biāo)系下的桿端力整體坐標(biāo)系下的桿端力1.

單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣

局部坐標(biāo)系

與整體坐標(biāo)系為xoy的夾角α以x軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)到與局部坐標(biāo)系為正。

j端點(diǎn)桿端力轉(zhuǎn)換關(guān)系端點(diǎn)i處的桿端力分量，有下列轉(zhuǎn)換關(guān)系：（10-10a）（10-10b）整體坐標(biāo)系下的桿端力與局部坐標(biāo)系下的桿端力之間的關(guān)系簡(jiǎn)記為將（10-10a）和（10-10b）聯(lián)合起來寫成矩陣形式[T]稱為單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣,[T]是一正交矩陣。[I]為與[T]同階的單位矩陣。或同理由可得坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為：

對(duì)平面桁架單元

，。整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠确匠虒憺榫植孔鴺?biāo)系中的單元?jiǎng)偠确匠虒憺橛桑?/p>

，得等式兩邊左乘，得2.

整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃噺亩傻脙煞N坐標(biāo)系中單元?jiǎng)偠染仃囖D(zhuǎn)換關(guān)系式:對(duì)于平面剛架單元，整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚍槭街校浩矫骅旒軉卧谡w坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚍?

整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚲哂信c類似的性質(zhì)(對(duì)稱性和奇異性)。

表示單元

j端產(chǎn)生單位位移時(shí)引起

i

端的桿端力。對(duì)于平面剛架單元

整體分析中，對(duì)每一個(gè)結(jié)點(diǎn)分別建立平衡方程，為了討論方便，將單元?jiǎng)偠确匠贪磧啥说慕Y(jié)點(diǎn)

i

、j

進(jìn)行分塊，寫為對(duì)于平面剛架單元，它們都是3×3階方陣。對(duì)于平面桁架單元，它們都是2×2階方陣。例:整體單剛的計(jì)算21已知:求:各單元整體單剛解:本節(jié)開始對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行整體分析(后處理法)分析任務(wù):建立結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系-結(jié)構(gòu)的剛度方程例:第一步:編號(hào)，建坐標(biāo)符號(hào)：與整體坐標(biāo)正向?yàn)檎?。結(jié)點(diǎn)力列向量結(jié)點(diǎn)位移列向量其中：§3-4結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣、

—

支座反力、

—

結(jié)點(diǎn)外力{F}=[K]{Δ}——表示整個(gè)結(jié)構(gòu)在整體坐標(biāo)系中的結(jié)點(diǎn)位移與結(jié)點(diǎn)力之間的變換關(guān)系。--明確任務(wù)有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的平面剛架，Δ是3n階向量。有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的平面桁架,Δ是2n階向量。

{F}——結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)力向量。它是由作用在每個(gè)結(jié)點(diǎn)上的外力

(包括已知的荷載和未知的支座反力)構(gòu)成的。注意：{F}與{Δ}的階數(shù)相同,而且是一一對(duì)應(yīng)的。{Δ}——結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移向量。矩陣位移法的基本未知量。

[K]——結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣（總剛）。其行、列數(shù)等于結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)的位移數(shù)。

第二步：?jiǎn)卧治龅谌剑米冃螚l件和平衡條件建立與的關(guān)系。分別對(duì)結(jié)點(diǎn)1，2，3，4進(jìn)行分析由變形條件：

由平衡條件：如結(jié)點(diǎn)2：即：

即：

同理，對(duì)結(jié)點(diǎn)1、3、4的平衡條件為：

寫成矩陣形式：上式稱為結(jié)構(gòu)的原始剛度方程，簡(jiǎn)寫為：稱為結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣，簡(jiǎn)稱總剛?？倓偠染仃囂匦裕海?）[K]是對(duì)稱方陣；

kij=kji（反力互等定理），貯存總剛度矩陣時(shí)，只需貯存它的一半就行了。（2）[K]是稀疏矩陣；非零元素只分布在主對(duì)角線兩側(cè)的帶狀區(qū)域內(nèi)。

表示結(jié)點(diǎn)位移{}和結(jié)點(diǎn)力{F}之間的關(guān)系，反映了結(jié)構(gòu)的剛度性質(zhì)，而不涉及原結(jié)構(gòu)上作用的實(shí)際荷載，并不是原結(jié)構(gòu)的位移法基本方程。

當(dāng)尚未引進(jìn)支座條件的情況下，結(jié)構(gòu)剛度方程是無法求解的（未引進(jìn)支座條件時(shí)，結(jié)構(gòu)存在剛體位移）。（3）K是一個(gè)奇異矩陣。

特稱沒有引進(jìn)支座條件的總剛度矩陣稱為原始總剛度矩陣。建立總剛度矩陣有兩種方法:

1）理論推導(dǎo),即剛度法。2）直接由單剛陣按一定的規(guī)律集成總剛度矩陣，稱為直接剛度法由總剛中元素的物理意義形成：2(4,5,6)1(1,2,3)3(7,8,9)12

則有:

若令:其他Ki1為0，這種方法太麻煩。桁架的指示矩陣為：

任何一個(gè)桿端都與一個(gè)結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)。圖示桁架，其單元桿端與結(jié)點(diǎn)號(hào)可用一個(gè)矩陣來表示。矩陣的行數(shù)為單元數(shù)，列數(shù)為2。每一行的兩個(gè)數(shù)分別表示該單元i、j

端對(duì)應(yīng)的結(jié)點(diǎn)號(hào)。這個(gè)矩陣稱為指示矩陣（定位矩陣）。指示矩陣實(shí)際上也給出了各單元坐標(biāo)系。ij直接剛度法形成總剛度矩陣

直接剛度法——直接由各單元?jiǎng)偠染仃囇b配形成總剛度矩陣。是目前編制計(jì)算機(jī)程序最常用的方法。1.首先應(yīng)將結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)和單元編號(hào)。編號(hào)可以任意編，并不影響計(jì)算結(jié)果。2.首先列出整體坐標(biāo)表示的單元?jiǎng)偠染仃嚒?.將單元?jiǎng)偠染仃噭澐譃?個(gè)子塊：4.按“子塊搬家，對(duì)號(hào)入座”的原則將單元?jiǎng)偠染仃囍械淖訅K，一塊塊地搬入總剛度矩陣中，而搬入的位置則根據(jù)指示矩陣G

的規(guī)定來確定。

一般的規(guī)律是：第e單元i端對(duì)應(yīng)結(jié)點(diǎn)號(hào)為g,

j

端對(duì)應(yīng)結(jié)點(diǎn)號(hào)為h?！鞍峒摇睍r(shí)將該單元單元?jiǎng)偠染仃囍械淖訅KKij搬到總剛度矩陣中的子塊位置Kgh，即搬到總剛度矩陣中第g子塊行，第h子塊列中去?！鶮11

→K13→K31→K33

例如,圖示桁架第⑤號(hào)單元的4個(gè)子塊，根據(jù)指示矩陣G

的指示，分別搬到：2）用上述

“子塊搬家，對(duì)號(hào)入座”裝配總剛度矩陣的方法也適用于其他任何桿件結(jié)構(gòu)。各單元都按此原則“搬家”后，桁架的總剛度矩陣為：

1234

注意：1）總剛的一個(gè)子塊位置中搬入幾個(gè)子塊時(shí)，這幾個(gè)子塊應(yīng)疊加?？倓偠染仃嚨臉?gòu)造

圖示桁架有4個(gè)結(jié)點(diǎn)，有8個(gè)位移分量。Δ=｛u1v1

u2v2

u3v3

u4v4｝T總剛度矩陣則為8階方陣：子塊行元素行

子塊列

1234

元素列

12345678

將其分成4個(gè)子塊。平面桁架，每一結(jié)點(diǎn)具有兩個(gè)位移分量，每一子塊中就有兩行兩列共4個(gè)元素。

1.K32的物理意義是什么？思考：2.k35的物理意義是什么？

1.子塊K32表示結(jié)點(diǎn)2產(chǎn)生單位位移時(shí)引起的結(jié)點(diǎn)3的結(jié)點(diǎn)力。

2.k35表示第5號(hào)位移（結(jié)點(diǎn)3沿X方向的位移）為一單位時(shí)引起沿第3號(hào)位移（結(jié)點(diǎn)2沿y方向的位移）方向的力。這個(gè)力應(yīng)該理解為相當(dāng)于按位移法的基本結(jié)構(gòu)所規(guī)定的結(jié)點(diǎn)2的豎向附加約束的約束反力。4.總剛度矩陣中某一元素的物理意義是什么？

3.對(duì)于空間桁架和平面剛架，每個(gè)子塊中含多少個(gè)元素？思考：

答：1）首先對(duì)其結(jié)點(diǎn)和單元進(jìn)行編號(hào)如圖示。每個(gè)子塊都是由3×3階的9個(gè)元素構(gòu)成的。3）列出剛架的指示矩陣

ij2）列出各單元的用整體坐標(biāo)表示的單元?jiǎng)偠染仃嚍椋浩矫鎰偧軐?duì)號(hào)入座裝配總剛度矩陣為：

12345主子塊：主對(duì)角線上的子塊，副子塊：非主對(duì)角線上的子塊，，相關(guān)單元：連接結(jié)點(diǎn)，單元。相關(guān)結(jié)點(diǎn)：與結(jié)點(diǎn)相鄰的結(jié)點(diǎn)。

相關(guān)單元：與結(jié)點(diǎn)相連的單元。總剛的特點(diǎn)：1）（為結(jié)點(diǎn)的相關(guān)單元）

2）若，非相關(guān)，則

，若為相關(guān)，則（為結(jié)點(diǎn),的相關(guān)單元）

總剛的形成：對(duì)號(hào)入座，同號(hào)相加。單剛子塊在總剛中的分布規(guī)律總結(jié)：解：有關(guān)參數(shù)單剛見教材（略）例：試求圖示剛架的原始剛度矩陣。已知各桿注：課本上有詳細(xì)求解過程圖示剛架原始剛度方程未知未知未知未知已知已知已知已知§3-5支承條件的引入未知未知未知未知已知已知已知已知由于結(jié)點(diǎn)1、4為固定端，故支承約束條件為代入結(jié)構(gòu)原始剛度方程，有和其中為引入支承條件后的結(jié)構(gòu)剛度方程，可寫為：式中：只包括已知結(jié)點(diǎn)荷載，只包括未知結(jié)點(diǎn)位移，此時(shí)的矩陣即為從結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣中刪去與已知為零的結(jié)點(diǎn)位移對(duì)應(yīng)的行和列而得到，稱為結(jié)構(gòu)的剛度矩陣或縮減的總剛。

此時(shí)，由于引入支承條件，消除了結(jié)構(gòu)的任意剛體位移，故結(jié)構(gòu)剛度矩陣為非奇異矩陣，可得到未知結(jié)點(diǎn)位移的唯一解。（若此時(shí)結(jié)構(gòu)剛度矩陣仍奇異，說明原結(jié)構(gòu)為幾何可變或瞬變體系）。

求出未知結(jié)點(diǎn)位移后，可由單元?jiǎng)偠确匠逃?jì)算各單元的內(nèi)力。整體坐標(biāo)系下，單元桿端力為：可求得局部坐標(biāo)系下單元桿端力或：局部坐標(biāo)系下單元桿端結(jié)點(diǎn)位移同樣可求得局部坐標(biāo)系下單元桿端力求出未知結(jié)點(diǎn)位移后，由式可計(jì)算支座反力。

但是，當(dāng)全部桿件的內(nèi)力都求出后，一般可由結(jié)點(diǎn)平衡條件求支座反力更方便。24圖示剛架的原始剛度矩陣

舍棄與約束所對(duì)應(yīng)的行和列，得到引進(jìn)了支座條件后的總剛度矩陣：

這就是后處理法，即先集成總剛度矩陣，然后再引進(jìn)約束條件。還有先處理法，即先引進(jìn)支座條件，然后集成總剛度矩陣。(暫略)

1234引進(jìn)約束條件后的剛度方程：

通過求解線性代數(shù)方程組的方法求出未知的結(jié)點(diǎn)位移向量。圖示平面桁架結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)的原始剛度方程為：123431241234②③①(a)(b)(c)

對(duì)于平面剛架單元，若單元上作用著非結(jié)點(diǎn)荷載，則單元的桿端力將由兩部分構(gòu)成。一部分是由結(jié)點(diǎn)位移所引起的，另一部分是非結(jié)點(diǎn)荷載作用而直接引起的桿端力,即固端內(nèi)力。§3-6非結(jié)點(diǎn)荷載的處理3124(b)

同位移法，剛結(jié)點(diǎn)處施加附加鏈桿和附加剛臂阻止所有結(jié)點(diǎn)的線位移和角位移，此時(shí)各單元有固端力，附加鏈桿和附加剛臂上有附加反力和附加反力矩。由結(jié)點(diǎn)平衡條件可知，附加聯(lián)系上的附加反力等于匯交于該結(jié)點(diǎn)的各固端力的代數(shù)和。某單元e受非結(jié)點(diǎn)荷載作用，單元局部坐標(biāo)系中的固端力為：固端大小可由固端內(nèi)力表查得，P252表10-3。1234（c）取消附加聯(lián)系，相當(dāng)于在結(jié)點(diǎn)上施加了與上述附加反力和附加反力矩反號(hào)的荷載，此荷載成為原結(jié)構(gòu)上非結(jié)點(diǎn)荷載的等效結(jié)點(diǎn)荷載。注意：這里“等效”指圖（a）和圖（c）的結(jié)點(diǎn)位移相等整體坐標(biāo)系中的固端力為：將各分量反號(hào)并對(duì)號(hào)入座送到荷載列陣中去，即為等效結(jié)點(diǎn)荷載。任一結(jié)點(diǎn)i上的等效結(jié)點(diǎn)荷載FEi為：

如果除了非結(jié)點(diǎn)荷載的等效結(jié)點(diǎn)荷載FEi外，結(jié)點(diǎn)i上還作用有直接結(jié)點(diǎn)荷載FDi，則i點(diǎn)總的結(jié)點(diǎn)荷載為：結(jié)點(diǎn)i的綜合結(jié)點(diǎn)荷載整個(gè)結(jié)構(gòu)的綜合結(jié)點(diǎn)荷載

各單元最后的桿端力是固端力和綜合結(jié)點(diǎn)荷載作用下產(chǎn)生的桿端力之和，即和或表

:

單元固端約束力（局部坐標(biāo)系）

荷載簡(jiǎn)圖

始

端

1末

端

21

2

122abFP-表

:

單元固端約束力（局部坐標(biāo)系）

3

4

表

:

單元固端約束力（局部坐標(biāo)系）

5

6

表

:

單元固端約束力（局部坐標(biāo)系）

7

計(jì)算步驟：（1）對(duì)結(jié)點(diǎn)和單元進(jìn)行編號(hào)，選定整體坐標(biāo)系和局部坐標(biāo)系；（2）計(jì)算各桿的單元?jiǎng)偠染仃?；?）形成結(jié)構(gòu)原始剛度矩陣；（4）計(jì)算固端力、等效結(jié)點(diǎn)荷載和綜合結(jié)點(diǎn)荷載；（5）引入支承條件，修改結(jié)構(gòu)原始剛度方程，得到縮減總剛；（6）結(jié)算結(jié)構(gòu)剛度方程，求出結(jié)點(diǎn)位移；（7）計(jì)算各單元桿端力?！?-7桿系結(jié)構(gòu)有限元法的計(jì)算步驟和示例[K]

求單元常數(shù)[T]{F}原始數(shù)據(jù)、局部碼、總碼解方程{F}=[K]{}

求出結(jié)點(diǎn)位移{}開始單元?jiǎng)偠染仃噆e單元固端力e結(jié)束[K]{}={F}{FP}+=程序設(shè)計(jì)框圖求桿端力eeee123430KN/m100KN50KN2m2m4mxy②①③10-1求圖示剛架的內(nèi)力。已知各桿材料及截面相同。（1）將單元、結(jié)點(diǎn)編號(hào)，確定坐標(biāo)系，如圖所示。（2）求出各單元在整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚕姇鳳247。（3）將各單剛子塊對(duì)號(hào)入座，形成結(jié)構(gòu)原始剛度矩陣，見書P248。（4）計(jì)算非結(jié)點(diǎn)荷載作用下的各單元固端力、等效結(jié)點(diǎn)荷載及綜合結(jié)點(diǎn)荷載。對(duì)局部坐標(biāo)和整體坐標(biāo)不一致的單元，要對(duì)剛度、荷載進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。各單元在其局部坐標(biāo)系下的固端力為：經(jīng)過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，得到各單元在整體坐標(biāo)系下的固端力為：結(jié)點(diǎn)2、3上的等效結(jié)點(diǎn)荷載為：結(jié)點(diǎn)2、3上的綜合結(jié)點(diǎn)荷載為：123430KN/m100KN50KN2m2m4mxy②①③結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)外力列向量為這里，F(xiàn)1和F4應(yīng)為綜合結(jié)點(diǎn)荷載和支座反力的代數(shù)和，其中支座反力仍為未知量；引入支承條件時(shí)，F(xiàn)1和F4將被劃掉，因此不必計(jì)算其等效結(jié)點(diǎn)荷載和綜合結(jié)點(diǎn)荷載。結(jié)構(gòu)原始剛度方程見書P256（5）引入支承條件，修改原始剛度方程。結(jié)點(diǎn)1、4為固定端，位移已知：代入原始剛度方程，得到修改后的結(jié)構(gòu)剛度方程為（6）解方程，求得未知結(jié)點(diǎn)位移為：（7）計(jì)算各單元桿端力，見書P258。解:(1)

對(duì)應(yīng)結(jié)點(diǎn)及各單元編號(hào)。

例3-3平面剛架如圖所示，各桿截面相同。A=0.24m2,

E=1×107kN/m2,I=0.0072m4，試求各桿端力，并畫出內(nèi)力圖。Cx單元單元坐標(biāo)x軸αCy1→3①45°14×105

0.12×105

②2→30°2.8285×105

0.0849×105

0°lEAB=lEIi=3→410.707110.7070.12×105

4×105

(2)列出單元參數(shù)表

整體坐標(biāo)表示的單元?jiǎng)偠染仃嚬?/p>

(3)列出單元?jiǎng)偠染仃噯卧伲蹫椋?/p>

單元②為：

(4)集合總剛

123

4

(5)引入支座條件

取出自由結(jié)點(diǎn)3所對(duì)應(yīng)的子塊,構(gòu)成考慮約束條件后的總剛度矩陣123

4

(6)計(jì)算荷載向量

先求出單元3的非結(jié)點(diǎn)荷載引起的固端內(nèi)力，然后將固端內(nèi)力反向加到結(jié)點(diǎn)上去。

荷載向量為(7)建立結(jié)構(gòu)剛度方程并求解結(jié)構(gòu)剛度方程為F=KΔ

即由此解出u3=7.428×105v3=－48.285×10-5θ3=47.995×10-5所以結(jié)點(diǎn)位移向量為：(8)計(jì)算桿端力Δ(e)可根據(jù)單元兩端結(jié)點(diǎn)號(hào)直接由結(jié)點(diǎn)位移向量Δ中取出

1)計(jì)算單元坐標(biāo)變換矩陣T(e)2)計(jì)算各單元的單元坐標(biāo)表示的單元?jiǎng)偠染仃?)計(jì)算各單元桿端力向量單元①單元②單元③作用非結(jié)點(diǎn)荷載,固端內(nèi)力向量為

(9)畫出結(jié)構(gòu)內(nèi)力圖

解:(1)整理原始數(shù)據(jù)并編號(hào)。各跨的線剛度相等,i=EI／12。進(jìn)行結(jié)點(diǎn)編號(hào)、位移編號(hào)、單元編號(hào)。

例3-4用矩陣位移法計(jì)算圖所示的連續(xù)梁的內(nèi)力。EI=常數(shù)。(2)建立結(jié)點(diǎn)位移向量Δ

(3)

建立各單元的定位向量

各單元的單元定位向量分別由該單元兩端的位移編號(hào)組成:(4)計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃嚒＿B續(xù)梁的單元局部坐標(biāo)系與結(jié)構(gòu)整體坐標(biāo)系平行，0

1

12

23有(5)

集成整體剛度矩陣K(注意定位與累加)

011223；；；(6)形成荷載向量F

計(jì)算單元固端內(nèi)力；將固端內(nèi)力反向加到結(jié)點(diǎn)上去；同一結(jié)點(diǎn)上同向的力疊加而成。荷載向量為:(7)建立結(jié)構(gòu)整體剛度方程，并求解結(jié)點(diǎn)位移向Δ解得結(jié)點(diǎn)位移向量Δ為整體剛度方程K⊿=F(8)計(jì)算各桿的桿端內(nèi)力

由

算得各桿的桿端內(nèi)力（彎矩）為

由各桿的桿端內(nèi)力（彎矩），則可繪出彎矩圖。其結(jié)果與用力矩分配法計(jì)算的結(jié)果相同。

1、結(jié)點(diǎn)位移分量的編號(hào)，單元定位向量(2)對(duì)位移編號(hào)時(shí)，按結(jié)點(diǎn)的順序進(jìn)行，一個(gè)結(jié)點(diǎn)內(nèi)的編號(hào)又按x方向、y方向的線位移和轉(zhuǎn)角順序進(jìn)行。(1)對(duì)每一個(gè)結(jié)點(diǎn)編號(hào)，還要對(duì)每一個(gè)位移也編號(hào)。凡是約束對(duì)應(yīng)的位移編為零號(hào)（前處理法）。

結(jié)點(diǎn)位移編號(hào)數(shù)組中的最后一個(gè)數(shù)就表示了該結(jié)構(gòu)未知數(shù)的數(shù)目。

編號(hào):§3-8幾點(diǎn)補(bǔ)充說明

建立各單元的定位向量

單元的定位向量λ(e)

：把某一單元兩端結(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的位移號(hào)按照由始端到末端的次序所列成的列向量稱為該單元的定位向量。圖示剛架各單元的定位向量為：形成總剛度矩陣

思考:定位向量中“零”所對(duì)應(yīng)的單元?jiǎng)偠染仃囍械脑匕崛肟倓偠染仃囍泻挝恢茫?/p>

按定位向量所指示的位置把單元?jiǎng)偠染仃囍械母髟匕崛肟倓偠染仃?/p>

2、總剛的帶寬與存儲(chǔ)方式

結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣具有大量的零元素，這種矩陣稱為稀疏矩陣。同時(shí)，那些非零元素通常集中在主對(duì)角線附近的斜帶形區(qū)域內(nèi)，成為帶狀矩陣

在帶狀矩陣中，每行(列)從主對(duì)角線元素起至該行(列)最外一個(gè)非零元素止所包含的元素個(gè)數(shù)，成為該行(列)的帶寬。某行(列)帶寬=該行(列)結(jié)點(diǎn)位移分量號(hào)-最小相關(guān)結(jié)點(diǎn)位移分量號(hào)+1所有各行(列)帶寬中的最大值稱為矩陣的最大帶寬最大帶寬=相關(guān)結(jié)點(diǎn)位移分量號(hào)的最大差值+1等帶寬存貯滿陣存貯634512135642（1,2,3）（4,5,6）（7,8,9）（13,14,15）（10,11,12）（16,17,18）

等半帶寬與結(jié)點(diǎn)編碼有關(guān)19層12343940總剛占用存貯單元:122021401922總剛占用存貯單元:39最大帶寬=(相關(guān)結(jié)點(diǎn)編號(hào)的最大差值+1)×

3即:

最大帶寬＝［max(j-i)+1］×33、關(guān)于支承條件的引入(1)置大數(shù)法（N為一個(gè)充分大的數(shù)）做法:取大數(shù)N,總剛中元素乘以N;并用替換若已知第j個(gè)位移分量為已知值

(2)化零置一法（精確方法）做法:(1)用[中的第j列]代替(2)將總剛中第j行第j列的非主對(duì)角元素置0;(3)將總剛中主對(duì)角元素置為1,總荷中元素置成經(jīng)邊界條件處理后的總剛稱為結(jié)構(gòu)剛度矩陣

4、先處理支承條件及忽略軸向變形影響

先處理法：將約束已經(jīng)消除的結(jié)點(diǎn)位移排除在剛度方程之外。集成總剛度矩陣時(shí)根本不需考慮約束結(jié)點(diǎn)的存在。目的是減少未知數(shù)的數(shù)目，縮小總剛度矩陣的體積，減少計(jì)算工作量。

集成總剛陣時(shí)必須使用整體坐標(biāo)表示的單元?jiǎng)偠染仃嚒?/p>

用先處理法集成總剛陣時(shí)必須先建立各單元的定位向量λ根據(jù)定位向量的指引將單剛陣中的元素逐個(gè)搬入總剛度矩陣中。

用后處理法集成總剛陣時(shí)必須先集成原始總剛度矩陣。集成原始總剛陣時(shí)應(yīng)根據(jù)結(jié)點(diǎn)編號(hào)情況指示矩陣G以子塊搬家的方式將單剛陣中的子塊逐個(gè)搬入總剛度矩陣中。如不考慮軸向變形的單元由6×6剛度矩陣劃去1、4行和列后可得平面剛架程序的擴(kuò)大功能:1.平面桁架2.桁梁組合體系3.斜向支座4.彈性支座5.彈性地基6.帶鉸結(jié)點(diǎn)的剛架

例3-5

平面桁架如圖所示，各桿截面EA均為常數(shù)。已知F1=20kN,F2=30kN,F3=40kN，試用先處理法求各桿軸力。

解(1)對(duì)結(jié)點(diǎn)和單元編號(hào)。

(2)

列表表示各單元參數(shù)

→→→→→→單元參數(shù)表(3)

列出各單元的定位向量

(4)列出各單元?jiǎng)偠染仃?整體坐標(biāo))并配以定位向量。

0

0010123

23000000

00230100(5)

集成總剛度矩陣

按照單元?jiǎng)偠染仃嚫餍辛袑?duì)應(yīng)的定位向量中的數(shù)值將該元素搬入總剛陣中。得：

123

(6)建立剛度方程并求解剛度方程為：即解出

結(jié)點(diǎn)位移向量為(7)

計(jì)算單元桿端力（拉）由公式F(e)=K(e)

T(e)

Δ(e)，得單元②（拉）單元⑤

(壓)

其他單元計(jì)算過程從略，結(jié)果為

④單元⑥單元

(拉)

單元③單元(壓）

對(duì)于平面剛架單元，若單元上作用著非結(jié)點(diǎn)荷載，則單元的桿端力將由兩部分構(gòu)成。一部分是由結(jié)點(diǎn)位移所引起的，另一部分是非結(jié)點(diǎn)荷載作用而直接引起的桿端力,即固端內(nèi)力。

單元的桿端力將是兩部分之和,即這就是計(jì)算桿端力的完整的公式。固端內(nèi)力向量可由固端內(nèi)力表查得。

矩陣位移法與位移法在理論上并無區(qū)別，只是在表達(dá)方式上有所不同。(1)矩陣位移法的理論基礎(chǔ)與一般位移法完全相同，只是表達(dá)方式不同。用矩陣形式表示具有更強(qiáng)的概括性。

(2)總剛度矩陣是由各單元?jiǎng)偠染仃囇b配成的，只要找出了裝配的規(guī)律，總剛度矩陣不必計(jì)算而可直接由單元?jiǎng)偠染仃囇b配而成。(3)矩陣位移法與一般位移法解題步驟的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以由下表表示：§3-9總結(jié)

例：圖示梁用矩陣位移法求解時(shí)的基本未知量數(shù)目為多少？解：基本未知量數(shù)目為2，即A點(diǎn)的豎向位移和轉(zhuǎn)角。三、例題例：圖示結(jié)構(gòu)中單元①的定位向量為——。C.（001324）T

B.（234001）T

D.（324001）T

A.（001234）T

解：答案為B。

例：圖示結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣K中元素k22等于（）

D.16EI/l

A.28EI/3l

B.12EI/l

C.20EI/3l

解：答案選A。

例：矩陣位移法中，結(jié)構(gòu)的原始剛度方程是表示下列兩組量值之間的相互關(guān)系：（）A．桿端力與結(jié)點(diǎn)位移B．桿端力與結(jié)點(diǎn)力

C．結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移D．結(jié)點(diǎn)位移與桿端力

解：答案選C。

例：平面桿件結(jié)構(gòu)用后處理法建立的原始剛度方程組,（）A．可求得全部結(jié)點(diǎn)位移B．可求得可動(dòng)結(jié)點(diǎn)的位移C．可求得支座結(jié)點(diǎn)位移D．無法求得結(jié)點(diǎn)位移解：答案選D。

例：圖示結(jié)構(gòu)若考慮軸向變形，在未引入支撐條件時(shí)，其整體剛度矩陣K是____階方陣。

解：答案為21×21。

例：圖示結(jié)構(gòu)若只考慮彎曲變形，括號(hào)中的數(shù)字為結(jié)點(diǎn)位移分量編碼，則其整體剛度矩陣中元素k11等于（）.A.

B.

C.

D.

解：答案選D。

提示：在不考率軸向變形時(shí)，結(jié)點(diǎn)2和結(jié)點(diǎn)3只有水平位移和轉(zhuǎn)角，桿件12對(duì)k11的貢獻(xiàn)為12×（2EI）／l3，桿件34對(duì)k11的貢獻(xiàn)為12×EI／（l／2）3。

例：用矩陣位移法計(jì)算圖a所示連續(xù)梁,并畫M圖，EI=常數(shù)。q=12kN/m,l=6m。

解：

(1)建立坐標(biāo)系、對(duì)單元和結(jié)點(diǎn)編號(hào)如圖b，單元?jiǎng)偠染仃?/p>

單元定位向量λ①=（0