理論力學(xué)-第三章剛體力學(xué)1

第三章剛體力學(xué)

剛體也是一個(gè)理想模型，它可以看作是一種特殊的質(zhì)點(diǎn)組，這個(gè)質(zhì)點(diǎn)組中任何兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的距離不變，這使得問題大為簡化，使我們能更詳細(xì)地研究它的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，得到的結(jié)果對實(shí)際問題很有用。我們先研究剛體運(yùn)動(dòng)的描述，在建立動(dòng)力學(xué)方程后，著重研究平面平行運(yùn)動(dòng)和定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。第三章剛體力學(xué)§3.1剛體運(yùn)動(dòng)的分析§3.2角速度矢量§3.3歐拉角§3.4

剛體運(yùn)動(dòng)方程與平衡方程§3.5轉(zhuǎn)動(dòng)慣量§3.6剛體的平動(dòng)與繞固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)§3.7

剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)§3.8剛體繞固定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)§3.1剛體運(yùn)動(dòng)的分析剛體特殊的質(zhì)點(diǎn)組、理想化模型——任意兩點(diǎn)間的距離始終保持不變（剛性）。當(dāng)物體的形變可以忽略不計(jì)時(shí)就可以近似看作剛體。自由度完全確定體系位置所需要的最少的獨(dú)立變量個(gè)數(shù)叫體系的自由度。例如：自由質(zhì)點(diǎn)自由度=3質(zhì)點(diǎn)組(n個(gè)質(zhì)點(diǎn))：自由度=3n1.剛體運(yùn)動(dòng)的描述A確定剛體在空間的位置，最少需要幾個(gè)獨(dú)立變量？CB至少需要6個(gè)獨(dú)立變量來確定剛體位置剛體的自由度=6取哪6個(gè)獨(dú)立變量？剛體位置的描述（1）三點(diǎn)法：（2）轉(zhuǎn)軸法：（3）歐拉角法：從9個(gè)非獨(dú)立坐標(biāo)中任取6個(gè)獨(dú)立的ABC軸上一點(diǎn)3個(gè)坐標(biāo)，軸的方位3個(gè)坐標(biāo)，再加上轉(zhuǎn)角φ直接選取獨(dú)立的2個(gè)變量確定轉(zhuǎn)軸方位，再加上轉(zhuǎn)角1）一般運(yùn)動(dòng)剛體一般運(yùn)動(dòng)的自由度為62.剛體運(yùn)動(dòng)的分類平動(dòng)的自由度=32）平動(dòng)世界最大的摩天輪——“倫敦眼”

剛體在運(yùn)動(dòng)中的各個(gè)時(shí)刻，其上任意一直線在運(yùn)動(dòng)過程中始終彼此平行，這種運(yùn)動(dòng)叫做平動(dòng)。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的自由度=13）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)所有質(zhì)點(diǎn)都繞著空間一條固定不動(dòng)的直線作圓周運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)即定軸轉(zhuǎn)動(dòng)平面平行運(yùn)動(dòng)的自由度：34）平面平行運(yùn)動(dòng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，其中任意一點(diǎn)如果始終在平行于某一固定平面的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)叫平面平行運(yùn)動(dòng)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的自由度：3個(gè)5）定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，只有一點(diǎn)固定不動(dòng)，整個(gè)剛體圍繞著通過定點(diǎn)的某一瞬時(shí)軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)叫定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。§3.2角速度矢量設(shè)剛體繞通過定點(diǎn)O的某軸線轉(zhuǎn)動(dòng)了Δθ角度角位移：在轉(zhuǎn)動(dòng)軸上截取有向線段

稱為角位移的方向：與旋轉(zhuǎn)方向成右手螺旋關(guān)系角位移是不是矢量？——矢量的合成滿足平行四邊形法則AB滿足對易律：A+B=B+A：角位移不是矢量，不滿足矢量加法對易律有限轉(zhuǎn)動(dòng)M證明:無限小轉(zhuǎn)動(dòng)：角位移是矢量，滿足矢量加法對易律當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)無限小角度ΔθP點(diǎn)的線位移：——令剛體先后繞過O的軸線作兩次微小轉(zhuǎn)動(dòng)若是矢量它應(yīng)當(dāng)滿足矢量加法交換律轉(zhuǎn)動(dòng)后位移：1）轉(zhuǎn)動(dòng)前位矢：再轉(zhuǎn)動(dòng)后的位移：不計(jì)二階小量：2)交換轉(zhuǎn)動(dòng)次序位矢：位矢：轉(zhuǎn)動(dòng)后位移：位矢:再轉(zhuǎn)動(dòng)后的位移：不計(jì)二階小量：位矢：

線位移是矢量2.角速度矢量角速度：角量與線量的關(guān)系：大?。悍较颍骸刂D(zhuǎn)動(dòng)瞬時(shí)軸，與旋向成右手螺旋關(guān)系O一、歐拉角§3.3歐拉角當(dāng)剛體作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，我們以該定點(diǎn)為原點(diǎn)，而用3個(gè)獨(dú)立的角度來確定剛體的位置，這3個(gè)角稱為歐拉角。x/ξy/ηz/ζξηζxyz固定在剛體上的坐標(biāo)系o-xyz——?jiǎng)酉担湮恢么韯傮w位置建立：定系o-ξηζOx/ξy/ηz/ζON：節(jié)線Oξηz/ζxyNOξηζxyNzOξηζxyNzNote：（1）3個(gè)歐拉角的作用：（2）歐拉角的取值范圍：OξηζxyNz

可以完全描述定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的一切位置二、歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體繞轉(zhuǎn)動(dòng)瞬時(shí)軸轉(zhuǎn)動(dòng)上述3次轉(zhuǎn)動(dòng)疊加而成OξηζxyNz歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程A剛體一.力系的簡化§3.4

剛體運(yùn)動(dòng)方程與平衡方程作用在剛體上的力所產(chǎn)生的力學(xué)效果僅與力的量值和作用線的地位和方向有關(guān)，而與力的作用點(diǎn)在作用線上的地位無關(guān)。1、力的可傳性原理B非剛體Note：（1）在剛體力學(xué)中，力被稱為滑移矢量。（2）可沿作用線前后滑移，但作用線本身不能隨便遷移。2、力偶：F1F2ABPr1r2r12（2）作用效果：（1）定義：大小相等、方向相反，作用線相互平行的一對力矢量和：F1+F2

＝0力偶矩：大小：M=Fd，——僅與兩力大小F和兩力作用線距離d有關(guān)與P無關(guān)Note：（1）力偶的唯一作用效果是力偶矩；（2）力偶對力偶面上任一點(diǎn)的力偶矩相等；（3）力偶矩用垂直于力偶面的任一有向線段表示；（4）力偶矩是自由矢量。方向：垂直于力偶面，與力偶的旋向成右手螺旋關(guān)系F1F2ABPr1r2r12一般力系3、力系的簡化：既不平行又不匯交的力共點(diǎn)力系的簡化

平行四邊形法則共面非平行力系的簡化

力的可傳性原理+平行四邊形法則（1）平行力系的簡化：按等效原則求合力。例：求同向平行力的合力

合力的大小：

F1＋

F2

合力的方向：與原分力同向

作用線位置：滿足MA

＋MB

＝M合，設(shè)距離F1為x

取A為矩心：F2d=(F1+F2)x

→x=F2d/(F1+F2)AF1BF2dFx練習(xí)：求反向平行力的合力F1≠F2

BAF（2）空間力系的簡化：力的作用線遷移后，轉(zhuǎn)化為一個(gè)力和一個(gè)力偶（矩）力的作用線的遷移：例如：力F從A遷移到B——必須加上一個(gè)力偶（相當(dāng)于力在原位置對新位置的力矩）FF’rMABFM空間力系的簡化可以簡化為空間定點(diǎn)的一個(gè)單力F和一個(gè)力偶矩M，F(xiàn)稱主矢，M稱主矩，定點(diǎn)稱簡化中心。Note:(1)簡化中心可以任意選?。ㄒ话闳≠|(zhì)心）；(2)主矢與簡化中心無關(guān)，主矩與簡化中心有關(guān)。遷移到B，需添加：遷移到C，需添加：ABrFCr’rBC力系分別向B、C遷移：（3）討論：共面力系簡化的最終結(jié)果有哪幾種可能？（只能是：零，合力，力偶三種情況）例如：作用在A點(diǎn)的力F分別向B、C遷移：剛體：特殊的質(zhì)點(diǎn)組二.剛體運(yùn)動(dòng)微分方程N(yùn)ote：①明確方程中各個(gè)量的意義。

:主矢6個(gè)方程正好確定剛體的6個(gè)獨(dú)立變量：以質(zhì)心為中心得到的動(dòng)量矩和主矩。1、剛體的運(yùn)動(dòng)方程：2、剛體的動(dòng)能定理：3、剛體的機(jī)械能守恒：質(zhì)點(diǎn)組：剛體：保守力作功：為以固定點(diǎn)中心得到的動(dòng)量矩和主矩。②當(dāng)研究剛體對固定點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，可以將第二方程換為三.剛體的平衡方程剛體的平衡：剛體相對定系處于靜止?fàn)顟B(tài)平衡條件（方程）：維持初態(tài)平衡所需的條件1、平衡方程的一般形式：直角坐標(biāo)系下：主矢為零，對任意定點(diǎn)主矩為零可用來求未知力2、平面力系的平衡方程：設(shè)剛體受力都在oxy平面內(nèi)平衡方程：一矩式：二矩式：三矩式：（A、B為平面上任意兩點(diǎn)，且AB連線與x軸不垂直）（A、B、C為平面上不共線三點(diǎn)）（A是平面上任意一點(diǎn)）例p128.φ最小，平衡。求A處的摩擦系數(shù)。解是共面力系的平衡問題，受力分析EH一矩式：（1.2.3）（1.2.4）（1.2.5）二矩式：（1.3.4）（1.3.5）（1.4.5）（2.3.4）（2.3.5）（2.4.5）××三矩式：（3.4.5）例題.均勻直桿AB和BC在B端鉸鏈，A端鉸鏈在墻上，C端抵在墻上，已知C端與墻之間的摩擦系數(shù)為μ=0.5，試求平衡時(shí)兩桿間的夾角θ的