高考數(shù)學(xué)難點突破專題訓(xùn)練（5）：立體幾何

2023高考數(shù)學(xué)難點突破專題訓(xùn)練（5）：立體幾何高考數(shù)學(xué)難點突破專題訓(xùn)練（5）立體幾何★熱身訓(xùn)練1.（廣東省深圳市高級中學(xué)（集團）2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末測試數(shù)學(xué)試題）如圖，棱長為4的正方體，點在平面內(nèi)，平面與平面所成的二面角為，則頂點到平面的距離的最大值是A． B． C． D．2.（江蘇省常州高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期1月月考數(shù)學(xué)試題）（多選題）如圖，點是正四面體底面的中心，過點且平行于平面的直線分別交，于點，，是棱上的點，平面與棱的延長線相交于點，與棱的延長線相交于點，則（

）A．若平面，則B．存在點與直線，使C．存在點與直線，使平面D．3.（江蘇省蘇北四市（徐州、淮安、宿遷、連云港）2022-2023學(xué)年度高三年級第一次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱錐S－ABCD中，側(cè)面SAD⊥底面ABCD，SA⊥AD，且四邊形ABCD為平行四邊形，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝eq\f(π,3)，SA＝3．(1)求二面角S－CD－A的大??；(2)點P在線段SD上且滿足eq\o\ac(\S\UP7(→),SP)＝λeq\o\ac(\S\UP7(→),SD)，試確定λ的值，使得直線BP與面PCD所成角最大．4.（江蘇省常州高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期1月月考數(shù)學(xué)試題）如圖，空間幾何體中，四邊形是梯形，，四邊形是矩形，且平面平面，M是線段上的動點.（1）試確定點M的位置，使平面，并說明理由；（7分）（2）在（1）的條件下，平面將幾何體分成兩部分，求空間幾何體與空間幾何體的體積的比值.（7分）★高考引領(lǐng)本題題源是教材習(xí)題，改編自2016年江蘇高考第17題。教材習(xí)題求函數(shù)的最大值。試題修改對教材習(xí)題進行處理，將符號語言轉(zhuǎn)換成圖像語言?？梢杂袃煞N處理方向：處理成側(cè)棱長為1，高線長未知的正四棱錐的體積；處理成母線長為1，高線長未知的圓錐的體積。為使得處理的情況具有一般性，將“側(cè)棱長為1”、“母線長為1”均改為“長為”.（1）按處理方向處理，形成1稿.1稿已知一正四棱錐的高為,側(cè)棱長為，記，求其體積的最大值及此時的長。提示：，2稿現(xiàn)要設(shè)計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部分形狀為正四棱錐，其側(cè)棱長為，其底面正方形的中心為,下部分形狀為正四棱柱，其底面正方形的中心為,要求正四棱柱的高是正四棱錐的高的倍，求倉庫容積最大時的長.2稿分析：記，則；注意到，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立；，.2016年江蘇高考第17題為2稿的特例（高考題為的情況，,）按處理方向處理，形成問題變式.變式現(xiàn)要設(shè)計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部分形狀是頂點為,底面圓圓心為的圓錐，其母線長為，下部分形狀是底面圓面積與上部分圓錐的底面圓面積相等的圓柱，其下底面圓圓心為，要求圓柱的高是圓錐的高的倍，求倉庫容積最大時的長.注：該例為筆者文章“[2]例談高中數(shù)學(xué)教材試題的衍生——以江蘇高考數(shù)學(xué)試題命制為例[J].文理導(dǎo)航(中旬),2017,(02)”節(jié)選。也是《江蘇高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（劉蔣巍著）、《中學(xué)學(xué)科學(xué)法指導(dǎo)》（劉蔣巍著）一書內(nèi)容。以此為背景命制的題有很多，譬如：《拓展閱讀1：2019江蘇19題第3問及其新解法》★難點突破：立體幾何（1）1.（湖北省二十一所重點中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）圖1是一個不倒翁模型，它是一種古老的中國兒童玩具，最早記載出現(xiàn)于唐代，一經(jīng)觸動就搖擺然后恢復(fù)直立狀態(tài).如圖2，將圖1的模型抽象成一個正圓錐和半球的組合體.已知半球的密度是圓錐的2倍，已知要讓半球質(zhì)量不小于圓錐質(zhì)量，才能使它在一定角度范圍內(nèi)“不倒”，則圓錐的高和底面半徑之比至多為（）A. B.1 C.2 D.42.（全國大聯(lián)考2023屆高三第四次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）正四棱臺的上、下底面邊長分別為2，4，側(cè)棱長為，則其體積為（）A.28 B. C.32 D.243.（全國大聯(lián)考2023屆高三第四次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）在三棱錐A－BCD中，已知平面BCD，，若AB＝2，BC＝CD＝4，則AC與BD所成角的余弦值為（）A. B. C. D.4.（江蘇省南師附中、天一中學(xué)、海安中學(xué)、海門中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為eq2\r(,3)的正方形，側(cè)面△PAD為正三角形，則其外接球體積最小值為A．eq\f(28\r(,7),3)πB．eq\f(32,3)πC．eq8\r(,6)πD．4eq\r(,3)π5.（江蘇省泰興中學(xué)、南菁高級中學(xué)、常州市第一中學(xué)三校聯(lián)考2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第二次階段考試數(shù)學(xué)試題）（多選題）棱長為1的正方體內(nèi)部有一圓柱，此圓柱恰好以直線為軸，且圓柱上下底面分別與正方體中以為公共點的3個面都有一個公共點，以下命題正確的是（）A．在正方體內(nèi)作與圓柱底面平行的截面，則截面的最大面積為B．無論點在線段上如何移動，都有C．圓柱的母線與正方體所有的棱所成的角都相等D．圓柱外接球體積的最小值為6.（江蘇省南師附中、天一中學(xué)、海安中學(xué)、海門中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）（多選題）在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1，E為A1D的中點，則A．B1E⊥A1CB．BE與B1C所成的角為eq\f(π,3)C．四面體A1EBC1的體積為eq\f(1,6)D．A1C與平面ABC1D1所成的角為eq\f(π,6)7.（江蘇省蘇州中學(xué)、揚州中學(xué)、鹽城中學(xué)、常州中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月G4聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）（多選題）在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1．G為PC的中點，M為平面PBD上一點下列說法正確的是A．MG的最小值為eq\f(\r(,3),6)B．若MA＋MG＝1，則點M的軌跡是橢圓C．若MA＝eq\f(\r(,15),6)，則點M的軌跡圍成圖形的面積為eq\f(π,12)D．存在點M，使得直線BM與CD所成角為30°8.（江蘇省南通市如皋市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研(三)數(shù)學(xué)試題）（多選題）在正方體中，，則下列說法正確的是A.若，則B.若，為線段上的動點，則四面體的體積為定值C.若，，為線段的中點，則D.若，則線段AP的長度為定值9.（全國大聯(lián)考2023屆高三第四次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）在棱長為2的正方體中，為BC的中點．當(dāng)點在平面內(nèi)運動時，有平面，則線段MN的最小值為______．10.（江蘇省蘇州中學(xué)、揚州中學(xué)、鹽城中學(xué)、常州中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月G4聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）在軸截面為正方形ABCD的圓柱中，M，N分別為弧AD，弧BC的中點，且在平面ABCD的兩側(cè)．(1)求證：四邊形ANCM是矩形；(2)求二面角B－MN－C的余弦值．11.（江蘇省南師附中、天一中學(xué)、海安中學(xué)、海門中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）如圖1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝2，AD＝4，將△ABC沿對角線AC翻折，使點B至點P，且使平面PAC⊥平面ACD，如圖2．(1)求證：PA⊥CD；(2)連接PD，當(dāng)四面體PACD體積最大時，求二面角C－PA－D的大?。?2.（湖北省二十一所重點中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）如圖，在幾何體中，底面為以為斜邊的等腰直角三角形.已知平面平面，平面平面平面.（1）證明：平面；（2）若，設(shè)為棱的中點，求當(dāng)幾何體的體積取最大值時與所成角的正切值.13.(江蘇省常熟市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月份抽測二數(shù)學(xué)試題)如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知AB＝2AD＝2DC＝4，BD＝2eq\r(,3)，M是線段PC上的一點(不與端點P，C重合)．(1)求證：平面MBD⊥平面PAD；(2)若點M是線段PC上靠近C的三等分點，求銳二面角M－BD－C的大?。?4.（全國大聯(lián)考2023屆高三第四次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）如圖，在三棱錐A－BCD中，△ABC是正三角形，平面ABC⊥平面BCD，BD⊥CD，點E，F(xiàn)分別是BC，DC的中點．（1）證明：CD⊥平面AEF．（2）若∠BCD＝60°，點G是線段BD上的動點，問：點G運動到何處時，平面AEG與平面ACD所成銳二面角的余弦值最大．★難點突破：立體幾何（2）1.（浙江省寧波市2023屆高三上學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題）在正四棱臺中，，．當(dāng)該正四棱臺的體積最大時，其外接球的表面積為（）A. B. C. D.2.（2023屆12