復變函數(shù)與積分變換第五章

留數(shù)理論及其應用第五章1.留數(shù)的定義

2.留數(shù)定理

3.留數(shù)的計算規(guī)則§5.1留數(shù)(Residue)C所圍成的區(qū)域內(nèi)含有f(z)的奇點z0一、留數(shù)的引入設C為區(qū)域D內(nèi)包含的任一條正向簡單閉曲線)(fòdzzc未必為0，0,z所圍成的區(qū)域內(nèi)解析在)(Cf?íì=.的某去心鄰域:D內(nèi)的Laurent展式:在0(P49例3.3)0(柯西-古薩基本定理)定義設z0為f(z)的孤立奇點，f(z)在z0鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)中負冪次項(z-z0)–1的系數(shù)

c–1稱為f(z)在z0的留數(shù)，記作Res[f(z),z0]。由留數(shù)定義,

Res[f(z),z0]=c–1

(1)——綜上，的系數(shù)-01)(-zz展式中負冪項Laurent記作為f(z)在的。定義留數(shù),注二、利用留數(shù)求積分1.留數(shù)定理

設函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除有限個孤立奇點z1,z2,...,zn外處處解析.C是D內(nèi)包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線,則Dz1z2z3znC1C2C3CnC證明兩邊同時除以得，如圖,由復合閉路原理求沿閉曲線C積分求C內(nèi)各孤立奇點處的留數(shù).注1(1)如果為的可去奇點,一般規(guī)則說明：2.留數(shù)的計算規(guī)則成Laurent級數(shù)求(2)如果為的本性奇點,展開則需將(3)如果為的極點,則有如下計算方法：1)應用Laurent展式2)求n級極點的一般方法(求導運算)1)應用Laurent展式例5.1解如果為的級極點,規(guī)則2那末如果為的一級極點,那末規(guī)則12)求n級極點的一般方法（當m=1時就是規(guī)則1)規(guī)則3

如果設及在都解析，那末為的一級極點,

且有解例2例3解思考題思考題答案例2解例3解例4解故由留數(shù)定理得：

(1)要靈活運用規(guī)則及洛朗級數(shù)展開來求留數(shù)，不要死套規(guī)則。如是f(z)的三級極點。---該方法較規(guī)則2更簡單！

(2)由規(guī)則2的推導過程知，在使用規(guī)則2時，可將m取得比實際級數(shù)高，這可使計算更簡單。如三、在無窮遠點的留數(shù)注意積分路線取順時針方向說明記作1.定義設函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)解析，C為圓環(huán)域內(nèi)繞原點的任何一條正向簡單閉曲線，òp-=Czzfid)(21.......證由留數(shù)定義有:(繞原點的并將內(nèi)部的正向簡單閉曲線)包含在2.定理二如果函數(shù)在擴充復平面內(nèi)只有有限個孤立奇點,那末在所有各奇點

(包括

點)的留數(shù)的總和必等于零.[證畢]說明:由定理得(留數(shù)定理)計算積分計算無窮遠點的留數(shù).優(yōu)點:使計算積分進一步得到簡化.(避免了計算諸有限點處的留數(shù))3.在無窮遠點處留數(shù)的計算規(guī)則4說明:定理5.2和規(guī)則4提供了計算函數(shù)沿閉曲線積分的又一種方法:

此法在很多情況下此法更為簡單.現(xiàn)取正向簡單閉曲線C為半徑足夠大的正向圓周:于是有證內(nèi)除在外無其他奇點.[證畢]例5計算積分C為正向圓周:函數(shù)在的外部,除點外沒有其他奇點.解根據(jù)定理5.2與規(guī)則4:與以下解法作比較:被積函數(shù)有四個一級極點都在圓周的內(nèi)部,所以由規(guī)則3可見,利用無窮遠點的留數(shù)更簡單.例6計算積分C為正向圓周:解

除被積函數(shù)點外,其他奇點為由于與1在C的內(nèi)部,則所以小結(jié)與思考一概念-----留數(shù)一定理-----留數(shù)定理（計算閉路復積分）（重點）兩方法-----展開式和規(guī)則求留數(shù)三規(guī)則-----求極點處留數(shù)（難點）五、小結(jié)與思考

本節(jié)我們學習了留數(shù)的概念、計算以及留數(shù)定理.應重點掌握計算留數(shù)的一般方法,尤其是極點處留數(shù)的求法,并會應用留數(shù)定理計算閉路復積分.§5.2留數(shù)在定積分中的應用其中

注意:

對的要求,分母Q(x)次數(shù)比分子P(x)至少高兩次，是函數(shù)在上半平面內(nèi)的有限個孤立奇點；

注意:

對的要求,分母比分子至少高一次，是函數(shù)在上半平面內(nèi)的有限個孤立奇點；思想方法

:封閉路線的積分

.兩個重要工作:1)積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化2)被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化把定積分化為一個復變函數(shù)沿某條注意：其中是函數(shù)在單位圓內(nèi)的有限個孤立奇點。形如當歷經(jīng)變程時,的正方向繞行一周.z沿單位圓周z的有理函數(shù),且在單位圓周上分母不為零,滿足留數(shù)定理的條件.包圍在單位圓周內(nèi)的諸孤立奇點.例