工程經(jīng)濟(jì)學(xué) 第二章3,4,5

第二章現(xiàn)金流量與資金時(shí)間價(jià)值1§3等值計(jì)算與應(yīng)用不同時(shí)點(diǎn)，數(shù)額不同的資金在資金的時(shí)間價(jià)值的作用下有可能具有相等的價(jià)值。不同時(shí)點(diǎn)、不同數(shù)額但其價(jià)值等效的資金稱為等值。利用等值的概念，可把一個(gè)時(shí)點(diǎn)的資金額換算成另一時(shí)點(diǎn)的等值金額。資金等值計(jì)算是指為了便于比較，把不同時(shí)點(diǎn)上的資金按照一定的折現(xiàn)率計(jì)算至某一相同的時(shí)點(diǎn)上的過(guò)程。如“折現(xiàn)”、“貼現(xiàn)”等22.1一次支付終值公式稱為一次支付終值系數(shù)，記為

0123n–1n

F=？P(已知）…i3

0123n–1n

F(已知）P=？

…2.2一次支付現(xiàn)值公式i稱為一次支付現(xiàn)值系數(shù)，記為4

0123n–1n

F=？

…A(已知）2.3等額支付年金終值公式i稱為等額支付現(xiàn)值系數(shù)，記為5

0123n–1n

F(已知）…

A=？2.4等額支付積累基金公式i稱為等額支付累積基金系數(shù)，記為60123n–1n

P(已知）

…A=？2.5等額支付資金回收公式i稱為等額支付資金回收系數(shù)，記為7

0123n–1n

P=？…

A(已知）

2.6等額支付年金現(xiàn)值公式i稱為等額支付年金現(xiàn)值系數(shù)，記為8六個(gè)基本公式及其系數(shù)符號(hào)F＝P×(1+i）n公式系數(shù)(F/P,i,n)(P/F,i,n)(F/A,i,n)(A/F,i,n)(A/P,i,n)(P/A,i,n)系數(shù)符號(hào)公式可記為F=P(F/P,i,n)P=F(P/F,i,n)F=A(F/A,i,n)A=F(A/F,i,n)A=P(A/P,i,n)P=A(P/A,i,n)10（F/P，i，n）（P/F，i，n）（F/A，i，n）（A/P，i，n）（P/A，i，n）（A/F，i，n）PFA01234567……n……各系數(shù)之間的關(guān)系倒數(shù)關(guān)系：乘積關(guān)系：特殊關(guān)系：例1:有如下圖示現(xiàn)金流量，解法正確的有()012345678AF=?A.F=A(P/A,i,6)(F/P,i,8)B.F=A(P/A,i,5)(F/P,i,7)C.F=A(F/A,i,6)(F/P,i,2)D.F=A(F/A,i,5)(F/P,i,2)E.F=A(F/A,i,6)(F/P,i,1)12例2：下列關(guān)于時(shí)間價(jià)值系數(shù)的關(guān)系式，表達(dá)正確的有（）A．（F/A,i,n）=(P/A,i,n)×(F/P,i,n)B．（F/P,i,n）=(F/P,i,n1)×(F/P,i,n2),其中n1+n2=nC．（P/F,i,n）=(P/F,i,n1)＋(P/F,i,n2),其中n1+n2=nD．（P/A,i,n）=(P/F,i,n)×(A/F,i,n)E．1/（F/A,i,n）=(F/A,i,1/n)13例3：浙江某大學(xué)畢業(yè)生欲回家鄉(xiāng)籌辦一家澳洲火雞飼養(yǎng)場(chǎng)，第一年投資10萬(wàn)元，1年后又投資15萬(wàn)元，2年后再投入20萬(wàn)元，第3年建成投產(chǎn)。投資全部由一家銀行貸款，年利率為8％。貸款從第三年開(kāi)始每年年末等額償還，還款期10年。問(wèn)每年應(yīng)至少收益（償還銀行貸款）多少萬(wàn)元？102015A=？······年012312i=8%14解：方案投產(chǎn)年年初的總投資額為：

P=10(F/P，8％，2)+15(F/P，8％，1)+20=10×1.1664+15×1.08+20=47.864萬(wàn)元

A=P(A/P,8％,10)=47.864×0.1490=7.13萬(wàn)元102015A=？······年012312i=8%15例4：一對(duì)還有10年就要退休的夫婦，每年將一筆款項(xiàng)存入銀行欲建立一筆海外旅游基金。該旅游基金預(yù)計(jì)用途是：自第10年年末起，連續(xù)3年各提2萬(wàn)元。如果銀行存款利率為8％，那么10年中每年年末應(yīng)等額存入銀行多少元？01101112289A=?A=2萬(wàn)元年i=8%16解：將專用基金折算為第10年末的價(jià)值：

F=20000+20000(P/F,8％,1)+20000(P/F,8％,2)=20000+20000×0.9259+20000×0.8573=55664元

A=F(A/F,8％,10)=55664×0.06903=3842.49元01101112289A=?A=2萬(wàn)元年i=8%17

例5

某投資者5年前以200萬(wàn)元價(jià)格買入一房產(chǎn)，在過(guò)去的5年內(nèi)每年獲得年凈現(xiàn)金收益25萬(wàn)元，現(xiàn)在該房產(chǎn)能以250萬(wàn)元出售，若投資者要求的年收益率為20％，問(wèn)此項(xiàng)投資是否合算?

0P=2002527512345i=20%單位：萬(wàn)元18解（2）：將收益折算成現(xiàn)值：

P=25(P/A,20％,5)+250(P/F,20％,5)=175.25(萬(wàn)元)獲得i=20％的收益投資175.25萬(wàn)即可，因此不合算解（1）：投資200萬(wàn)元，i=20%時(shí)應(yīng)獲收益額：

F=200(F/P,20％,5)=498(萬(wàn)元)

而實(shí)際收益：

F=25(F/A,20％,5)+250=436(萬(wàn)元)

投資沒(méi)有達(dá)到20％的收益率，故不合算0P=2002527512345i=20%單位：萬(wàn)元19運(yùn)用利息公式應(yīng)注意的問(wèn)題:1.為了實(shí)施方案的初始投資，假定發(fā)生在方案的壽命期初；2.方案實(shí)施過(guò)程中的經(jīng)常性支出，假定發(fā)生在計(jì)息期（年）末；3.本年的年末即是下一年的年初；4.P是在當(dāng)前年度開(kāi)始時(shí)發(fā)生；5.F是在當(dāng)前以后的第n年年末發(fā)生；6.A是在考察期間各年年末發(fā)生。當(dāng)問(wèn)題包括P和A時(shí)，系列的第一個(gè)A是在P發(fā)生一年后的年末發(fā)生；當(dāng)問(wèn)題包括F和A時(shí)，系列的最后一個(gè)A是和F同時(shí)發(fā)生；20名義利率和有效利率名義利率和有效利率的概念。當(dāng)利率周期與計(jì)息周期不一致時(shí)，年利率為12％，每年計(jì)息1次——12％為實(shí)際利率；年利率為12％，每月計(jì)息1次——12％為名義利率，月利率為1％。名義利率——用計(jì)息周期利率按單利計(jì)算的利率周期（年）利率，即由計(jì)息周期利率i乘以一個(gè)利率周期（年）內(nèi)的計(jì)息周期數(shù)m所得到的利率周期（年）利率。實(shí)際利率——用計(jì)息周期利率按復(fù)利計(jì)算的利率周期（年）利率。22/50利率周期常以年為單位。設(shè)計(jì)息周期利率為i，一年中計(jì)息m次。按單利計(jì)算年名義利率r：一年末利息和I=m.P.i則由利率的定義可知：r=I/P=i×m計(jì)息期周期利率（年）名義利率1年年利率12%12%×1=12%1月月利率1%1%×12=12%1季季利率2.8%2.8%×4=11.2%半年半年利率5%5%×2=10%1.間斷復(fù)利的年實(shí)際利率利率周期常以年為單位。設(shè)計(jì)息周期利率為i，一年中計(jì)息m次。按復(fù)利計(jì)算年實(shí)際利率ieff：

F=P[1+r/m]m該利率周期的利息為：I=F-P=

P[1+r/m]m－P按定義，利息與本金之比為利率，則年有效利率i為：23

下表給出了年名義利率為12%分別按不同計(jì)息期計(jì)算的實(shí)際利率：復(fù)利周期每年計(jì)息數(shù)期各期實(shí)際利率實(shí)際年利率一年半年一季一月一周一天124125236512.0000%6.0000%3.0000%1.0000%0.23077%0.0329%12.0000%12.3600%12.5509%12.6825%12.7341%12.7475%24從上表可以看出，每年計(jì)息期m越多，ieff與r相差越大。所以，在進(jìn)行工程經(jīng)濟(jì)分析時(shí)，如果各方案的記息期不同，就不能簡(jiǎn)單地使用名義利率來(lái)評(píng)價(jià)，必須換算成實(shí)際利率進(jìn)行評(píng)價(jià)。

例：某廠擬向兩個(gè)銀行貸款以擴(kuò)大生產(chǎn)，甲銀行年利率為16%，計(jì)息每年一次。乙銀行年利率為15%，但每月計(jì)息一次。試比較哪家銀行貸款條件優(yōu)惠些？解：因?yàn)閕乙>i甲，所以甲銀行貸款條件優(yōu)惠些。25

例：現(xiàn)投資1000元，時(shí)間為10年，年利率為8%，每季度計(jì)息一次，求10年末的將來(lái)值。

F=？1000…012340季度每季度的有效利率為8%÷4=2%，用年實(shí)際利率求解:年有效利率i為：i=（1+2%）4－1=8.2432%F=1000（F/P，8.2432%，10）=2208（元）用季度利率求解:F=1000（F/P，2%，40）=1000×2.2080=2208（元）解：26例:某企業(yè)向銀行借款1000元,年利率為4%,如按季度計(jì)息,則第3年應(yīng)償還本利和累計(jì)為()元。A.1125B.1120C.1127D.1172F=1000(F/P,1%,4×3)=1000(F/P,1%,12)=1127元答案:C

F=？1000…012312季度解:27例:已知某項(xiàng)目的計(jì)息期為月,月利率為8‰,則項(xiàng)目的名義利率為()。A.8%B.8‰C.9.6%D.9.6‰解:（年）名義利率=每一計(jì)息期的有效利率×一年中計(jì)息期數(shù)

所以r=12×8‰=96‰=9.6%282.連續(xù)（瞬時(shí)）復(fù)利的年有效利率

——按瞬時(shí)計(jì)息的方式。在這種情況下，復(fù)利可以在一年中按無(wú)限多次計(jì)算，年有效利率為：式中：e自然對(duì)數(shù)的底，其數(shù)值為2.718282930/503名義利率和有效（年）利率的應(yīng)用計(jì)息周期等于收付周期——直接運(yùn)用6個(gè)基本公式計(jì)息周期小于收付周期——按實(shí)際利率/計(jì)息周期利率計(jì)算計(jì)息周期大于收付周期——計(jì)息期內(nèi)不計(jì)息/單利計(jì)息/復(fù)利計(jì)息1計(jì)息周期等于支付期根據(jù)計(jì)息期的實(shí)際利率，利用復(fù)利計(jì)算公式直接進(jìn)行計(jì)算。例：年利率為12%，每半年計(jì)息1次，從現(xiàn)在起連續(xù)3年每半年末等額存款為200元，問(wèn)與其等值的第0年的現(xiàn)值是多少？解：計(jì)息期為半年的有效利率為

i＝12％/2＝6％

P=200×（P／A，6％，6）＝983.46(元)31例：年利率為9％，每年年初借款4200元，連續(xù)借款43年，求其年金終值和年金現(xiàn)值。43042210434221A=4200A’=4200(1+9%)解：F=A’(F/A,i,n)=4200(1+9%)×440.8457

＝2018191.615（元）P=A’(P/A,i,n)=4200(1+9%)×10.838

＝49616.364（元）322計(jì)息周期短于支付期（1）先求出支付期的有效利率，再利用復(fù)利計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算（2）按計(jì)息周期利率計(jì)算F=P(F/P,r/m,mn)P=F(P/F,r/m,mn)F=A(F/A,r/m,mn)P=A(P/A,r/m,mn)A=F(A/F,r/m,mn)A=P(A/P,r/m,mn)332計(jì)息周期短于支付期例：年利率為12％，每季度計(jì)息一次，從現(xiàn)在起連續(xù)3年的等額年末存款為1000元，與其等值的第3年的年末借款金額是多少？0123456789101112季度1000元1000元1000元ⅠⅡⅢ年度解：年有效利率為：F=?34方法二：取一個(gè)循環(huán)周期，使這個(gè)周期的年末支付轉(zhuǎn)變成等值的計(jì)息期末的等額支付系列。012341000元01234239239239239將年度支付轉(zhuǎn)換為計(jì)息期末支付A=F(A/F,3%,4)=1000×0.2390=239（元）r=12%,n=4,則i=12%÷4＝3％35F=A(F/A,i,n)=A(F/A,3%,12)=239×14.192＝3392元F=?0123456789101112季度1000元1000元1000元ⅠⅡⅢ年度F=?ⅠⅡⅢ年度0123456789101112季度23923923923923923923923923923923936F=1000(F/P,3%,8)+1000(F/P,3%,4)+1000=1000×1.267+1000×1.126)+1000=3392元方法三：把等額支付的每一個(gè)支付看作為一次支付，求出每個(gè)支付的將來(lái)值，然后把將來(lái)值加起來(lái)，這個(gè)和就是等額支付的實(shí)際結(jié)果。0123456789101112季度1000元1000元1000元ⅠⅡⅢ年度F=?373計(jì)息周期長(zhǎng)于支付期(1)不記息：記息期內(nèi)收付不計(jì)息。(2)單利記息：記息期內(nèi)的收付均按單利記息。(3)復(fù)利計(jì)息：計(jì)息周期內(nèi)的收付按復(fù)利計(jì)息。383計(jì)息周期長(zhǎng)于支付期(1)不記息。記息期內(nèi)收付不計(jì)息。按財(cái)務(wù)原則進(jìn)行計(jì)息，即現(xiàn)金流入額放在期末，現(xiàn)金流出額放在計(jì)息期初，計(jì)息期分界點(diǎn)處的支付保持不變。例：現(xiàn)金流量圖如圖所示，年利率為12%，每季度計(jì)息一次，求年末終值F為多少？0123974658101112（月）300100100100393計(jì)息周期長(zhǎng)于支付期(2)單利記息。記息期內(nèi)的收付均按單利記息。記息期內(nèi)的利率按時(shí)間比例計(jì)算。（小周期利率單利方式換算為大周期利率）40P31例2-143計(jì)息周期長(zhǎng)于支付期(3)復(fù)利記息。計(jì)息周期內(nèi)的收付按復(fù)利計(jì)息。此時(shí)，計(jì)息期利率相當(dāng)于“實(shí)際利率”，收付周期利率相當(dāng)于“計(jì)息期利率”。求收付周期利率41P32例2-15資金時(shí)間價(jià)值基本公式的應(yīng)用

復(fù)利系數(shù)表中包含了三種數(shù)據(jù)，即系數(shù)、利率、計(jì)息次數(shù)。根據(jù)各系數(shù)符號(hào)，查表即可得到相應(yīng)的系數(shù)；知道了三項(xiàng)數(shù)據(jù)中的任意兩項(xiàng)，還可以通過(guò)查表得到另一項(xiàng)。一、計(jì)算未知利率二、計(jì)算未知年數(shù)42

一、計(jì)算未知利率在計(jì)算技術(shù)方案的等值時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到這樣一種情況：即現(xiàn)金流量P、F、A以及計(jì)算期n均為已知量，而利率i為待求的未知量。比如，求方案的收益率，國(guó)民經(jīng)濟(jì)的增長(zhǎng)率等就屬于這種情況。這時(shí)，可以借助查復(fù)利系數(shù)表利用線性內(nèi)插法近似地求出i來(lái)。43例：某人今年初借貸1000萬(wàn)元，8年內(nèi)，每年還154.7萬(wàn)元，正好在第8年末還清，問(wèn)這筆借款的年利率是多少？解：已知P=1000萬(wàn)，A=154.7萬(wàn)，n=8∵A=P(A/P,i,n)∴(A/P,i,n)=A/P=154.7/1000=0.1547

查表中的資金回收系數(shù)列，在n=8的一行里，0.1547所對(duì)應(yīng)的i為5%?！鄆=5%44

例:已知現(xiàn)在投資300元，9年后可一次獲得525元。求利率i為多少？解：利用一次支付終值公式

F=P（F/P，i，n）

525=300（F/P，i，9）（F/P，i，9）=1.750

從復(fù)利表上查到，當(dāng)n=9時(shí)，1.750落在利率6%和8%之間。從6%的位置查到1.6895，從8%的位置上查到1.9990。用直線內(nèi)插法可得：計(jì)算表明，利率i為6.41%。45把上述例子推廣到一般情況，我們?cè)O(shè)兩個(gè)已知的現(xiàn)金流量之比（F/P，F(xiàn)/A或P/A等）對(duì)應(yīng)的系數(shù)為f0，與此最接近的兩個(gè)利率為i1和i2，i1對(duì)應(yīng)的系數(shù)為f1，i2對(duì)應(yīng)f2。見(jiàn)下圖。

系數(shù)f0與利率i的對(duì)應(yīng)圖46根據(jù)上圖，求利率i的的算式為：

(f0-f1)(i2

–i1)i=i1+—————

f2-f

147例:某公司欲買一臺(tái)機(jī)床，賣方提出兩種付款方式：（1）若買時(shí)一次付清，則售價(jià)30000元；（2）買時(shí)第一次支付10000元，以后24個(gè)月內(nèi)每月支付1000元。當(dāng)時(shí)銀行利率為12%，問(wèn)若這兩種付款方案在經(jīng)濟(jì)上是等值的話，那么，對(duì)于等值的兩種付款方式，賣方實(shí)際上得到了多大的名義利率與實(shí)際利率?48解：兩種付款方式中有10000元現(xiàn)值相同，剩下20000元付款方式不同，根據(jù)題意：已知P=20000元，A=1000元，n=24個(gè)月，求月利率i＝？

P=A（P/A，i，n）

20000=1000（P/A，i，24）（P/A，i，24）=20=f0

查復(fù)利表：當(dāng)i1=1%時(shí)，（P/A，1%，24）=21.243=f1i2=2%時(shí)，（P/A，2%，24）=18.914=f2

說(shuō)明所求月利率i介于i1與i2之間，利用公式（4－15）：

(f0-f1)(i2

–i1)(20-21.243)(2%-1%)i=i1+—————=1%+——————————f2-f

1

18.9140-21.2430=1%+0.534%=1.534%

那么賣方得到年名義利率：

r=12×1.534%=18.408%49

賣方得到年實(shí)際利率：18.408%i=(1+r/n)n-1=(1+—————)12-112=(1+0.01534)n-1=20.04%

由于上述的名義利率18.408%和實(shí)際利率20.04%都高于銀行利率12%，50例：某人有資金10萬(wàn)元，有兩個(gè)投資方向供選擇：一是存入銀行，每年復(fù)利率為10％；另一是購(gòu)買五年期的債券，115元面值債券發(fā)行價(jià)為100元，每期分息8元，到期后由發(fā)行者以面值收回。試計(jì)算出債券利率，比較哪個(gè)方案有利。解：設(shè)債券利率為i，則有

100=8(P/A,i,5)+115(P/F,i,5)

用試算的方法，可得到

P(10%)=8(P/A,10％,5)+115(P/F,10％,5)＝101.73P(12%)=8(P/A,12％,5)+115(P/F,12％,5)＝94.09

用線性內(nèi)插法51

例:設(shè)有一個(gè)25歲的人投資人身保險(xiǎn)，保險(xiǎn)期50年，在這段期間，每年末繳納300元保險(xiǎn)費(fèi)，在保險(xiǎn)期間內(nèi)，若發(fā)生人身死亡或期末死亡，保險(xiǎn)人均可獲得50000元。問(wèn)投這段保險(xiǎn)期的實(shí)際利率？若該人活到55歲去世，銀行年利率為10%，問(wèn)保險(xiǎn)公司是否吃虧？

52

三、計(jì)算未知年數(shù)在計(jì)算技術(shù)方案的等值中另一種可能的情況是：已知方案現(xiàn)金流量P、F或A，以及方案的利率i，而方案的計(jì)算期n為待求的未知量。例如，要求計(jì)算方案的投資回收期，借款清償期就屬于這種情況。這時(shí)仍可借助查復(fù)利表，利用線性內(nèi)插法近似地求出n來(lái)。其求解基本思路與計(jì)算未知利率大體相同。53

例:假定國(guó)民經(jīng)濟(jì)收入的年增長(zhǎng)率為10%，如果使國(guó)民經(jīng)濟(jì)收入翻兩番，問(wèn)從現(xiàn)在起需多少年？解：設(shè)現(xiàn)在的國(guó)民經(jīng)濟(jì)收入為P，若干年后翻兩番則為4P，由式（4－4）

F=P（F/P，10，n）

4P=P（F/P，10%，n）（F/P，10%，n）=4

當(dāng)i=10%時(shí)，4落在年數(shù)14年和15年之間。當(dāng)n=14年時(shí)，（F/P，10%，14）=3.7975，當(dāng)n=15年時(shí)，（F/P，10%，15）=4.1772。用直線內(nèi)插法得到：54

(4-3.7975)(15–14)n=n1+————————————年=14.53年

4.1772-3.7975上述的例子推廣到一般情況，可得出：

(f0-f1)(n2

–n1)n=n1+—————

f2-f

155例:假設(shè)年利率為6%，每年年末存進(jìn)銀行1000元。如果要想在銀行擁有存款10000元，問(wèn)需要存幾年?解：已知i=6%，A=1000元，F(xiàn)=10000元∵A=F(A/F,i,n)∴(A/F,i,n)=A/F=1000/10000=0.1

查償債基金系數(shù)，在i=6%時(shí)：當(dāng)n1=8時(shí),(A/F,6%,8)=0.101

當(dāng)n2=9時(shí),(A/F,6%,9)=0.0870

利用線性內(nèi)插法，求得：

n=8+(0.1-0.101)/(0.087-0.101)=8.07(年)56

例:某企業(yè)向外資貸款200萬(wàn)元建一工程，第三年投產(chǎn)，投產(chǎn)后每年凈收益40萬(wàn)元，若年利率10%，問(wèn)投產(chǎn)后多少年能歸還200萬(wàn)元貸款的本息。解：先畫出現(xiàn)金流量圖。為使方案的計(jì)算能利用公式，將第二年末（第三年初）作為基期，計(jì)算P2。