應力狀態(tài)與應變狀態(tài)分析

應力狀態(tài)與應變狀態(tài)分析第一頁，共四十頁，2022年，8月28日第七章應力狀態(tài)與應變狀態(tài)分析

§7–1應力狀態(tài)的概念§7–2平面應力狀態(tài)分析——解析法§7–3平面應力狀態(tài)分析——圖解法§7–4

梁的主應力及其主應力跡線§7–5

三向應力狀態(tài)研究——應力圓法§7–6

復雜應力狀態(tài)下的應力--應變關系

——（廣義虎克定律）§7–7

復雜應力狀態(tài)下的變形比能第二頁，共四十頁，2022年，8月28日§7–１應力狀態(tài)的概念應力狀態(tài)與應變狀態(tài)一、引言1、鑄鐵與低碳鋼的拉、壓、扭試驗現(xiàn)象是怎樣產生的？M低碳鋼鑄鐵PP鑄鐵拉伸P鑄鐵壓縮2、組合變形桿將怎樣破壞？MP第三頁，共四十頁，2022年，8月28日四、普遍狀態(tài)下的應力表示

三、單元體：單元體——構件內的點的代表物，是包圍被研究點的無限小的幾何體，常用的是正六面體。單元體的性質——a、平行面上，應力均布；

b、平行面上，應力相等。二、一點的應力狀態(tài)：

過一點有無數的截面，這一點的各個截面上應力情況的集合，稱為這點的應力狀態(tài)（StateofStressataGivenPoint）。xyzs

xsz

s

y應力狀態(tài)與應變狀態(tài)txy第四頁，共四十頁，2022年，8月28日xyzs

xsz

s

y應力狀態(tài)與應變狀態(tài)txy五、剪應力互等定理（TheoremofConjugateShearing

Stress):

過一點的兩個正交面上,如果有與相交邊垂直的剪應力分量,則兩個面上的這兩個剪應力分量一定等值、方向相對或相離。第五頁，共四十頁，2022年，8月28日tzx六、原始單元體（已知單元體）：例1

畫出下列圖中的A、B、C點的已知單元體。

應力狀態(tài)與應變狀態(tài)PPAAsxsxMPxyzBCsxsxBtxztxytyx第六頁，共四十頁，2022年，8月28日七、主單元體、主面、主應力：主單元體(Principalbidy)：各側面上剪應力均為零的單元體。主面(PrincipalPlane)：剪應力為零的截面。主應力(PrincipalStress

）：主面上的正應力。主應力排列規(guī)定：按代數值大小，應力狀態(tài)與應變狀態(tài)s1s2s3xyzsxsysz第七頁，共四十頁，2022年，8月28日單向應力狀態(tài)（UnidirectionalStateofStress）：一個主應力不為零的應力狀態(tài)。

二向應力狀態(tài)（PlaneStateofStress）：一個主應力為零的應力狀態(tài)。應力狀態(tài)與應變狀態(tài)三向應力狀態(tài)（Three—DimensionalStateof

Stress）：三個主應力都不為零的應力狀態(tài)。AsxsxtzxsxsxBtxz第八頁，共四十頁，2022年，8月28日§7–2

平面應力狀態(tài)分析——解析法應力狀態(tài)與應變狀態(tài)sxtxysyxyzxysxtxysyO第九頁，共四十頁，2022年，8月28日規(guī)定：截面外法線同向為正；

ta繞研究對象順時針轉為正；

a逆時針為正。圖1設：斜截面面積為S，由分離體平衡得：一、任意斜截面上的應力應力狀態(tài)與應變狀態(tài)xysxtxysyOsytxysxsataaxyOtn圖2第十頁，共四十頁，2022年，8月28日圖1應力狀態(tài)與應變狀態(tài)xysxtxysyOsytxysxsataaxyOtn圖2考慮剪應力互等和三角變換，得：同理：第十一頁，共四十頁，2022年，8月28日二、極值應力′′應力狀態(tài)與應變狀態(tài)xysxtxysyO第十二頁，共四十頁，2022年，8月28日xysxtxysyO在剪應力相對的項限內，且偏向于x

及y大的一側。應力狀態(tài)與應變狀態(tài)222xyyxminmaxtsstt+-±=?íì￠￠）（第十三頁，共四十頁，2022年，8月28日例2

分析受扭構件的破壞規(guī)律。解：確定危險點并畫其原始單元體求極值應力應力狀態(tài)與應變狀態(tài)txyCtyxMCxyOtxytyx第十四頁，共四十頁，2022年，8月28日破壞分析應力狀態(tài)與應變狀態(tài)低碳鋼鑄鐵第十五頁，共四十頁，2022年，8月28日§7–3

平面應力狀態(tài)分析——圖解法對上述方程消去參數（2），得：一、應力圓（

StressCircle）應力狀態(tài)與應變狀態(tài)xysxtxysyOsytxysxsataaxyOtn此方程曲線為圓—應力圓（或莫爾圓，由德國工程師：OttoMohr引入）第十六頁，共四十頁，2022年，8月28日建立應力坐標系，如下圖所示，（注意選好比例尺）二、應力圓的畫法在坐標系內畫出點A(x，xy)和B(y，yx)

AB與sa

軸的交點C便是圓心。以C為圓心，以AC為半徑畫圓——應力圓；應力狀態(tài)與應變狀態(tài)sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)第十七頁，共四十頁，2022年，8月28日應力狀態(tài)與應變狀態(tài)sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)三、單元體與應力圓的對應關系面上的應力(，)

應力圓上一點(，)面的法線應力圓的半徑兩面夾角兩半徑夾角2

；且轉向一致。第十八頁，共四十頁，2022年，8月28日四、在應力圓上標出極值應力應力狀態(tài)與應變狀態(tài)OCsataA(sx,txy)B(sy,tyx)x2a12a0s1s2s3第十九頁，共四十頁，2022年，8月28日s3例3

求圖示單元體的主應力及主平面的位置。(單位：MPa)AB

12解：主應力坐標系如圖AB的垂直平分線與sa

軸的交點C便是圓心，以C為圓心，以AC為半徑畫圓——應力圓0應力狀態(tài)與應變狀態(tài)s1s2BAC2s0sata(MPa)(MPa)O20MPa在坐標系內畫出點第二十頁，共四十頁，2022年，8月28日s3應力狀態(tài)與應變狀態(tài)s1s2BAC2s0sata(MPa)(MPa)O20MPa主應力及主平面如圖

102AB第二十一頁，共四十頁，2022年，8月28日解法2—解析法：分析——建立坐標系如圖60°應力狀態(tài)與應變狀態(tài)xyO第二十二頁，共四十頁，2022年，8月28日§7–4

梁的主應力及其主應力跡線應力狀態(tài)與應變狀態(tài)12345P1P2q如圖，已知梁發(fā)生剪切彎曲（橫力彎曲），其上M、Q>0，試確定截面上各點主應力大小及主平面位置。單元體：第二十三頁，共四十頁，2022年，8月28日應力狀態(tài)與應變狀態(tài)21s1s3s33s1s34s1s1s35a0–45°a0stA1A2D2D1COsA2D2D1CA1Ot2a0stD2D1CD1O2a0=–90°sD2A1Ot2a0CD1A2stA2D2D1CA1O第二十四頁，共四十頁，2022年，8月28日拉力壓力主應力跡線（StressTrajectories)：主應力方向線的包絡線——曲線上每一點的切線都指示著該點的拉主應力方位（或壓主應力方位）。實線表示拉主應力跡線；虛線表示壓主應力跡線。應力狀態(tài)與應變狀態(tài)1313第二十五頁，共四十頁，2022年，8月28日qxy主應力跡線的畫法：11截面22截面33截面44截面ii截面nn截面bacd13應力狀態(tài)與應變狀態(tài)31第二十六頁，共四十頁，2022年，8月28日§7–5

三向應力狀態(tài)研究——應力圓法應力狀態(tài)與應變狀態(tài)s2s1xyzs31、空間應力狀態(tài)第二十七頁，共四十頁，2022年，8月28日2、三向應力分析彈性理論證明，圖a單元體內任意一點任意截面上的應力都對應著圖b的應力圓上或陰影區(qū)內的一點。圖a圖b整個單元體內的最大剪應力為：tmax應力狀態(tài)與應變狀態(tài)s2s1xyzs3第二十八頁，共四十頁，2022年，8月28日例4

求圖示單元體的主應力和最大剪應力。（MPa）解：由單元體圖知：yz面為主面建立應力坐標系如圖，畫應力圓和點1′,得:應力狀態(tài)與應變狀態(tài)5040xyz3010(M

Pa)sa（M

Pa）taABCABs1s2s3tmax第二十九頁，共四十頁，2022年，8月28日§7–6

復雜應力狀態(tài)下的應力--應變關系

——（廣義虎克定律）一、單拉下的應力--應變關系二、純剪的應力--應變關系應力狀態(tài)與應變狀態(tài)xyzsxxyz

x

y第三十頁，共四十頁，2022年，8月28日三、復雜狀態(tài)下的應力---應變關系依疊加原理,得:應力狀態(tài)與應變狀態(tài)

xyzszsytxysx第三十一頁，共四十頁，2022年，8月28日主應力---主應變關系四、平面狀態(tài)下的應力---應變關系:方向一致應力狀態(tài)與應變狀態(tài)s1s3s2第三十二頁，共四十頁，2022年，8月28日主應力與主應變方向一致?應力狀態(tài)與應變狀態(tài)第三十三頁，共四十頁，2022年，8月28日五、體積應變與應力分量間的關系體積應變：體積應變與應力分量間的關系:應力狀態(tài)與應變狀態(tài)s1s3s2a1a2a3第三十四頁，共四十頁，2022年，8月28日例5已知一受力構件自由表面上某一點處的兩個面內主應變分別為：1=24010-6，

2=–16010-6，彈性模量E=210GPa，泊松比為=0.3，試求該點處的主應力及另一主應變。所以，該點處的平面應力狀態(tài)應力狀態(tài)與應變狀態(tài)第三十五頁，共四十頁，2022年，8月28日me3342.-=應力狀態(tài)與應變狀態(tài)第三十六頁，共四十頁，2022年，8月28日例6

圖a所示為承受內壓的薄壁容器。為測量容器所承受的內壓力值，在容器表面用電阻應變片測得環(huán)向應變t

=350×l06，若已知容器平均直徑D=500mm，壁厚=10mm，容器材料的E=210GPa，=0.25，試求:1.導出容器橫截面和縱截面上的正應力表達式；2.計算容器所受的內壓力。應力狀態(tài)與應變狀態(tài)pppxs1smlpODxABy圖a第三十七頁，共四十頁，2022年，8月28日1、軸向應力:(longitudinalstress)解：容器的環(huán)向和縱向應力表達式用橫截面將容器截開，受力如圖b所示,根據平衡方程應力狀態(tài)與應變狀態(tài)psmsmx