隨機(jī)利率模型

第7章隨機(jī)利率模型

【考試要求】7.1引言

相關(guān)概念利率模型的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)均衡模型與無套利模型

7.2

Ho-Lee模型

Ho-Lee模型

Ho-Lee模型的應(yīng)用

7.3連續(xù)時(shí)間隨機(jī)利率模型下零息債券的定價(jià)

隨機(jī)利率模型的一般形式及零息債券價(jià)格滿足的隨機(jī)微分方程利率風(fēng)險(xiǎn)的市場價(jià)格零息債券價(jià)格滿足的偏微分方程基于鞅方法的零息債券定價(jià)公式

第一頁，共四十四頁。

7.4

Vasicek模型

Vasicek模型及模型求解

Vasicek模型下的債券的定價(jià)

7.5

CIR模型

CIR模型及模型求解

CIR模型下債券的定價(jià)

7.6單因素模型的局限性

單因素模型的局限多因素模型簡介第二頁，共四十四頁。

【要點(diǎn)詳解】

§7.1引言

1．相關(guān)概念

（1）銀行賬戶過程定義為t時(shí)刻銀行賬戶過程(的價(jià)值)。假設(shè)β(0)=1，且銀行賬戶滿足以下的微分方程：

其中是瞬時(shí)利率。由上式可以進(jìn)一步的推出：

說明：如果瞬時(shí)利率rt是隨機(jī)的，銀行賬戶過程也是隨機(jī)的。（2）隨機(jī)折現(xiàn)因子①在t時(shí)刻到T時(shí)刻的隨機(jī)折現(xiàn)因子D(t，T)是：②隨機(jī)折現(xiàn)因子的含義

假設(shè)在0時(shí)刻向銀行賬戶存入A單位貨幣，則在t>0時(shí)刻銀行賬戶將有單位貨幣。若希望在T(T>t)時(shí)銀行賬戶有1單位貨幣，即，需在0時(shí)刻投入單位的貨幣，這筆金額在t時(shí)刻銀行賬戶的價(jià)值為：所以，T時(shí)刻的1單位貨幣，在t時(shí)刻的價(jià)值為。第三頁，共四十四頁。（3）連續(xù)復(fù)利收益率

用B(t，T)表示T時(shí)刻到期的零息票債券1單位面值在t時(shí)刻的價(jià)格。連續(xù)復(fù)利收益率R(t，T)定義為：由這個(gè)等式可以推出：

R(t，T)是零息債券在[t，T]上的平均收益率。

說明：盡管B(t，T)與D(t，T)二者都是從T到t的貼現(xiàn)因子，但B(t，T)在t時(shí)刻是一個(gè)數(shù)，而D(t，T)則可能是一個(gè)隨機(jī)變量。

（4）遠(yuǎn)期單利和遠(yuǎn)期復(fù)利

t時(shí)刻的期限為[T，S](T<S)的遠(yuǎn)期單利的定義為：

t時(shí)刻的期限為[T，S](T<S)的遠(yuǎn)期復(fù)利的定義為：

說明：和是基于t時(shí)刻的信息對(duì)未來的期限為[T，S]的即期單利和即期復(fù)利的預(yù)期值。第四頁，共四十四頁。（5）遠(yuǎn)期瞬時(shí)利率

遠(yuǎn)期瞬時(shí)利率的定義為：由定義可知。由上面的等式可以推出，零息債券的價(jià)格可表示為：這個(gè)式子結(jié)合可以推出：

說明：當(dāng)期限[T，S]無限小時(shí)單利和復(fù)利相等。第五頁，共四十四頁。

【例題7.1】零息債券的遠(yuǎn)期利率由表達(dá)式f(0，T)=0.05+0.01T給出，其中T為年數(shù)。面值為100美元，到期以面值贖回，則到期日為5年的零息債券的價(jià)格為（）。

A．94.65

B．88.69

C．68.73

D．36.79

E．25.36

【答案】C

【解析】到期日為5年的零息債券的價(jià)格為：

（美元）第六頁，共四十四頁。2．利率模型的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

利率模型能夠滿足一些優(yōu)良的性質(zhì)，這些優(yōu)良的性質(zhì)包括：（1）模型應(yīng)該是無套利的。即利率應(yīng)該是非負(fù)的。（2）利率應(yīng)該具有均值回復(fù)特征。即利率圍繞某一均值波動(dòng)，如利率超過均值，則在未來有下降的趨勢(shì)；反之，如低于均值，則未來有上升的趨勢(shì)。（3）被用于計(jì)算債券以及利率衍生品價(jià)格時(shí)應(yīng)較為簡單。（4）應(yīng)該是動(dòng)態(tài)的，能充分反映市場利率的變化。（5）參數(shù)容易估計(jì)，且模型能較好的擬合歷史數(shù)據(jù)。（6）有明顯的經(jīng)濟(jì)意義。

說明：許多常用的隨機(jī)利率模型只具有上面的部分性質(zhì)，但在實(shí)際應(yīng)用中往往忽略模型的某些缺陷。第七頁，共四十四頁。

3．均衡模型與無套利模型

（1）均衡利率模型（絕對(duì)定價(jià)模型）可以對(duì)債券和利率衍生品定價(jià)。由于貨幣市場和資本市場的復(fù)雜性，單因素均衡模型推導(dǎo)出來的收益率曲線一般不能精確地?cái)M合實(shí)際的收益率曲線，所以實(shí)際中也常常采用多因素模型。

單因素模型：是指模型中只涉及一個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)，或者說模型只有一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)源；

多因素模型：是指涉及多個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)，因而對(duì)應(yīng)了多個(gè)風(fēng)險(xiǎn)源。

說明：在均衡模型中，遠(yuǎn)期利率是由隨機(jī)模型預(yù)測(cè)得到；（2）無套利模型（相對(duì)定價(jià)模型或擬合模型）基本思想是基于已知的市場債券或其他利率衍生品的價(jià)格構(gòu)造收益率曲線，再利用得到的收益率曲線對(duì)其他的利率衍生品定價(jià)?；跓o套利模型得到的價(jià)格是一種相對(duì)價(jià)格，即相對(duì)于已知的價(jià)格的無套利價(jià)格。

說明：在無套利模型中，遠(yuǎn)期利率是通過債券或某些利率衍生品的價(jià)格得到。第八頁，共四十四頁。

§7.2

Ho-Lee模型

1．Ho-Lee模型（假定市場是完備的、考慮離散時(shí)間）

該模型假定初始利率期限結(jié)構(gòu)是已知的，使用了當(dāng)前可觀測(cè)的期限結(jié)構(gòu)所包含的全部信息來給衍生證券定價(jià)，以保證不出現(xiàn)套利機(jī)會(huì)，是無套利模型。

sn

：第n期市場的狀態(tài)空間；（貼現(xiàn)函數(shù)）：第n期、狀態(tài)出現(xiàn)、到期時(shí)刻為T的零息票債券的價(jià)格。在任意時(shí)刻n、狀態(tài)i，利率期限結(jié)構(gòu)由一系列貼現(xiàn)函數(shù)來完全描述。其中貼現(xiàn)函數(shù)滿足：

第一個(gè)條件表明零息票債券的價(jià)格非負(fù)，第二個(gè)條件表明到期時(shí)零息票債券的價(jià)格為1，第三個(gè)條件表明期限無限長的零息債券的價(jià)格為零。

第九頁，共四十四頁。（1）Ho-Lee模型的貼現(xiàn)函數(shù)在二叉樹模型下的變動(dòng)情況

Ho-Lee模型的貼現(xiàn)函數(shù)在二叉樹模型下的變動(dòng)情況為：在第n期，貼現(xiàn)函數(shù)有n+1中可能狀態(tài)。貼現(xiàn)函數(shù)的每個(gè)狀態(tài)都都獨(dú)立于通向該節(jié)點(diǎn)的路徑，僅由初始點(diǎn)到該節(jié)點(diǎn)之間的向上移動(dòng)和向下移動(dòng)的次數(shù)決定。在該二叉樹模型中，每個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一組折現(xiàn)率，因此每個(gè)節(jié)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一組與之關(guān)聯(lián)的各種零息債券的價(jià)格。

圖7-1零息債券價(jià)格的二叉樹模型（2）極限情況下，Ho-Lee模型下的短期利率

在極限情況下，Ho-Lee模型下的短期利率滿足：

其中，為時(shí)間t的函數(shù)，描述了變動(dòng)的趨勢(shì)；為一常數(shù)，描述了利率的波動(dòng)幅度；為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。第十頁，共四十四頁。

2．Ho-Lee模型的應(yīng)用

由可得，。

在計(jì)算債券價(jià)格時(shí)，通常將離散化為：其中隨機(jī)變量ε在u出現(xiàn)時(shí)取+1，在d出現(xiàn)時(shí)取-1，u和d分別代表向上移動(dòng)和向下移動(dòng)。第十一頁，共四十四頁。

【例題7.2】表7-1為一組面值為100元的零息票債券的數(shù)據(jù)，設(shè)利率變動(dòng)符合Ho-Lee模型，其中，。

表7-1市場觀測(cè)數(shù)據(jù)

期限(年)零息利率(％)零息債券價(jià)格(元)l5.8394.4926.3088.50構(gòu)建Ho-Lee模型下利率的二叉樹及債券價(jià)格的二叉樹。

解：債券價(jià)格的樹形結(jié)構(gòu)如圖7-2所示，其中2年期的零息票債券在一年后其價(jià)格以0．5的概率變?yōu)镻u

，或者以0.5的概率變?yōu)镻d

。

圖7-2基于Ho-Lee模型的定價(jià)二叉樹(2年期零息票債券)

第十二頁，共四十四頁。

該價(jià)格是受相應(yīng)利率變動(dòng)影響的，與其相對(duì)應(yīng)的短期利率的結(jié)構(gòu)如圖7-3所示。

圖7-3基于Ho-Lee模型的短期利率樹形結(jié)構(gòu)

首先可以得到Pu和Pd的表達(dá)式分別為：再由債券價(jià)格可得：解該方程得。第十三頁，共四十四頁。也可得到，。

債券的價(jià)格二叉樹、利率的二叉樹分別如圖7-4和圖7-5所示：

圖7-4基于Ho-Lee模型的債券價(jià)格二叉樹

圖7-5基于Ho-Lee模型的短期利率樹第十四頁，共四十四頁。

【例題7.3】圖7-6給出了一利率二叉樹圖，假設(shè)所有分支上的概率都是1／2，用倒向法計(jì)算兩年期零息債券的價(jià)格為（）。

圖7-6

A．0.8865B．0.8925C．0.9071D．0.9123E．0.9257

【答案】C

【解析】兩年期零息債券的價(jià)格為：

第十五頁，共四十四頁?！?.3連續(xù)時(shí)間隨機(jī)利率模型下零息債券的定價(jià)1．隨機(jī)利率模型的一般形式及零息債券價(jià)格滿足的隨機(jī)微分方程

（1）隨機(jī)利率模型的一般形式考慮單因素模型。關(guān)于短期利率rt的隨機(jī)微分方程的一般形式為：其中，被稱為漂移項(xiàng)，被稱為波動(dòng)項(xiàng)，為客觀概率測(cè)度P下的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。

（2）零息債券價(jià)格滿足的隨機(jī)微分方程由于零息債券價(jià)格B(t，T)與rt有關(guān)，則可以把B(t，T)視為關(guān)于t，T，rt的函數(shù)，即：

方法一：對(duì)B(t，T，rt)微分可得：則零息債券滿足的隨機(jī)微分方程：

方法二：直接對(duì)B(t，T，rt)應(yīng)用引理，也可以得到上面的隨機(jī)微分方程。第十六頁，共四十四頁。

2．利率風(fēng)險(xiǎn)的市場價(jià)格

用兩種不同到期日的零息債券(即T1≠T2)構(gòu)造無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合，設(shè)組合為：（7.1）選擇適當(dāng)?shù)念^寸，使得的風(fēng)險(xiǎn)為零，即（7.2）是兩種零息債券對(duì)利率風(fēng)險(xiǎn)的敏感度之比，也是用到期日為T2的零息債券對(duì)到期日為T1的零息債券做套期保值的比率。對(duì)微分可得：

第十七頁，共四十四頁。由可得：故組合是無風(fēng)險(xiǎn)的，因此其收益率與無風(fēng)險(xiǎn)收益率相等，即（7.3）將的表達(dá)式代入(7.3)式，可得：第十八頁，共四十四頁。由可得：由T1，T2的任意性可知，數(shù)值（7.4）與期限T無關(guān)，僅與t、rt有關(guān)，記為λt。第十九頁，共四十四頁。

下面我們探究λt在實(shí)際中的含義。

T時(shí)刻到期的債券價(jià)格在客觀概率測(cè)度下的隨機(jī)微分方程重新記為：其中，和分別為零息債券的瞬時(shí)收益率和瞬時(shí)波動(dòng)率。由可以得到：

因此可以看出，λt的含義是承擔(dān)單位風(fēng)險(xiǎn)獲得的超額收益，即利率風(fēng)險(xiǎn)的市場價(jià)格。第二十頁，共四十四頁。

3．零息債券價(jià)格滿足的偏微分方程

模型推導(dǎo)：由可得零息債券價(jià)格滿足的偏微分方程：整理上式，可得：（7.5）邊界條件為：B(T，T)=1第二十一頁，共四十四頁。

模型求解方法：可以利用有限差分方法或者蒙特卡羅模擬法對(duì)上式進(jìn)行求解，因此可對(duì)任意特定的隨機(jī)利率模型求出上式的數(shù)值解。利用Feynman-Kac公式，債券價(jià)格滿足的微分方程的解為：其中Q是風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度，表示在t時(shí)刻的信息集。一般的，對(duì)于一個(gè)到期日為T的利率衍生品，如果其到期支付為f(T)，則該衍生品t時(shí)刻的價(jià)格為：第二十二頁，共四十四頁。

4．基于鞅方法的零息債券定價(jià)公式

在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度Q下，任何資產(chǎn)的期望收益率均為無風(fēng)險(xiǎn)收益率，因此債券價(jià)格滿足的隨機(jī)微分方程變?yōu)椋焊鶕?jù)零息債券滿足的隨機(jī)微分方程可得由得：說明：這里需要假定Girsanov定理的條件成立。第二十三頁，共四十四頁?？赏ㄟ^測(cè)度變換將貼現(xiàn)的債券價(jià)格過程轉(zhuǎn)化為鞅。令其中βt是銀行賬戶過程，顯然Z(T，T)=βT-1。由引理可得：（7.6）因此Z(t，T)是一個(gè)Q鞅，所以，將Z(t，T)和Z(T，T)的表達(dá)式代入(7.6)式可得：

第二十四頁，共四十四頁。

§7.4Vasicek模型

短期利率rt最著名的兩個(gè)模型是Vasicek模型和CIR模型。這兩個(gè)模型都是時(shí)間齊性，即rt未來的變化僅依賴于rt的當(dāng)前值，而不是當(dāng)前的時(shí)刻t。

1．Vasicek模型及模型求解

（1）客觀概率測(cè)度下的Vasicek模型①模型的形式該模型形式為：（7.7）

其中α、μ、σ為正的常數(shù)。參數(shù)α描述了利率回復(fù)的速度，參數(shù)μ為短期利率的長期水平。它是一個(gè)滿足均值回復(fù)特征的隨機(jī)利率模型。由模型的形式知：當(dāng)rt<μ時(shí)，漂移項(xiàng)的符號(hào)為正，此時(shí)rt位于μ下方，且總體是向上移動(dòng)的；當(dāng)rt>μ時(shí)，漂移項(xiàng)的符號(hào)為負(fù)，此時(shí)rt位于μ的上方，總體是向下移動(dòng)的。因此在Vasicek模型中，rt是以μ回復(fù)參數(shù)的。滿足（7.7）的過程稱為Ornstein-Uhlenbeck過程，因此在Vasicek模型下短期利率是Ornstein-Uhlen-beck過程。第二十五頁，共四十四頁。②Vasicek模型的解

定理7-1

隨機(jī)微分方程的解為：

證明：考慮過程，由引理可知：等式兩邊取積分，得到：

故從而該定理得證。由隨機(jī)分析的基本知識(shí)可知，積分服從均值為0，方差為的正態(tài)分布，因此rt服從均值為，方差為的正態(tài)分布?；趖時(shí)刻的信息集Ft，rT(T>t)的條件分布服從正態(tài)分布：

第二十六頁，共四十四頁。（2）在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度下的Vasicek模型

在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度下的Vasicek模型形式為：其中，風(fēng)險(xiǎn)的市場價(jià)格λ為常數(shù)。與客觀概率測(cè)度下的Vasicek模型相比，風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度下的長期均值發(fā)生了變化，方程的形式和波動(dòng)率σ都沒有變化。

說明：盡管Vasicek模型中利率可以正的概率取負(fù)值，該模型仍得到了廣泛的應(yīng)用。第二十七頁，共四十四頁。

2．Vasicek模型下債券的定價(jià)

定理7-2

Vasicek模型下零息債券的價(jià)格為：

其中，，

證明：假設(shè)債券價(jià)格的形式為：（7.8）其中，為待定函數(shù)。在中，μ(t，rt)=α(μ—rt)，σ(t，rt)=σ，λ(t，rt)=λ。代入可得到Vasicek模型下的關(guān)于債券價(jià)格的偏微分方程：

第二十八頁，共四十四頁。由可得下列等式：所以

可以重寫成：因?yàn)樯鲜龅仁綄?duì)于任意的r都是成立的，所以函數(shù)A、b可以通過解下面兩個(gè)獨(dú)立的微分方程得到：（7.9）

（7.10）第二十九頁，共四十四頁。又因P(T，T，r)=1，即：，對(duì)于任意的rt都是成立的，則A(0)=1，b(0)=0，這是式(7.9)和(7.10)的邊界條件。解方程可得：所以債券價(jià)格公式為：其中

。定理得證。第三十頁，共四十四頁。設(shè)。由定理7-2及可知：因此，當(dāng)T→∞時(shí)R(t，T)→R(t，∞)，其中R(t，∞)為期限無限大時(shí)零息債券的收益率。

說明：

Vasicek模型的不足：該模型下的利率可能以正的概率出現(xiàn)負(fù)值。①考慮的時(shí)間范圍較短時(shí)，負(fù)利率出現(xiàn)的概率可能很小，此時(shí)影響不大；②當(dāng)考慮的期限很長時(shí)，負(fù)利率出現(xiàn)的概率及其精確程度等問題就會(huì)變得愈發(fā)顯著而不能忽略。第三十一頁，共四十四頁。

【例題7.4】假設(shè)在Vasicek模型中，=0.15，=0.08，初始的短期利率為8.1%短期利率在短時(shí)間內(nèi)變化的初始標(biāo)準(zhǔn)差為0.023，由該模型計(jì)算的5年期零息債券的價(jià)格為（）。[2011年春季真題]A．0.6638B．0.6681C．0.6723D．0.6782E．0.6837

【答案】C

【解析】由此外，利率風(fēng)險(xiǎn)的市場價(jià)格。于是

第三十二頁，共四十四頁。

【例題7.5】假設(shè)在Vasicek模型中的參數(shù)為=0.1和=0.1。在此種模型下，初始短期利率均為10％，在一個(gè)短時(shí)間△t內(nèi)，短期利率變化的初始標(biāo)準(zhǔn)差為0.02。則所給出的10年期零息債券的價(jià)格為（）。A．0.38046B．0.36025C．0.35698D．0.25037E．0.24019

【答案】A

【解析】在Vasicek模型中，=0.1和=0.1和σ=0.02，得到：

第三十三頁，共四十四頁。

【例題7.6】證明Vasicek模型下的瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率為：（7.11）其中解：由定理7-2及式可得：由，的定義可得：及將和代入可得(7.11)式。第三十四頁，共四十四頁。

§7.5

CIR模型1．CIR模型及模型求解

CIR模型：在一般均衡條件下的經(jīng)濟(jì)環(huán)境中考慮了利率的期限結(jié)構(gòu)問題的模型。單因素CIR模型的形式為：（7.12）其中α，μ，σ為正的常數(shù)。滿足(7.12)式的過程稱為平方根過程。

說明：①CIR模型仍是一個(gè)具有均值回復(fù)特性的模型。短期利率rt圍繞長期均值μ波動(dòng)；②利率回復(fù)到均值的速度由模型中的參數(shù)α描述；③CIR模型中它的波動(dòng)項(xiàng)增加了rt的平方根，保證了利率rt不會(huì)出現(xiàn)負(fù)值。第三十五頁，共四十四頁。通過求解可以得到下面的定理：

定理7-3用表示自由度為a，非中心參數(shù)為b的非中心分布的密度函數(shù)。在CIR模型下，基于t時(shí)刻的短期利率rt，未來T(T>t)時(shí)刻的rT的條件分布的密度函數(shù)為：其中

引理7.1

設(shè)是一個(gè)過程，稱為Dynkin算子，則

第三十六頁，共四十四頁。定理7-4

CIR模型下，基于t時(shí)刻的短期利率rt，未來T(T>t)時(shí)刻rT的條件期望為：條件方差為：特別的，取t=0，可得對(duì)任意的t>0，有（7.13）（7.14）

第三十七頁，共四十四頁。

證明：僅證式(7.13)和(7.14)，前兩個(gè)等式的證明是類似的。

的證明：

對(duì)兩邊取期望，因E(dWt)=0，所以，由引理7.1可得：（7.15）上式的邊界條件為E(r0)=r0。設(shè)則(7.15)式變?yōu)椋簩?duì)上式兩邊從0到t積分，并將代入可得：其中C為常數(shù)。由邊界條件可得：C=r0-μ。第三十八頁，共四十四頁。

的證明：

對(duì)rt2用引理，可得：由引理7.1可得：將式

代入上式將得到一個(gè)關(guān)于E(rt2)的一階常微分方程，解方程可得：結(jié)合式

和上式即可得到

說明：由定理7-4可知，當(dāng)t→∞時(shí)，rt→μ。第三十九頁，共四十四頁。

2．