2017-2018學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)備考講練專題04圓與方程導(dǎo)學(xué)案文

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE17學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精專題04圓與方程學(xué)習(xí)目標(biāo)通過復(fù)習(xí)幫助同學(xué)們系統(tǒng)掌握本章知識(shí)；2、通過習(xí)題幫助同學(xué)們熟悉相關(guān)知識(shí)在解題中的應(yīng)用。二、知識(shí)梳理1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫圓，定點(diǎn)為圓心，定長為圓的半徑。2、圓的方程（1)標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心,半徑為r；（2）一般方程當(dāng)時(shí)，方程表示圓，此時(shí)圓心為,半徑為當(dāng)時(shí),表示一個(gè)點(diǎn);當(dāng)時(shí)，方程不表示任何圖形。(3）求圓方程的方法:一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,需求出a，b,r；若利用一般方程，需要求出D，E，F(xiàn);另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì):如弦的中垂線必經(jīng)過原點(diǎn)，以此來確定圓心的位置.3、直線與圓的位置關(guān)系：直線與圓的位置關(guān)系有相離,相切,相交三種情況,基本上由下列兩種方法判斷：（1）設(shè)直線，圓,圓心到l的距離為,則有；；（2）設(shè)直線，圓，先將方程聯(lián)立消元,得到一個(gè)一元二次方程之后令其中的判別式為，則有；;注：如果圓心的位置在原點(diǎn),可使用公式去解直線與圓相切的問題，其中表示切點(diǎn)坐標(biāo)，r表示半徑.(3）過圓上一點(diǎn)的切線方程：①圓x2+y2=r2，圓上一點(diǎn)為（x0，y0），則過此點(diǎn)的切線方程為（課本命題)．②圓（x—a）2+（y—b）2=r2,圓上一點(diǎn)為(x0，y0），則過此點(diǎn)的切線方程為(x0-a）（x-a)+(y0—b)(y—b)=r2（課本命題的推廣)．4、圓與圓的位置關(guān)系：通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。設(shè)圓，兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和(差),與圓心距（d）之間的大小比較來確定。當(dāng)時(shí)兩圓外離，此時(shí)有公切線四條；當(dāng)時(shí)兩圓外切，連心線過切點(diǎn),有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；當(dāng)時(shí)兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點(diǎn)，只有一條公切線；當(dāng)時(shí),兩圓內(nèi)含;當(dāng)時(shí)，為同心圓.5、空間直角坐標(biāo)系（1）定義：如圖,是單位正方體。以A為原點(diǎn)，分別以O(shè)D,O，OB的方向?yàn)檎较?建立三條數(shù)軸。這時(shí)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz.（1）O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)2）x軸，y軸，z軸叫做坐標(biāo)軸。3）過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)面。（2)右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直時(shí)，可能形成的位置。大拇指指向?yàn)閤軸正方向，食指指向?yàn)閥軸正向，中指指向則為z軸正向，這樣也可以決定三軸間的相位置。（3）任意點(diǎn)坐標(biāo)表示:空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組來表示，有序?qū)崝?shù)組叫做點(diǎn)M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作(x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo),z叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo)）(4）空間兩點(diǎn)距離坐標(biāo)公式：三、典型例題例1。求圓心在直線3x＋4y－1＝0上,且經(jīng)過兩圓x2＋y2－x＋y－2＝0與x2＋y2＝5的交點(diǎn)的圓的方程.【方法規(guī)律】用待定系數(shù)法設(shè)圓的方程（圓系方程或一般方程或標(biāo)準(zhǔn)方程），根據(jù)條件求系數(shù)。變式練習(xí)1．圓心在直線5x－3y＝8上，且圓與兩坐標(biāo)軸均相切，求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】(x－4)2＋(y－4）2＝16或（x－1）2＋(y＋1）2＝1.例2.已知圓M:（x－1)2＋（y－1）2＝4,直線l過點(diǎn)P（2,3)且與圓M交于A，B兩點(diǎn)，且|AB｜＝2eq\r（3）,求直線l的方程．【解析】（1)當(dāng)直線l存在斜率時(shí),設(shè)直線l的方程為y－3＝k(x－2），即kx－y＋3－2k＝0.示意圖如圖，作MC⊥AB于C。在Rt△MBC中，|BC|＝eq\f(1，2）|AB|＝eq\r（3），｜MB|＝2，故|MC|＝eq\r（|MB｜2－|BC|2)＝1，由點(diǎn)到直線的距離公式得eq\f(|k－1＋3－2k|，\r(k2＋1）)＝1，解得k＝eq\f(3,4).故直線l的方程為3x－4y＋6＝0。(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，其方程為x＝2，且|AB｜＝2eq\r(3）,所以符合題意．綜上所述，直線l的方程為3x－4y＋6＝0或x＝2?！痉椒ㄒ?guī)律】解決有關(guān)圓的問題時(shí)，注意幾何意義的運(yùn)用。變式練習(xí)2．已知圓C與圓x2＋y2－2x＝0相外切，并且與直線x＋eq\r（3)y＝0相切于點(diǎn)Q(3,－eq\r(3)），求圓C的方程．【答案】（x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4eq\r(3））2＝36.【解析】設(shè)所求圓C的方程為(x－a）2＋(y－b)2＝r2,圓心C（a，b）與Q(3，－eq\r(3)）的連線垂直于直線x＋eq\r(3）y＝0，且斜率為eq\r(3).由題意得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(\r（a－12＋b2)＝r＋1,,\f（｜a＋\r(3)b|，2)＝r，,\f(b＋\r(3),a－3）＝\r（3），））解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝4，，b＝0，，r＝2））或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝－4\r（3),,r＝6。））∴所求圓的方程為（x－4）2＋y2＝4或x2＋(y＋4eq\r（3))2＝36。例3。如圖，圓O1與圓O2的半徑都是1，|O1O2|＝4,過動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O1、圓O2的切線PM，PN，（M，N分別為切點(diǎn)），使得｜PM｜＝eq\r（2）|PN|，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．變式練習(xí)3．等腰三角形的頂點(diǎn)是A(4,2），底邊一個(gè)端點(diǎn)是B（3，5），求另一個(gè)端點(diǎn)C的軌跡方程，并說明它的軌跡是什么?！窘馕觥吭O(shè)另一端點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x,y).依題意，得|AC|＝｜AB｜。由兩點(diǎn)間距離公式，得eq\r（x－42＋y－22)＝eq\r（4－32＋2－52）,整理得（x－4）2＋（y－2）2＝10.這是以點(diǎn)A（4,2)為圓心，以eq\r（10)為半徑的圓,如圖所示,又因?yàn)锳、B、C為三角形的三個(gè)頂點(diǎn),所以A、B、C三點(diǎn)不共線．即點(diǎn)B、C不能重合且B、C不能為圓A的一直徑的兩個(gè)端點(diǎn)．因?yàn)辄c(diǎn)B、C不能重合，所以點(diǎn)C不能為(3,5)．又因?yàn)辄c(diǎn)B、C不能為一直徑的兩個(gè)端點(diǎn),所以eq\f(x＋3,2）≠4。且eq\f（y＋5,2)≠2，即點(diǎn)C不能為(5，－1)．故端點(diǎn)C的軌跡方程是(x－4)2＋(y－2)2＝10（除去點(diǎn)(3，5)和（5，－1))．綜上,它的軌跡是以點(diǎn)A（4,2）為圓心，eq\r(10）為半徑的圓，但除去(3，5）和(5，－1）兩點(diǎn).例4.已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程x2+y2-4x+1=0.求:(1)的最大值和最小值；(2)y—x的最大值和最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值.【方法規(guī)律】求、y-x、x2+y2的最值，聯(lián)想其幾何意義。變式練習(xí)4.若實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋y2＋8x－6y＋16＝0,求x＋y的最小值．【答案】－3eq\r（2)－1?！窘馕觥吭匠袒癁椋▁＋4）2＋（y－3）2＝9，設(shè)x＋y＝b，則y＝－x＋b，可見x＋y的最小值就是過圓（x＋4）2＋(y－3)2＝9上的點(diǎn)作斜率為－1的平行線中,縱截距b的最小值,此時(shí),直線與圓相切,由點(diǎn)到直線的距離公式得eq\f(｜4－3＋b｜，\r(2）)＝3.解得b＝3eq\r（2）－1或b＝－3eq\r（2）－1,所以x＋y的最小值為－3eq\r（2）－1.四、課堂練習(xí)1.圓的半徑為（)A.B.C。D?！敬鸢浮緽【解析】由圓，通過配方可得。所以圓的半徑為。故選B。2．直線與圓的位置關(guān)系為A.相切B.相交但不過圓心C.直線過圓心D。相離【答案】B【解析】圓的圓心，圓心到直線的距離，所以直線與圓相交但不過圓心。故選B。3.以原點(diǎn)O為圓心且截直線3x＋4y＋15＝0所得弦長為8的圓的方程是________．【答案】x2＋y2＝25【解析】原點(diǎn)O到直線的距離d＝eq\f（15,\r(32＋42))＝3，設(shè)圓的半徑為r,∴r2＝32＋42＝25，∴圓的方程是x2＋y2＝25.4。一直線過點(diǎn)，被圓截得的弦長為8，求此弦所在的直線方程?！敬鸢浮?1）(2）五、課后練習(xí)1。圓心在軸上，半徑為1,且過點(diǎn)的圓的方程為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，因?yàn)閳A心在軸上，排除C;又經(jīng)過點(diǎn)，代入剩余選項(xiàng)得只有A正確.另解：設(shè)圓的方程為，將點(diǎn)代入得，所以方程為。故選A。2。經(jīng)過圓x2＋y2＝10上一點(diǎn)M(2，eq\r（6))的切線方程是（）A．x＋eq\r(6）y－10＝0 B。eq\r(6）x－2y＋10＝0C．x－eq\r（6）y＋10＝0 D．2x＋eq\r(6)y－10＝0【答案】D【解析】∵點(diǎn)M（2，eq\r(6）)在圓x2＋y2＝10上，kOM＝eq\f（\r(6)，2)，∴過點(diǎn)M的切線的斜率為k＝－eq\f（\r(6），3)。故切線方程為y－eq\r（6）＝－eq\f（\r(6），3)（x－2）．即2x＋eq\r(6）y－10＝0。故選D.3．過點(diǎn)(2,1)的直線中，被圓x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最長弦所在的直線方程為（）A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋1＝0【答案】A【解析】依題意知所求直線通過圓心(1，－2),由直線的兩點(diǎn)式方程，得eq\f(y＋2,1＋2）＝eq\f(x－1,2－1），即3x－y－5＝0。故選A。4.已知圓C1:(x＋2)2＋(y－2）2＝2，圓C2與圓C1關(guān)于直線x－y－1＝0對稱，則圓C2的方程為()A．（x＋3）2＋(y－3）2＝2B．（x－1）2＋(y＋1）2＝2C．（x－2)2＋（y＋2）2＝2D．（x－3）2＋(y＋3)2＝2【答案】D5。已知圓與圓相內(nèi)切，則實(shí)數(shù)m的值為．【答案】1或121【解析】圓的圓心為,半徑為，圓的圓心為，半徑為6，由兩圓外切可知或6。若x，y∈R,且x＝eq\r(1－y2）,則eq\f(y＋2,x＋1）的取值范圍是________．【答案】eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f（3,4），3)）【解析】x＝eq\r（1－y2)?x2＋y2＝1(x≥0），此方程表示半圓，如圖,設(shè)P（x,y）是半圓上的點(diǎn)，則eq\f（y＋2,x＋1）表示過點(diǎn)P(x，y）,Q(－1，－2）兩點(diǎn)直線的斜率．設(shè)切線QA的斜率為k，則它的方程為y＋2＝k（x＋1）．從而由eq\f(|k－2｜,\r(k2＋1)）＝1，解得k＝eq\f(3,4).又kBQ＝3，∴所求范圍是eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f(3,4)，3））.7。求經(jīng)過兩點(diǎn)A(－1,4），