第3章靜態(tài)場及其邊值問題的解

本章內(nèi)容

3.1

靜電場分析

3.2

導電媒質(zhì)中的恒定電場分析

3.3

恒定磁場分析

3.4

靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理

3.5

鏡像法

3.6

分離變量法靜態(tài)電磁場：場量不隨時間變化，包括：

靜電場、恒定電場和恒定磁場第3章靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解12.邊界條件微分形式：本構(gòu)關(guān)系：1.基本方程積分形式：或3.1.1靜電場的基本方程和邊界條件2負號表示電場強度的方向從高電位指向低電位。在直角坐標系中1.電位函數(shù)的定義3.1.2

電位函數(shù)矢量恒等式由根據(jù)E與的微分關(guān)系，試問靜電場中的某一點??所以32.電位的表達式對于連續(xù)的體分布電荷，由故得43.電位差兩端點乘，則有將上式兩邊從點P到點Q沿任意路徑進行積分，得關(guān)于電位差的說明電位差等于電場力所做的功電位差也稱為電壓，可用U表示；

電位差有確定值，只與首尾兩點位置有關(guān)，與積分路徑無關(guān)。P、Q兩點間的電位差電場力做的功5靜電位不惟一，可以相差一個常數(shù)，即選參考點令參考點電位為零電位確定值(電位差)兩點間電位差有定值

選擇電位參考點的原則

應使電位表達式有意義；應使電位表達式最簡單。若電荷分布在有限區(qū)域，通常取無限遠作電位參考點；

同一個問題只能有一個參考點。4.電位參考點6在均勻介質(zhì)中，有5.

電位的微分方程在無源區(qū)域，標量泊松方程拉普拉斯方程76.靜電位的邊界條件

設(shè)P1和P2是介質(zhì)分界面兩側(cè)緊貼界面的相鄰兩點，其電位分別為1和2。當兩點間距離⊿l→0時若介質(zhì)分界面上無自由電荷，即導體表面上電位的邊界條件：由和媒質(zhì)2媒質(zhì)1常數(shù)，8

1.電容：導體系統(tǒng)的基本屬性，描述導體系統(tǒng)儲存電荷的能力。孤立導體的電容定義為所帶電量q與其電位的比值，即孤立導體的電容兩個帶等量異號電荷（q）的導體組成的電容器，其電容為電容的大小只與導體系統(tǒng)的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質(zhì)的特性參數(shù)有關(guān)，而與導體的帶電量和電位無關(guān)。

3.1.3導體系統(tǒng)的電容與部分電容9

(1)假定兩導體上分別帶電荷+q和-q；

(2)計算兩導體間的電場強度E；

計算電容的步驟：

(4)求比值，即得出所求電容。

(3)由 ，求出兩導體間的電位差；10

例3.1.5

同軸線內(nèi)導體半徑為a，外導體半徑為為b，內(nèi)外導體間填充的介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)，求同軸線單位長度的電容。內(nèi)外導體間的電位差

解

設(shè)同軸線的內(nèi)、外導體單位長度帶電量分別為和，應用高斯定理可得到內(nèi)外導體間任一點的電場強度為故得同軸線單位長度的電容為同軸線112＊

部分電容（自學）

在多導體系統(tǒng)中，任何兩個導體間的部分電容。121.靜電場的能量

設(shè)系統(tǒng)從零開始充電，最終帶電量為q、電位為

。充電過程中某一時刻的電荷量為αq、電位為α。(0≤α≤1)

當α增加為(α+dα)時，外電源做功為:α

(qdα)。對α從0到1積分，即得到外電源所做的總功為根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電量為q的帶電體具有的電場能量We，即3.1.4靜電場的能量

132.電場能量密度

從場的觀點來看，靜電場的能量分布于電場所在的整個空間。

電場能量密度：

電場的總能量：積分區(qū)域為電場所在的整個空間

對于線性、各向同性介質(zhì)，則有14

例3.1.7

半徑為a的球形空間內(nèi)均勻分布有電荷體密度為ρ的電荷，試求靜電場能量。

解：方法一，利用計算根據(jù)高斯定理求得電場強度故15方法二：利用計算先求出電位分布故16虛位移法（自學）3.1.5靜電力173.2導電媒質(zhì)中的恒定電場分析1.基本方程微分形式：積分形式：線性各向同性導電媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系

恒定電場的電位函數(shù)由若媒質(zhì)是均勻的，則均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中沒有體分布電荷182.恒定電場的邊界條件媒質(zhì)2媒質(zhì)1場矢量的邊界條件即即導電媒質(zhì)分界面上的電荷面密度場矢量的折射關(guān)系19電位的邊界條件恒定電場同時存在于導體內(nèi)部和外部，在導體表面上的電場既有法向分量又有切向分量，電場并不垂直于導體表面，因而導體表面不是等位面；說明：20媒質(zhì)2媒質(zhì)1媒質(zhì)2媒質(zhì)1如2>>σ1、且2≠90°，則1＝0，即電場線近似垂直于與良導體表面。此時，良導體表面可近似地看作為等位面；

若媒質(zhì)1為理想介質(zhì)，即1＝0，則

J1=0，故J2n=0且

E2n=0，即導體中的電流和電場與分界面平行。21恒定電場與靜電場的比擬基本方程靜電場（區(qū)域）本構(gòu)關(guān)系位函數(shù)邊界條件恒定電場（電源外）對應物理量靜電場恒定電場22

工程上絕緣材料的電導率遠遠小于金屬材料的電導率，但不為零，必定會有微小的漏電流J存在。漏電流與電壓之比為漏電導，即其倒數(shù)稱為絕緣電阻，即3.2.3漏電導23

計算電導的方法一：

計算電導的方法二：

計算電導的方法三：靜電比擬法：24

例3.2.1

同軸電纜內(nèi)導體半徑為a，外導體半徑為b。內(nèi)外導體填充介電常數(shù)為

、電導率為

的媒質(zhì)。計算同軸線單位長度的絕緣電阻。

解電流由內(nèi)導體流向外導體，在分界面上只有法向分量，所以電流密度成軸對稱分布。25得到絕緣電阻為方法二：靜電比擬法26為危險區(qū)半徑

跨步電壓(StepVoltage)以淺埋半球接地器為例人體的安全電壓U0≤40V圖2.5.7

半球形接地器的危險區(qū)27微分形式:1.基本方程2.邊界條件本構(gòu)關(guān)系：或若分界面上不存在面電流，即JS＝0，則積分形式:或

3.3恒定磁場分析28矢量磁位的定義磁矢位的任意性由只規(guī)定了它的旋度，沒有規(guī)定其散度造成的。為了確定A，可以對A的散度加以限制，在恒定磁場中通常規(guī)定，并稱為庫侖規(guī)范。1.恒定磁場的矢量磁位矢量磁位或稱磁矢位

3.3.2矢量磁位和標量磁位29磁矢位的微分方程在無源區(qū)：矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程磁矢位的表達式（可以證明滿足）30磁矢位的邊界條件利用磁矢位計算磁通量：312.標量磁位無傳導電流（J＝0）的空間中有標量磁位或磁標位磁標位的微分方程(均勻線性各向同性介質(zhì)32標量磁位的邊界條件在線性、各向同性的均勻媒質(zhì)中和33靜電位 磁標位

磁標位與靜電位的比較靜電位

磁標位

m

341.磁通與磁鏈

3.3.3電感單匝線圈形成的回路的磁鏈定義為穿過該回路的磁通量多匝線圈形成的導線回路的磁鏈定義為所有線圈的磁通總和

CI細回路粗導線構(gòu)成的回路，磁鏈分為兩部分：一部分是粗導線包圍的、磁力線不穿過導體的外磁通量o

；另一部分是磁力線穿過導體、只有粗導線的一部分包圍的內(nèi)磁通量i。iCIo粗回路35設(shè)回路C中的電流為I，所產(chǎn)生的磁場與回路C交鏈的磁鏈為，則磁鏈與回路C中的電流I有正比關(guān)系，其比值稱為回路C的自感系數(shù)，簡稱自感?！庾愿?.自感——內(nèi)自感；粗導體回路的自感：L=Li+Lo自感只與回路的幾何形狀、尺寸以及周圍磁介質(zhì)有關(guān)，與電流無關(guān)。自感的特點：36

解：先求內(nèi)導體的內(nèi)自感。設(shè)同軸線中的電流為I，由安培環(huán)路定理穿過沿軸線單位長度的矩形面積元dS=d的磁通為

例3.3.4

求同軸線單位長度的自感。設(shè)內(nèi)導體半徑為a，外導體厚度可忽略不計，其半徑為b，空氣填充。得與dΦi交鏈的電流為則與dΦi相應的磁鏈為37因此內(nèi)導體中總的內(nèi)磁鏈為故單位長度的內(nèi)自感為再求內(nèi)、外導體間的外自感。則故單位長度的外自感為單位長度的總自感為38互感只與回路的幾何形狀、尺寸、兩回路的相對位置以及周圍磁介質(zhì)有關(guān)，而與電流無關(guān)。滿足互易關(guān)系，即M12=M21互感3.3.41紐曼公式393.3.4恒定磁場的能量

對于多個載流回路，則有對于體分布電流，則有例如，兩個電流回路C1和回路C2回路C2的自有能回路C1的自有能C1和C2的互能402.磁場能量密度

從場的觀點來看，磁場能量分布于磁場所在的整個空間。

磁場能量密度：

磁場的總能量：積分區(qū)域為場所在的整個空間

對于線性、各向同性介質(zhì)，則有413.3.5

磁場力

安培力虛位移法（自學）42在場域V的邊界面S上給定或的值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場域V具有惟一值。3.4惟一性定理

惟一性定理的重要意義給出了靜態(tài)場邊值問題具有惟一解的條件為靜態(tài)場邊值問題的各種求解方法提供了理論依據(jù)為求解結(jié)果的正確性提供了判據(jù)

惟一性定理的表述43鏡像法（電軸法）

鏡像法（電軸法）的理論基礎(chǔ)是：

鏡像法（電軸法）的實質(zhì)是：鏡像法（電軸法）的關(guān)鍵是：

鏡像電荷（電軸）只能放在待求場域以外的區(qū)域。疊加時，要注意場的適用區(qū)域。

用虛設(shè)的鏡像電荷（電軸）替代未知電荷的分布，使計算場域為無限大均勻媒質(zhì)；靜電場惟一性定理；確定鏡像電荷（電軸）的個數(shù)、大小及位置；應用鏡像法（電軸法）解題時，注意：441.點電荷對無限大接地導體平面的鏡像滿足原問題的邊界條件，所得的結(jié)果是正確的。3.5.1接地導體平面的鏡像鏡像電荷電位函數(shù)因z=0時，q有效區(qū)域q45上半空間(z≥0）的電位函數(shù)q

導體平面上的感應電荷密度為導體平面上的總感應電荷為462.線電荷對無限大接地導體平面的鏡像鏡像線電荷：滿足原問題的邊界條件，所得的解是正確的。電位函數(shù)原問題有效區(qū)域當z=0時，473.點電荷對相交半無限大接地導體平面的鏡像電位函數(shù)qd1d22RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d1483.5.2導體球面的鏡像1.點電荷對接地導體球面的鏡像PqarRdqPaq'rR'Rdd'（除q點外的空間)49像電荷的電量qPaq'aR'Rdd'鏡像電荷位置球外的電位函數(shù)為感應電荷50可見，導體球面上的總感應電荷也與所設(shè)置的鏡像電荷相等。導體球面上的總感應電荷為

用鏡像法求解下列問題，試確定鏡像電荷的個數(shù)，大小與位置。思考(a) (b) (c) 51球外任意點的電位為qPaq'rR'Rdd'q"2.點電荷對不接地導體球的鏡像523.5.3導體圓柱面的鏡像問題：如圖1所示，一根電荷線密度為的無限長線電荷位于半徑為a的無限長接地導體圓柱面外，與圓柱的軸線平行且到軸線的距離為d。圖1線電荷與導體圓柱圖2線電荷與導體圓柱的鏡像特點：在導體圓柱面上有感應電荷，圓軸外的電位由線電荷與感應電荷共同產(chǎn)生。分析方法：鏡像電荷是圓柱面內(nèi)部與軸線平行的無限長線電荷，如圖2所示。1.線電荷對接地導體圓柱面的鏡像53由于上式對任意的Φ都成立，因此，將上式對Φ求導，可以得到由于導體圓柱接地，所以當時，電位應為零，即

所以有設(shè)鏡像電荷的線密度為，且距圓柱的軸線為，則由和共同產(chǎn)生的電位函數(shù)54導體圓柱面外的電位函數(shù)：由時，故導體圓柱面上的感應電荷面密度為導體圓柱面上單位長度的感應電荷為導體圓柱面上單位長度的感應電荷與所設(shè)置的鏡像電荷相等。552.兩平行圓柱導體的電軸圖1兩平行圓柱導體圖2兩平行圓柱導體的電軸特點：由于兩圓柱帶電導體的電場互相影響，使導體表面的電荷分布不均勻，相對的一側(cè)電荷密度大，而相背的一側(cè)電荷密度較小。分析方法：將導體表面上的電荷用線密度分別為、且相距為2b的兩根無限長帶電細線來等效替代，如圖2所示。問題：如圖1所示，兩平行導體圓柱的半徑均為a，兩導體軸線間距為2h，單位長度分別帶電荷和。56圖2兩平行圓柱導體的電軸通常將帶電細線的所在的位置稱為圓柱導體的電軸，因而這種方法又稱為電軸法。由

利用線電荷與接地導體圓柱面的鏡像確定b

。思考：能否用電軸法求解半徑不同的兩平行圓柱導體問題？57

試決定圖示不同半徑平行長直導線的電軸位置。圖1.7.17不同半徑傳輸線的電軸位置解：583.5.3點電荷與無限大電介質(zhì)平面的鏡像

圖1點電荷與電介質(zhì)分界平面特點：在點電荷的電場作用下，電介質(zhì)產(chǎn)生極化，在介質(zhì)分界面上形成極化電荷分布。此時，空間中任一點的電場由點電荷與極化電荷共同產(chǎn)生。圖2介質(zhì)1的鏡像電荷問題：如圖1所示，介電常數(shù)分別為和的兩種不同電介質(zhì)的分界面是無限大平面，在電介質(zhì)1中有一個點電荷q，距分界平面為h。分析方法：計算電介質(zhì)1中的電位時，用位于介質(zhì)2中的鏡像電荷來代替分界面上的極化電荷，并把整個空間看作充滿介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)，如圖2所示。59介質(zhì)1中的電位為計算電介質(zhì)2中的電位時，用位于介質(zhì)1中的鏡像電荷來代替分界面上的極化電荷，并把整個空間看作充滿介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)，如圖3所示。介質(zhì)2中的電位為圖3介質(zhì)2的鏡像電荷60可得到說明：對位于無限大平表面介質(zhì)分界面附近、且平行于分界面的無限長線電荷（單位長度帶），其鏡像電荷為利用電位滿足的邊界條件61圖1線電流與磁介質(zhì)分界平面圖2磁介質(zhì)1的鏡像線電流特點：在直線電流I產(chǎn)生的磁場作用下，磁介質(zhì)被磁化，在分界面上有磁化電流分布，空間中的磁場由線電流和磁化電流共同產(chǎn)生。問題：如圖1所示，磁導率分別為和的兩種均勻磁介質(zhì)的分界面是無限大平面，在磁介質(zhì)1中有一根無限長直線電流平行于分界平面，且與分界平面相距為h。分析方法：在計算磁介質(zhì)1中的磁場時，用置于介質(zhì)2中的鏡像線電流來代替分界面上的磁化電流，并把整個空間看作充滿磁導率為的均勻介質(zhì)，如圖2所示。3.5.4線電流與無限大磁介質(zhì)平面的鏡像

62因為電流沿軸方向流動，所以矢量磁位只有分量，則磁介質(zhì)1和磁介質(zhì)2中任一點的矢量磁位分別為圖3磁介質(zhì)2的鏡像線電流在計算磁介質(zhì)2中的磁場時，用置于介質(zhì)1中的鏡像線電流來代替分界面上的磁化電流，并把整個空間看作充滿磁導率為的均勻介