應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計假設(shè)檢驗非參數(shù)檢驗

應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計假設(shè)檢驗非參數(shù)檢驗1第一頁，共五十五頁，2022年，8月28日(b)原假設(shè)與備擇假設(shè)的地位是不對稱的,當(dāng)“小概率事件”未發(fā)生時，就不能拒絕原假設(shè)但不等于邏輯上證明了成立，只能說沒有充分的證據(jù)拒絕。即受保護(hù).都成立。例3.11

(P92)設(shè)總體X~N(,1),

又設(shè)X1,X2,...,Xn為總體X的樣本,樣本均值=X1=0.5

，樣本容量n＝1，α＝0.05，提出兩種假設(shè)的方法，分別如下：第二頁，共五十五頁，2022年，8月28日

實際中，一般提出原假設(shè)要慎重，傾向于不輕易否定，而受保護(hù)的程度為α。其越小，小概率事件就越難發(fā)生，H0就越難被否定。(c)從另一角度看，既然原假設(shè)H0受保護(hù)，則對其的肯定相對來說是缺乏說服力的，反之對其的否定則是有力的，且α越小，小概率事件就越難發(fā)生，一旦發(fā)生了，這種否定就越有力。第三頁，共五十五頁，2022年，8月28日3.4.2檢驗中的兩類錯誤

所謂犯錯誤是指檢驗的結(jié)論與實際情況不符。兩類錯誤：（1）H0

成立，而檢驗結(jié)果表明其不成立——“棄真”；（2）H0不成立，而檢驗結(jié)果表明其成立——“取偽”。記:=P{第一類錯誤}=P{拒絕H0|H0真}

=P{第二類錯誤}=P{接受H0|H0偽}檢驗的本質(zhì)是構(gòu)造否定域V，在看樣本點是否落入V中。

當(dāng)然,我們希望犯兩類錯誤的概率都盡可能的小,最好都為零.但當(dāng)樣本容量固定時,是不可能的.在實際問題中,通常的做法是:先限制犯第一類錯誤的概率,即根據(jù)實際情況,指定一個較小的數(shù)(如0.05,0.01等),有了的值,從而可確定拒絕域.第四頁，共五十五頁，2022年，8月28日例3.12

(P94)設(shè)總體X~N(,02),02已知，又設(shè)X1,X2,...,Xn為總體X的樣本,x1,x2,…,xn為X的一組樣本觀測值，試求對問題：的檢驗的兩類錯誤的概率。拒絕域:單側(cè)檢驗第五頁，共五十五頁，2022年，8月28日3.4.3樣本容量確定問題從例3.12看出，當(dāng)樣本容量固定時，若要控制第一類錯誤的概率，就不能使第二類錯誤的概率任意小。但從（3.10）式看出，固定α，使n增大，可使β任意小。但實際中，樣本的采集是有成本的，或根本無法獲得大樣本。引出問題：能否確定一個最小的n使得兩類錯誤的概率都在控制的范圍。第六頁，共五十五頁，2022年，8月28日(一)正態(tài)總體，已知；的u檢驗。當(dāng)?shù)仁接叶瞬皇钦麛?shù)時,取不小于右端的最小的整數(shù)第七頁，共五十五頁，2022年，8月28日(二)正態(tài)總體，未知，考慮的檢驗。隱式解,通過給定的α和β試算確定n.第八頁，共五十五頁，2022年，8月28日例3.13一門炮需通過發(fā)射試驗來進(jìn)行精度驗收，假設(shè)命中誤差是純隨機的，又橫向（或縱向）誤差容許的標(biāo)準(zhǔn)差為σ0，制造方要求采用的檢驗方法要求保證：如果產(chǎn)品合格而被拒絕的概率不大于5％；使用方要求保證，若產(chǎn)品不合格且標(biāo)準(zhǔn)差超過√2σ0而被接受的概率小于10％，試問至少應(yīng)發(fā)射多少發(fā)炮彈進(jìn)行試驗，才能滿足雙方的要求。解：設(shè)炮彈落點的橫向（或縱向）偏差服從正態(tài)分布，利用上式,通過給定的α=0.05和β=0.1,查表進(jìn)行試算,最后確定n=37.第九頁，共五十五頁，2022年，8月28日SPSS

軟件：參數(shù)檢驗之均值檢驗Means過程對準(zhǔn)備比較的各組計算描述指標(biāo)，進(jìn)行預(yù)分析，也可直接比較。One-SamplesTTest過程進(jìn)行樣本均數(shù)與已知總體均數(shù)的比較。Independent-SamplesTTest過程進(jìn)行兩樣本均數(shù)差別的比較，即通常所說的兩組資料的t檢驗。Paired-SamplesTTest過程進(jìn)行配對資料的顯著性檢驗，即配對t檢驗。One-WayANOVA過程進(jìn)行兩組及多組樣本均數(shù)的比較，即成組設(shè)計的方差分析，還可進(jìn)行隨后的兩兩比較。第十頁，共五十五頁，2022年，8月28日再通過轉(zhuǎn)換：

將u通過轉(zhuǎn)換為y以后，留下x和y的刻度就是正態(tài)概率紙，是非均勻刻度。若是一般正態(tài)分布總體，則分布函數(shù)的圖形，在x－u平面上是一條直線。即：x=σu+μ.

σ不同表示斜率不同，μ不同表示在x軸上的截距不同。(二）檢驗方法

若假設(shè)H0為真，則在概率紙上的坐標(biāo)點（xi’,Fn

(xi’)(i=1,2,…,m）在一條直線上。若在（近似）一條直線上，就接受假設(shè)，否則拒絕。一般中間點靠近即可。第十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日§3.5非參數(shù)假設(shè)檢驗

總體的分布類型不知道，僅知是連續(xù)或離散型(一）正態(tài)概率紙的構(gòu)造

首先建立一直角坐標(biāo)系，橫軸上刻度為x軸，縱軸上刻度為u值，都為均勻刻度。其中：3.5.1正態(tài)概率紙檢驗工程上常用的簡單但粗糙方法,用以判斷是否正態(tài)分布以及相應(yīng)的均值和方差估計。

非參數(shù)檢驗隨機變量之間的獨立性檢驗總體分布函數(shù)的擬合檢驗{第十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日

基本方法是首先將容量為n的樣本從小到大排序得到

，則樣本的經(jīng)驗分布函數(shù)可表示為當(dāng)

時,實際上取

，相應(yīng)的

是N(0,1)的

分位點，此時點

應(yīng)該近似在直線

上。如果由樣本計算出的n個點近似在直線上，則可認(rèn)為它來自正態(tài)分布。一般地,中間的點的位置離直線的偏差不能太大,兩頭的離直線位置的偏差可以大一些.否則拒絕原假設(shè).講解P99-101（例3.14）第十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日表3.3編號分組區(qū)間組中值頻數(shù)累積頻數(shù)累積頻率(%)1(-∞,198]196.56652(198,201]199.571310.833(201,204]202.5142722.504(204,207]205.5204739.175(207,210]208.5237058.336(210,213]211.5229276.667(213,216]214.51410688.338(216,219]217.58114959(219，+∞)220.56120100以分組區(qū)間的中點(組中值)為橫坐標(biāo),累積頻率為縱坐標(biāo),在正態(tài)概率紙上描出9個點(如圖3-6，見書上P101)第十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日由圖形檢驗大致地判斷出總體是服從正態(tài)分布后，由于由與直線交點的橫坐標(biāo)即為；又由于，則與直線的交點的橫坐標(biāo)為得到。

除此之外，還有對數(shù)正態(tài)概率紙，威布Weibull概率紙等來研究相應(yīng)的分布——定性的方法。(三）未知參數(shù)μ，σ2的估計以下介紹數(shù)值檢驗方法（定量方法）。第十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日SPSS

軟件：非參數(shù)檢驗之正態(tài)概率紙輸入數(shù)據(jù):確定變量,輸入樣本.若是分組資料，樣本值輸入組中值，再加權(quán)（DATAWeighBy頻數(shù)）Q-Q圖——一種正態(tài)概率紙,檢驗的命令在GRAPHS菜單,由得到的圖形是否為一條直線,可以大致地判斷總體是否服從正態(tài)分布。P99-101（例3.14）第十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日3.5.2皮爾遜擬合檢驗擬合檢驗：H0:X的分布函數(shù)為F0(X)

為理論分布，用其去擬合樣本值。擬合優(yōu)度：擬合好壞的標(biāo)準(zhǔn),即擬合的優(yōu)良程度。設(shè)總體X（一維或多維）的分布完全已知或分布中含有未知參數(shù)。為樣本值。一般原則：構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量（樣本X與總體分布F0的偏差的度量）及界限D(zhuǎn)0

。若D超過了D0，就否定，否則接受原假設(shè)。對于D的不同定義可以得到不同的檢驗方法。第十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日（一）理論分布完全已知的情況1設(shè)總體X是離散型，取有限值理論分布律F0

：

原假設(shè)

記ni為中等于ai的個數(shù)，

(ni稱為ai的觀察頻數(shù)），Xa1a2…akPp1p2…pk第十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日而npi稱作ai的理論頻數(shù)。當(dāng)X的分布為F0，，由大數(shù)定理，H0成立時，與相差不大。1900年，皮爾遜建立了統(tǒng)計量

用來衡量理論分布{p1,p2,…,pk}與實際數(shù)據(jù)的偏差.（相對差異的總和）。第十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日得到了:當(dāng)為真時，當(dāng)為假時，皮爾遜還證明了，時，統(tǒng)計量的極限分布為第二十頁，共五十五頁，2022年，8月28日因此，給定檢驗水平α上述檢驗問題的否定域為：

（單側(cè)檢驗問題）此時，時，

——皮爾遜檢驗法。講解例3.15(P104)第二十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日Sig.P值>α=0.05,接受H0SPSS輸入變量值及頻數(shù),給變量加權(quán)選ANALYZE菜單非參數(shù)檢驗二項分布檢驗,輸入檢驗參數(shù)值.第二十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日(2)為一般（連續(xù)）的完全已知分布

化作離散型處理（設(shè)一維的情況）選取常數(shù)，將分成k個互不相交的區(qū)間，記作。記為X落入?yún)^(qū)間的概率.第二十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日記為樣本落入?yún)^(qū)間的頻數(shù)，理論頻數(shù)為。皮爾遜檢驗統(tǒng)計量為在為真時，其極限分布為其余方法與前(1)相同。第二十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日

在許多實際問題中,理論分布類型已知,但其中含有若干未知參數(shù).如:

此時，檢驗先求下，未知參數(shù)的點估計(最大似然估計)，記作，再計算（二）理論分布帶參數(shù)的情況第二十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日用此代替前述的，得到統(tǒng)計量為

Fisher證明了滿足一定條件下的點估計，其極限分布為于是，否定域為具體過程見P106，例3.16。第二十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日SPSS輸入變量值及頻數(shù),給變量加權(quán),選ANALYZE菜單非參數(shù)檢驗中卡方檢驗,輸入檢驗參數(shù)值(Pi).第二十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日（三）方法用于檢驗獨立性如“服新藥”與“痊愈”，“吸煙”與“患肺癌”等關(guān)系問題。模型：設(shè)X的可能取值是1,2,…,r

Y的可能取值是1,2,…,s。對隨機向量(X,Y)進(jìn)行了n次觀察,發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)的次數(shù)為（頻數(shù)）。檢驗假設(shè)

H0:X與Y相互獨立。第二十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日當(dāng)假設(shè)為真時，研究問題的數(shù)據(jù)常排列為“列聯(lián)表”(見P108)。設(shè):于是檢驗問題為：第二十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日若分布已知，即已知，構(gòu)造統(tǒng)計量

但此時分布未知，用極大似然估計量代替得到得到否定域第三十頁，共五十五頁，2022年，8月28日SPSS講解例3.17(P110)

輸入變量值及頻數(shù),給變量加權(quán),選ANALYZE菜單描述性統(tǒng)計中列聯(lián)表,輸入行和列,點復(fù)選框中卡方檢驗進(jìn)行獨立性檢驗.第三十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日若(X,Y)為連續(xù)型隨機向量時，作離散化處理。小結(jié)

皮爾遜方法使用范圍廣，對于一維、多維、離散、連續(xù)、參數(shù)已知、未知、全樣本、截尾樣本等均適用；但分組處理樣本值時，雖然假設(shè)分布不成立，但可能劃分方式不同，特別對于截尾樣本，影響統(tǒng)計量的取值，容易導(dǎo)致犯第二類錯誤（取偽）的概率增加。第三十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日經(jīng)驗分布函數(shù)將觀察值排序(非降)：定義Fn(x)一致地收斂于F(x).3.5.3柯爾莫哥洛夫檢驗(一)一般情形第三十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日柯氏提出的檢驗統(tǒng)計量為其精確分布為已知(P112)?？聽柛缒宸驒z驗假設(shè)：H0：F(x)=F0

(x)其中F0

(x)為完全已知的連續(xù)型分布函數(shù).第三十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日因為分布函數(shù)Fn

(x)

與F0(x)均為X的單調(diào)非減函數(shù)，所以二者偏差的上確界在n個點X(i)處取得。先求偏差則。若Fn

(x)

與F0

(x)

擬合得好，則Dn的值應(yīng)比較小，反之，Dn的值較大時，擬合得不好?？率蠙z驗規(guī)則：給定顯著性水平α，原假設(shè)的拒絕域為即（臨界值Dn,α可查附表6得到）。第三十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日例3.18(P114)

對一臺設(shè)備進(jìn)行壽命試驗，記錄了10個數(shù)據(jù)，從小到大排列為420，500，920，…，2350（小時）。問此種設(shè)備的壽命X的分布是否服從θ＝1500的指數(shù)分布？解：由下表計算可得Dn=0.30，取α＝0.05，查表得,D10,0.05=0.40925,即使取α＝0.20,D10,0.20=0.32都比Dn大，故接受H0,認(rèn)為壽命X的分布是否服從θ＝1500的指數(shù)分布.第三十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日計算結(jié)果列表如下：第三十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日SPSS講解例3.18輸入變量值,選ANALYZE菜單非參數(shù)檢驗NParTests,進(jìn)入One-SampleKolmogorov-SmirnovTest,點復(fù)選框中指數(shù)分布,進(jìn)行理論分布含有未知參數(shù)的檢驗.第三十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日(二)正態(tài)性檢驗正態(tài)分布未知參數(shù)值使用它們的無偏估計值柯氏檢驗規(guī)則：給定顯著性水平α，原假設(shè)的拒絕域為（臨界值可查附表8得到）。第三十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日例3.19對8個產(chǎn)品進(jìn)行強度試驗,所得強度取自然對數(shù)后為:0.25,0.53,0.88,1.22,1.76,2.44,3.41,4.90問這批強度數(shù)據(jù)是否來自對數(shù)正態(tài)分布?由上表得，查臨界值,因，故接受原假設(shè)，即認(rèn)為這批強度數(shù)據(jù)來自對數(shù)正態(tài)分布。第四十頁，共五十五頁，2022年，8月28日(三)指數(shù)分布的檢驗指數(shù)分布未知參數(shù)的極大似然估計檢驗規(guī)則：給定顯著性水平α，原假設(shè)的拒絕域為,（臨界值可查附表8得到）。第四十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日例3.21記錄一臺計算機的無故障工作時間七次，數(shù)據(jù)如下:530,450,120,530，600,650,460。問此臺計算機的無故障工作時間是否服從指數(shù)分布？由上表得，查臨界值,因，故拒絕原假設(shè)，即不能認(rèn)為此臺計算機的無故障工作時間服從指數(shù)分布。第四十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日3.5.4斯米爾諾夫檢驗設(shè)有連續(xù)型總體X，分布函數(shù)F(x)，樣本，經(jīng)驗分布函數(shù)Fn1(x)

；有連續(xù)型總體

Y，分布函數(shù)G(x)，樣本，經(jīng)驗分布函數(shù)Gn2(x)。假定兩樣本相互獨立。相應(yīng)的經(jīng)驗分布函數(shù)為。問題背景：柯爾哥莫洛夫檢驗實際上是對單樣本的分布擬合問題的檢驗。而在實際中，經(jīng)常需要對兩個總體分布函數(shù)進(jìn)行比較，斯米爾諾夫檢驗借助于經(jīng)驗分布函數(shù)給出了與柯爾哥莫洛夫檢驗相類似的檢驗統(tǒng)計量。第四十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日提出假設(shè)：斯米爾諾夫提出的檢驗統(tǒng)計量是:并且證明了，當(dāng)為真時，有。

第四十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日當(dāng)H0為真時，D應(yīng)該比較小，因此斯米爾諾夫檢驗的規(guī)則是:

給定顯著性水平α，若時，拒絕H0，否則接受H0

。分位點查柯爾哥莫洛夫檢驗的臨界值表（見附表6），n取不超過其表達(dá)式的最大整數(shù).當(dāng)n很大時（如100），由柯爾哥莫洛夫檢驗統(tǒng)計量的極限分布可得，其中，臨界值柯爾哥莫洛夫檢驗的極限分布表(見附表7)。即:第四十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日解：檢驗統(tǒng)計量Dn的觀測值為，查附表6臨界值，因，故拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為這兩批零件尺寸分布不相同。例3.22某自動車床加工一種零件,一位工人剛接班時,抽取n1=150只零件作為第一個樣本.在自動車床工作了4小時后,他又抽取了n2=100只零件作為第二個樣本.測定每個零件的尺寸與標(biāo)準(zhǔn)尺寸的偏差(單位:μm)范圍如表3-10(P122)所示,試問在顯著性水平α=0.01下,能否認(rèn)為這批零件尺寸的分布相同?第四十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日計算結(jié)果列表如下：偏差范圍組中值ni1ni2Fn1(x)Gn2(x)|Fn1(x)-Gn2(x)|[-12.5,-7.5]-101000.0000.0000.000[-7.5,-2.5]-52770.0670.0000.067[-2.5,2.5]043170.2470.0700.177[2.5,7.5]538300.5330.2400.293[7.5,12.5]1023290.7870.5400.247[12.5,17.5]158150.9400.8300.110[17.5,22.5]20110.9930.9800.013[22.5,27.5]25011.0000.9900.010第四十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日

SPSS講解例3.22

輸入變量值,選ANALYZE菜單非參數(shù)檢驗NParTests,進(jìn)入2-IndependentKolmogorov-SmirnovTest,對指標(biāo)值加權(quán),點復(fù)選框中樣本類別且定義組別,進(jìn)行兩獨立總體是否同分布的檢驗.第四十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日3.5.5Shapiro-WilkW檢驗和D’AgostinoD檢驗

二者均為正態(tài)性檢驗，利用W和D檢驗可以檢驗一批觀測值或一批隨機數(shù)是否來自同一正態(tài)分布。H0:總體服從正態(tài)分布.(一）W檢驗（）檢驗步驟：（1）將觀測值（樣本值）按非降序排列：；（2）計算統(tǒng)計量W的值第四十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日

其中查附表10。（3）對給定的顯著性水平α和樣本容量n，由附表11查得；（4）作出判斷：若，則拒絕原假設(shè),認(rèn)為樣本不服從正態(tài)分布。(W≤1)檢驗原理（略）P124W檢驗優(yōu)點:小樣本判斷總體是否服從正態(tài)分布.例3.23抽查用克矽平治療矽肺患者10名,得他們治療前后血紅蛋白的差(g%)如下:2.7,-1.2,-1.0,0,0.7,2.0,3.7,-0.6,0.8,-0.3試檢驗治療前后血紅蛋白的差是否服從正態(tài)分布(α=0.05)第五十頁，共五十五頁，2022年，8月28日（二）D檢驗（50<n<1000）將觀測值（樣本值）按非降序排列：定義檢驗統(tǒng)計量D在H0成立之下,有第五十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日近似標(biāo)準(zhǔn)化后