建立數(shù)學(xué)模型

建立數(shù)學(xué)模型第一頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型…~實(shí)物模型水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī)…~物理模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖…~符號(hào)模型模型是為了一定目的，對(duì)客觀事物的一部分進(jìn)行簡(jiǎn)縮、抽象、提煉出來(lái)的原型的替代物.模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征.1.1

從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型我們常見(jiàn)的模型第二頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日你碰到過(guò)的數(shù)學(xué)模型——“航行問(wèn)題”用x

表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小時(shí)20千米.甲乙兩地相距750公里，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時(shí)，從乙到甲逆水航行需50小時(shí)，問(wèn)船的速度是多少?x=20y=5求解第三頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日航行問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟作出簡(jiǎn)化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；用符號(hào)表示有關(guān)量（x,y表示船速和水速）；用物理定律（勻速運(yùn)動(dòng)的距離等于速度乘以時(shí)間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20,y=5）；回答原問(wèn)題（船速每小時(shí)20千米）.第四頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel)和數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling)對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)表述.建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程（包括表述、求解、解釋、檢驗(yàn)等）數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模第五頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日1.2

數(shù)學(xué)建模的重要意義電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展；數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透.數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的第一步，越來(lái)越受到人們的重視。

在一般工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地；

在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具；

數(shù)學(xué)進(jìn)入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開(kāi)辟了許多處女地.第六頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日“數(shù)學(xué)是一種關(guān)鍵的、普遍的、可以應(yīng)用的技術(shù)”.數(shù)學(xué)“由研究到工業(yè)領(lǐng)域的技術(shù)轉(zhuǎn)化，對(duì)加強(qiáng)經(jīng)濟(jì)競(jìng)爭(zhēng)力具有重要意義”.“計(jì)算和建模重新成為中心課題，它們是數(shù)學(xué)科學(xué)技術(shù)轉(zhuǎn)化的主要途徑”.數(shù)學(xué)建模的重要意義第七頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用

分析與設(shè)計(jì)

預(yù)報(bào)與決策

控制與優(yōu)化

規(guī)劃與管理數(shù)學(xué)建模計(jì)算機(jī)技術(shù)知識(shí)經(jīng)濟(jì)如虎添翼第八頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日1.3

數(shù)學(xué)建模示例1.3.1

椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問(wèn)題分析模型假設(shè)通常~三只腳著地放穩(wěn)~四只腳著地四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳連線呈正方形;地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面;地面相對(duì)平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時(shí)著地.第九頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái).椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對(duì)稱性.xBADCOD′C′B′A′用(對(duì)角線與x軸的夾角)表示椅子位置.四只腳著地距離是的函數(shù).四個(gè)距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和~f()B,D兩腳與地面距離之和~g()兩個(gè)距離椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)正方形對(duì)稱性第十頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái).f(),g()是連續(xù)函數(shù)對(duì)任意,f(),g()至少一個(gè)為0數(shù)學(xué)問(wèn)題已知：f(),g()是連續(xù)函數(shù);對(duì)任意，f()?g()=0;且g(0)=0，f(0)>0.證明：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面椅子在任意位置至少三只腳著地第十一頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日模型求解給出一種簡(jiǎn)單、粗造的證明方法將椅子旋轉(zhuǎn)900，對(duì)角線AC和BD互換.由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()–g(),則h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的連續(xù)性知

h為連續(xù)函數(shù),據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì),必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因?yàn)閒()?g()=0,所以f(0)=g(0)=0.評(píng)注和思考建模的關(guān)鍵~假設(shè)條件哪些是本質(zhì)的,哪些是非本質(zhì)的?考察四腳連線呈長(zhǎng)方形的椅子(習(xí)題4)和f(),g()的確定第十二頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日1.3.2

商人們?cè)鯓影踩^(guò)河問(wèn)題(智力游戲)3名商人3名隨從隨從們密約,在河的任一岸,一旦隨從的人數(shù)比商人多,就殺人越貨.乘船渡河的方案由商人決定.商人們?cè)鯓硬拍馨踩^(guò)河?問(wèn)題分析多步?jīng)Q策過(guò)程決策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員要求~在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過(guò)河.河小船(至多2人)第十三頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日模型構(gòu)成xk~第k次渡河前此岸的商人數(shù)yk~第k次渡河前此岸的隨從數(shù)xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,sk=(xk,yk)~過(guò)程的狀態(tài)S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允許狀態(tài)集合uk~第k次渡船上的商人數(shù)vk~第k次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk,vk)~過(guò)程的決策D~允許決策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk

dk+(-1)k~狀態(tài)轉(zhuǎn)移律D={(u

,v)u+v=1,2}狀態(tài)因決策而改變第十四頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日模型求解xy3322110窮舉法~編程上機(jī)圖解法狀態(tài)s=(x,y)~16個(gè)格點(diǎn)

~10個(gè)點(diǎn)允許決策~移動(dòng)1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,d11給出安全渡河方案d1d11允許狀態(tài)S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}求dkD(k=1,2,n),使skS,并按轉(zhuǎn)移律sk+1=sk+(-1)kdk

由s1=(3,3)到達(dá)sn+1=(0,0).模型構(gòu)成第十五頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日商人和隨從人數(shù)增加或小船容量加大;商人們?cè)鯓影踩^(guò)河智力游戲多步?jīng)Q策過(guò)程(數(shù)學(xué)模型)易于推廣:規(guī)格化方法考慮4名商人各帶一隨從的情況.多步?jīng)Q策模型:恰當(dāng)?shù)卦O(shè)置狀態(tài)和決策,確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移律及目標(biāo)(目標(biāo)函數(shù)).便于求解(計(jì)算機(jī)編程等)第十六頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日背景年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長(zhǎng)概況中國(guó)人口增長(zhǎng)概況年19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規(guī)律控制人口過(guò)快增長(zhǎng)1.3.3如何預(yù)報(bào)人口的增長(zhǎng)第十七頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日指數(shù)增長(zhǎng)模型——馬爾薩斯提出(1798)常用的計(jì)算公式x(t)~時(shí)刻t的人口基本假設(shè)

:人口(相對(duì))增長(zhǎng)率r是常數(shù)今年人口x0,年增長(zhǎng)率rk年后人口隨著時(shí)間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng)與常用公式的一致第十八頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日指數(shù)增長(zhǎng)模型的應(yīng)用及局限性與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合.適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代.可用于短期人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè).不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長(zhǎng)規(guī)律.不能預(yù)測(cè)較長(zhǎng)期的人口增長(zhǎng)過(guò)程.19世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)人口增長(zhǎng)率r不是常數(shù)(逐漸下降)第十九頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用,且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)r~固有增長(zhǎng)率(x很小時(shí))xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)第二十頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x增加先快后慢x0xm/2阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)第二十一頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日參數(shù)估計(jì)用指數(shù)增長(zhǎng)模型或阻滯增長(zhǎng)模型作人口預(yù)報(bào)，必須先估計(jì)模型參數(shù)r或r,xm.根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)利用線性最小二乘法作擬合阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)例：美國(guó)人口數(shù)據(jù)(百萬(wàn))

186018701880……1960197019801990200031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4281.4tx數(shù)據(jù)(t,x)數(shù)據(jù)(x,y)用最小二乘法估計(jì)r,sr,xm第二十二頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日模型檢驗(yàn)用模型計(jì)算2000年美國(guó)人口誤差不到3%阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.1用美國(guó)1860~1990年數(shù)據(jù)(去掉個(gè)別異常數(shù)據(jù))與實(shí)際數(shù)據(jù)(2000年為281.4)比較1790年為零點(diǎn)=274.5第二十三頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日Logistic模型的應(yīng)用模型應(yīng)用加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計(jì)模型參數(shù)r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.0預(yù)報(bào)美國(guó)2010年的人口經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的增長(zhǎng)規(guī)律(耐用消費(fèi)品的售量).種群數(shù)量模型(魚(yú)塘中的魚(yú)群,森林中的樹(shù)木).預(yù)報(bào)人口的增長(zhǎng)指數(shù)增長(zhǎng)模型阻滯增長(zhǎng)模型參數(shù)估計(jì)和模型檢驗(yàn)是建模的重要步驟.線性最小二乘法是參數(shù)估計(jì)的基本方法.修改假設(shè)第二十四頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模的基本方法機(jī)理分析測(cè)試分析根據(jù)對(duì)客觀事物特性的認(rèn)識(shí)，找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律.將對(duì)象看作“黑箱”,通過(guò)對(duì)量測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型.機(jī)理分析沒(méi)有統(tǒng)一的方法，主要通過(guò)實(shí)例研究(CaseStudies)來(lái)學(xué)習(xí)。以下建模主要指機(jī)理分析.二者結(jié)合用機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu),用測(cè)試分析確定模型參數(shù).1.4

數(shù)學(xué)建模的方法和步驟第二十五頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型求解模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用模型準(zhǔn)備了解實(shí)際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對(duì)象特征形成一個(gè)比較清晰的‘問(wèn)題’第二十六頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日模型假設(shè)針對(duì)問(wèn)題特點(diǎn)和建模目的作出合理的、簡(jiǎn)化的假設(shè)在合理與簡(jiǎn)化之間作出折中模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、符號(hào)描述問(wèn)題發(fā)揮想象力使用類比法盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具數(shù)學(xué)建模的一般步驟第二十七頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日模型求解各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù).如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析.模型分析模型檢驗(yàn)與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇浴⑦m用性.