第3章靜態(tài)場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解

本章內(nèi)容

3.1

靜電場(chǎng)分析

3.2

導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場(chǎng)分析

3.3

恒定磁場(chǎng)分析

3.4

靜態(tài)場(chǎng)的邊值問(wèn)題及解的惟一性定理

3.5

鏡像法

3.6

分離變量法靜態(tài)電磁場(chǎng)：場(chǎng)量不隨時(shí)間變化，包括：

靜電場(chǎng)、恒定電場(chǎng)和恒定磁場(chǎng)第3章靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解12.邊界條件微分形式：本構(gòu)關(guān)系：1.基本方程積分形式：或3.1.1靜電場(chǎng)的基本方程和邊界條件2負(fù)號(hào)表示電場(chǎng)強(qiáng)度的方向從高電位指向低電位。在直角坐標(biāo)系中1.電位函數(shù)的定義3.1.2

電位函數(shù)矢量恒等式由根據(jù)E與的微分關(guān)系，試問(wèn)靜電場(chǎng)中的某一點(diǎn)??所以32.電位的表達(dá)式對(duì)于連續(xù)的體分布電荷，由故得43.電位差兩端點(diǎn)乘，則有將上式兩邊從點(diǎn)P到點(diǎn)Q沿任意路徑進(jìn)行積分，得關(guān)于電位差的說(shuō)明電位差等于電場(chǎng)力所做的功電位差也稱為電壓，可用U表示；

電位差有確定值，只與首尾兩點(diǎn)位置有關(guān)，與積分路徑無(wú)關(guān)。P、Q兩點(diǎn)間的電位差電場(chǎng)力做的功5靜電位不惟一，可以相差一個(gè)常數(shù)，即選參考點(diǎn)令參考點(diǎn)電位為零電位確定值(電位差)兩點(diǎn)間電位差有定值

選擇電位參考點(diǎn)的原則

應(yīng)使電位表達(dá)式有意義；應(yīng)使電位表達(dá)式最簡(jiǎn)單。若電荷分布在有限區(qū)域，通常取無(wú)限遠(yuǎn)作電位參考點(diǎn)；

同一個(gè)問(wèn)題只能有一個(gè)參考點(diǎn)。4.電位參考點(diǎn)6在均勻介質(zhì)中，有5.

電位的微分方程在無(wú)源區(qū)域，標(biāo)量泊松方程拉普拉斯方程76.靜電位的邊界條件

設(shè)P1和P2是介質(zhì)分界面兩側(cè)緊貼界面的相鄰兩點(diǎn)，其電位分別為1和2。當(dāng)兩點(diǎn)間距離⊿l→0時(shí)若介質(zhì)分界面上無(wú)自由電荷，即導(dǎo)體表面上電位的邊界條件：由和媒質(zhì)2媒質(zhì)1常數(shù)，8

1.電容：導(dǎo)體系統(tǒng)的基本屬性，描述導(dǎo)體系統(tǒng)儲(chǔ)存電荷的能力。孤立導(dǎo)體的電容定義為所帶電量q與其電位的比值，即孤立導(dǎo)體的電容兩個(gè)帶等量異號(hào)電荷（q）的導(dǎo)體組成的電容器，其電容為電容的大小只與導(dǎo)體系統(tǒng)的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質(zhì)的特性參數(shù)有關(guān)，而與導(dǎo)體的帶電量和電位無(wú)關(guān)。

3.1.3導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容9

(1)假定兩導(dǎo)體上分別帶電荷+q和-q；

(2)計(jì)算兩導(dǎo)體間的電場(chǎng)強(qiáng)度E；

計(jì)算電容的步驟：

(4)求比值，即得出所求電容。

(3)由 ，求出兩導(dǎo)體間的電位差；10

例3.1.5

同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為為b，內(nèi)外導(dǎo)體間填充的介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)，求同軸線單位長(zhǎng)度的電容。內(nèi)外導(dǎo)體間的電位差

解

設(shè)同軸線的內(nèi)、外導(dǎo)體單位長(zhǎng)度帶電量分別為和，應(yīng)用高斯定理可得到內(nèi)外導(dǎo)體間任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為故得同軸線單位長(zhǎng)度的電容為同軸線112＊

部分電容（自學(xué)）

在多導(dǎo)體系統(tǒng)中，任何兩個(gè)導(dǎo)體間的部分電容。121.靜電場(chǎng)的能量

設(shè)系統(tǒng)從零開始充電，最終帶電量為q、電位為

。充電過(guò)程中某一時(shí)刻的電荷量為αq、電位為α。(0≤α≤1)

當(dāng)α增加為(α+dα)時(shí)，外電源做功為:α

(qdα)。對(duì)α從0到1積分，即得到外電源所做的總功為根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電量為q的帶電體具有的電場(chǎng)能量We，即3.1.4靜電場(chǎng)的能量

132.電場(chǎng)能量密度

從場(chǎng)的觀點(diǎn)來(lái)看，靜電場(chǎng)的能量分布于電場(chǎng)所在的整個(gè)空間。

電場(chǎng)能量密度：

電場(chǎng)的總能量：積分區(qū)域?yàn)殡妶?chǎng)所在的整個(gè)空間

對(duì)于線性、各向同性介質(zhì)，則有14

例3.1.7

半徑為a的球形空間內(nèi)均勻分布有電荷體密度為ρ的電荷，試求靜電場(chǎng)能量。

解：方法一，利用計(jì)算根據(jù)高斯定理求得電場(chǎng)強(qiáng)度故15方法二：利用計(jì)算先求出電位分布故16虛位移法（自學(xué)）3.1.5靜電力173.2導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場(chǎng)分析1.基本方程微分形式：積分形式：線性各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系

恒定電場(chǎng)的電位函數(shù)由若媒質(zhì)是均勻的，則均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中沒(méi)有體分布電荷182.恒定電場(chǎng)的邊界條件媒質(zhì)2媒質(zhì)1場(chǎng)矢量的邊界條件即即導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上的電荷面密度場(chǎng)矢量的折射關(guān)系19電位的邊界條件恒定電場(chǎng)同時(shí)存在于導(dǎo)體內(nèi)部和外部，在導(dǎo)體表面上的電場(chǎng)既有法向分量又有切向分量，電場(chǎng)并不垂直于導(dǎo)體表面，因而導(dǎo)體表面不是等位面；說(shuō)明：20媒質(zhì)2媒質(zhì)1媒質(zhì)2媒質(zhì)1如2>>σ1、且2≠90°，則1＝0，即電場(chǎng)線近似垂直于與良導(dǎo)體表面。此時(shí)，良導(dǎo)體表面可近似地看作為等位面；

若媒質(zhì)1為理想介質(zhì)，即1＝0，則

J1=0，故J2n=0且

E2n=0，即導(dǎo)體中的電流和電場(chǎng)與分界面平行。21恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬基本方程靜電場(chǎng)（區(qū)域）本構(gòu)關(guān)系位函數(shù)邊界條件恒定電場(chǎng)（電源外）對(duì)應(yīng)物理量靜電場(chǎng)恒定電場(chǎng)22

工程上絕緣材料的電導(dǎo)率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于金屬材料的電導(dǎo)率，但不為零，必定會(huì)有微小的漏電流J存在。漏電流與電壓之比為漏電導(dǎo)，即其倒數(shù)稱為絕緣電阻，即3.2.3漏電導(dǎo)23

計(jì)算電導(dǎo)的方法一：

計(jì)算電導(dǎo)的方法二：

計(jì)算電導(dǎo)的方法三：靜電比擬法：24

例3.2.1

同軸電纜內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為b。內(nèi)外導(dǎo)體填充介電常數(shù)為

、電導(dǎo)率為

的媒質(zhì)。計(jì)算同軸線單位長(zhǎng)度的絕緣電阻。

解電流由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體，在分界面上只有法向分量，所以電流密度成軸對(duì)稱分布。25得到絕緣電阻為方法二：靜電比擬法26為危險(xiǎn)區(qū)半徑

跨步電壓(StepVoltage)以淺埋半球接地器為例人體的安全電壓U0≤40V圖2.5.7

半球形接地器的危險(xiǎn)區(qū)27微分形式:1.基本方程2.邊界條件本構(gòu)關(guān)系：或若分界面上不存在面電流，即JS＝0，則積分形式:或

3.3恒定磁場(chǎng)分析28矢量磁位的定義磁矢位的任意性由只規(guī)定了它的旋度，沒(méi)有規(guī)定其散度造成的。為了確定A，可以對(duì)A的散度加以限制，在恒定磁場(chǎng)中通常規(guī)定，并稱為庫(kù)侖規(guī)范。1.恒定磁場(chǎng)的矢量磁位矢量磁位或稱磁矢位

3.3.2矢量磁位和標(biāo)量磁位29磁矢位的微分方程在無(wú)源區(qū)：矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程磁矢位的表達(dá)式（可以證明滿足）30磁矢位的邊界條件利用磁矢位計(jì)算磁通量：312.標(biāo)量磁位無(wú)傳導(dǎo)電流（J＝0）的空間中有標(biāo)量磁位或磁標(biāo)位磁標(biāo)位的微分方程(均勻線性各向同性介質(zhì)32標(biāo)量磁位的邊界條件在線性、各向同性的均勻媒質(zhì)中和33靜電位 磁標(biāo)位

磁標(biāo)位與靜電位的比較靜電位

磁標(biāo)位

m

341.磁通與磁鏈

3.3.3電感單匝線圈形成的回路的磁鏈定義為穿過(guò)該回路的磁通量多匝線圈形成的導(dǎo)線回路的磁鏈定義為所有線圈的磁通總和

CI細(xì)回路粗導(dǎo)線構(gòu)成的回路，磁鏈分為兩部分：一部分是粗導(dǎo)線包圍的、磁力線不穿過(guò)導(dǎo)體的外磁通量o

；另一部分是磁力線穿過(guò)導(dǎo)體、只有粗導(dǎo)線的一部分包圍的內(nèi)磁通量i。iCIo粗回路35設(shè)回路C中的電流為I，所產(chǎn)生的磁場(chǎng)與回路C交鏈的磁鏈為，則磁鏈與回路C中的電流I有正比關(guān)系，其比值稱為回路C的自感系數(shù)，簡(jiǎn)稱自感?！庾愿?.自感——內(nèi)自感；粗導(dǎo)體回路的自感：L=Li+Lo自感只與回路的幾何形狀、尺寸以及周圍磁介質(zhì)有關(guān)，與電流無(wú)關(guān)。自感的特點(diǎn)：36

解：先求內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感。設(shè)同軸線中的電流為I，由安培環(huán)路定理穿過(guò)沿軸線單位長(zhǎng)度的矩形面積元dS=d的磁通為

例3.3.4

求同軸線單位長(zhǎng)度的自感。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體厚度可忽略不計(jì)，其半徑為b，空氣填充。得與dΦi交鏈的電流為則與dΦi相應(yīng)的磁鏈為37因此內(nèi)導(dǎo)體中總的內(nèi)磁鏈為故單位長(zhǎng)度的內(nèi)自感為再求內(nèi)、外導(dǎo)體間的外自感。則故單位長(zhǎng)度的外自感為單位長(zhǎng)度的總自感為38互感只與回路的幾何形狀、尺寸、兩回路的相對(duì)位置以及周圍磁介質(zhì)有關(guān)，而與電流無(wú)關(guān)。滿足互易關(guān)系，即M12=M21互感3.3.41紐曼公式393.3.4恒定磁場(chǎng)的能量

對(duì)于多個(gè)載流回路，則有對(duì)于體分布電流，則有例如，兩個(gè)電流回路C1和回路C2回路C2的自有能回路C1的自有能C1和C2的互能402.磁場(chǎng)能量密度

從場(chǎng)的觀點(diǎn)來(lái)看，磁場(chǎng)能量分布于磁場(chǎng)所在的整個(gè)空間。

磁場(chǎng)能量密度：

磁場(chǎng)的總能量：積分區(qū)域?yàn)閳?chǎng)所在的整個(gè)空間

對(duì)于線性、各向同性介質(zhì)，則有413.3.5

磁場(chǎng)力

安培力虛位移法（自學(xué)）42在場(chǎng)域V的邊界面S上給定或的值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場(chǎng)域V具有惟一值。3.4惟一性定理

惟一性定理的重要意義給出了靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題具有惟一解的條件為靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的各種求解方法提供了理論依據(jù)為求解結(jié)果的正確性提供了判據(jù)

惟一性定理的表述43鏡像法（電軸法）

鏡像法（電軸法）的理論基礎(chǔ)是：

鏡像法（電軸法）的實(shí)質(zhì)是：鏡像法（電軸法）的關(guān)鍵是：

鏡像電荷（電軸）只能放在待求場(chǎng)域以外的區(qū)域。疊加時(shí)，要注意場(chǎng)的適用區(qū)域。

用虛設(shè)的鏡像電荷（電軸）替代未知電荷的分布，使計(jì)算場(chǎng)域?yàn)闊o(wú)限大均勻媒質(zhì)；靜電場(chǎng)惟一性定理；確定鏡像電荷（電軸）的個(gè)數(shù)、大小及位置；應(yīng)用鏡像法（電軸法）解題時(shí)，注意：441.點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像滿足原問(wèn)題的邊界條件，所得的結(jié)果是正確的。3.5.1接地導(dǎo)體平面的鏡像鏡像電荷電位函數(shù)因z=0時(shí)，q有效區(qū)域q45上半空間(z≥0）的電位函數(shù)q

導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷密度為導(dǎo)體平面上的總感應(yīng)電荷為462.線電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像鏡像線電荷：滿足原問(wèn)題的邊界條件，所得的解是正確的。電位函數(shù)原問(wèn)題有效區(qū)域當(dāng)z=0時(shí)，473.點(diǎn)電荷對(duì)相交半無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像電位函數(shù)qd1d22RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d1483.5.2導(dǎo)體球面的鏡像1.點(diǎn)電荷對(duì)接地導(dǎo)體球面的鏡像PqarRdqPaq'rR'Rdd'（除q點(diǎn)外的空間)49像電荷的電量qPaq'aR'Rdd'鏡像電荷位置球外的電位函數(shù)為感應(yīng)電荷50可見，導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷也與所設(shè)置的鏡像電荷相等。導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷為

用鏡像法求解下列問(wèn)題，試確定鏡像電荷的個(gè)數(shù)，大小與位置。思考(a) (b) (c) 51球外任意點(diǎn)的電位為qPaq'rR'Rdd'q"2.點(diǎn)電荷對(duì)不接地導(dǎo)體球的鏡像523.5.3導(dǎo)體圓柱面的鏡像問(wèn)題：如圖1所示，一根電荷線密度為的無(wú)限長(zhǎng)線電荷位于半徑為a的無(wú)限長(zhǎng)接地導(dǎo)體圓柱面外，與圓柱的軸線平行且到軸線的距離為d。圖1線電荷與導(dǎo)體圓柱圖2線電荷與導(dǎo)體圓柱的鏡像特點(diǎn)：在導(dǎo)體圓柱面上有感應(yīng)電荷，圓軸外的電位由線電荷與感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生。分析方法：鏡像電荷是圓柱面內(nèi)部與軸線平行的無(wú)限長(zhǎng)線電荷，如圖2所示。1.線電荷對(duì)接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像53由于上式對(duì)任意的Φ都成立，因此，將上式對(duì)Φ求導(dǎo)，可以得到由于導(dǎo)體圓柱接地，所以當(dāng)時(shí)，電位應(yīng)為零，即

所以有設(shè)鏡像電荷的線密度為，且距圓柱的軸線為，則由和共同產(chǎn)生的電位函數(shù)54導(dǎo)體圓柱面外的電位函數(shù)：由時(shí)，故導(dǎo)體圓柱面上的感應(yīng)電荷面密度為導(dǎo)體圓柱面上單位長(zhǎng)度的感應(yīng)電荷為導(dǎo)體圓柱面上單位長(zhǎng)度的感應(yīng)電荷與所設(shè)置的鏡像電荷相等。552.兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸圖1兩平行圓柱導(dǎo)體圖2兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸特點(diǎn)：由于兩圓柱帶電導(dǎo)體的電場(chǎng)互相影響，使導(dǎo)體表面的電荷分布不均勻，相對(duì)的一側(cè)電荷密度大，而相背的一側(cè)電荷密度較小。分析方法：將導(dǎo)體表面上的電荷用線密度分別為、且相距為2b的兩根無(wú)限長(zhǎng)帶電細(xì)線來(lái)等效替代，如圖2所示。問(wèn)題：如圖1所示，兩平行導(dǎo)體圓柱的半徑均為a，兩導(dǎo)體軸線間距為2h，單位長(zhǎng)度分別帶電荷和。56圖2兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸通常將帶電細(xì)線的所在的位置稱為圓柱導(dǎo)體的電軸，因而這種方法又稱為電軸法。由

利用線電荷與接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像確定b

。思考：能否用電軸法求解半徑不同的兩平行圓柱導(dǎo)體問(wèn)題？57

試決定圖示不同半徑平行長(zhǎng)直導(dǎo)線的電軸位置。圖1.7.17不同半徑傳輸線的電軸位置解：583.5.3點(diǎn)電荷與無(wú)限大電介質(zhì)平面的鏡像

圖1點(diǎn)電荷與電介質(zhì)分界平面特點(diǎn)：在點(diǎn)電荷的電場(chǎng)作用下，電介質(zhì)產(chǎn)生極化，在介質(zhì)分界面上形成極化電荷分布。此時(shí)，空間中任一點(diǎn)的電場(chǎng)由點(diǎn)電荷與極化電荷共同產(chǎn)生。圖2介質(zhì)1的鏡像電荷問(wèn)題：如圖1所示，介電常數(shù)分別為和的兩種不同電介質(zhì)的分界面是無(wú)限大平面，在電介質(zhì)1中有一個(gè)點(diǎn)電荷q，距分界平面為h。分析方法：計(jì)算電介質(zhì)1中的電位時(shí)，用位于介質(zhì)2中的鏡像電荷來(lái)代替分界面上的極化電荷，并把整個(gè)空間看作充滿介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)，如圖2所示。59介質(zhì)1中的電位為計(jì)算電介質(zhì)2中的電位時(shí)，用位于介質(zhì)1中的鏡像電荷來(lái)代替分界面上的極化電荷，并把整個(gè)空間看作充滿介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)，如圖3所示。介質(zhì)2中的電位為圖3介質(zhì)2的鏡像電荷60可得到說(shuō)明：對(duì)位于無(wú)限大平表面介質(zhì)分界面附近、且平行于分界面的無(wú)限長(zhǎng)線電荷（單位長(zhǎng)度帶），其鏡像電荷為利用電位滿足的邊界條件61圖1線電流與磁介質(zhì)分界平面圖2磁介質(zhì)1的鏡像線電流特點(diǎn)：在直線電流I產(chǎn)生的磁場(chǎng)作用下，磁介質(zhì)被磁化，在分界面上有磁化電流分布，空間中的磁場(chǎng)由線電流和磁化電流共同產(chǎn)生。問(wèn)題：如圖1所示，磁導(dǎo)率分別為和的兩種均勻磁介質(zhì)的分界面是無(wú)限大平面，在磁介質(zhì)1中有一根無(wú)限長(zhǎng)直線電流平行于分界平面，且與分界平面相距為h。分析方法：在計(jì)算磁介質(zhì)1中的磁場(chǎng)時(shí)，用置于介質(zhì)2中的鏡像線電流來(lái)代替分界面上的磁化電流，并把整個(gè)空間看作充滿磁導(dǎo)率為的均勻介質(zhì)，如圖2所示。3.5.4線電流與無(wú)限大磁介質(zhì)平面的鏡像

62因?yàn)殡娏餮剌S方向流動(dòng)，所以矢量磁位只有分量，則磁介質(zhì)1和磁介質(zhì)2中任一點(diǎn)的矢量磁位分別為圖3磁介質(zhì)2的鏡像線電流在計(jì)算磁介質(zhì)2中的磁場(chǎng)時(shí)，用置于介質(zhì)1中的鏡像線電流來(lái)代替分界面上的磁化電流，并把整個(gè)空間看作充滿磁導(dǎo)率為的均勻介