數(shù)值分析課程設(shè)計(jì)模板

數(shù)值分析課程設(shè)計(jì)多項(xiàng)式插值的振蕩現(xiàn)象指導(dǎo)教師 講師學(xué)院名稱 理學(xué)院專業(yè)名稱 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)提交日期 2012年6月一、問題的提出考慮在一個(gè)固定區(qū)間上用插值逼近一個(gè)函數(shù)。顯然，Lagrange插值中使用的節(jié)點(diǎn)越多，插值多項(xiàng)式的次數(shù)就越高。我們自然關(guān)心插值多項(xiàng)式增加時(shí)，Ln(x)是否也更加靠近被逼近的函數(shù)。龍格(Runge)給出的一個(gè)例子是極著名并富有啟發(fā)性的。設(shè)區(qū)間［-1,1］上的函數(shù)1f⑴= 1+25%2區(qū)間［-考慮設(shè)計(jì)1,1］的一個(gè)等距劃分，節(jié)點(diǎn)為一 2i 一…一x——1+—,i—0,1,2,...,n則拉個(gè)朗日插值多項(xiàng)式為L(x)—寸—1_l(x)

n.°1+25x2i其中的li(x),i=0,1,2,...,n是n次Lagrange插值基函數(shù)。二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容選擇不斷增大的分點(diǎn)數(shù)n=2,3,...*畫出原函數(shù)f(x)及插值多項(xiàng)式函數(shù)Ln(x)在［-1,1］上的圖像；*給出每一次逼近的最大誤差；*比較并分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果。選擇其它函數(shù)，例如定義在區(qū)間［-5,5］上的函數(shù)。h(x)-―%—,g(x)—arctanx1+x4重復(fù)上述實(shí)驗(yàn)看其結(jié)果如何。3.區(qū)間［a,b］上切比雪夫(Chebychev)點(diǎn)的定義為x—b+a+七cosf(次—叫,k=1,2,...,n+1k2 2 "2(n+1)J以x1,x2,…,xn+1為插值節(jié)點(diǎn)構(gòu)造上述各函數(shù)的Lagrange插值多項(xiàng)式，比較其結(jié)果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析一2i一…一x.=-1+一， i=0,1,2,,n(1).當(dāng)節(jié)點(diǎn)為n=2,最大誤差L=0.646227分點(diǎn)數(shù)n=3，最大誤差L=0.707014分點(diǎn)數(shù)n=4，最大誤差L=0.438353分點(diǎn)數(shù)n=5，最大誤差L=0.432692分點(diǎn)數(shù)n=6，最大誤差L=0.616920分點(diǎn)數(shù)n=7，最大誤差L=0.247359分點(diǎn)數(shù)n=8，最大誤差L=1.045174分點(diǎn)數(shù)n=9，最大誤差L=0.300281TOC\o"1-5"\h\z0.0- /A -J\--堂 VQ4 I I I I I I I I I '-1 -0.8-0.6-0.4-0.2 0 □.家0.4 0.6 0.8 1分點(diǎn)數(shù)n=10,最大誤差L=1.915643分點(diǎn)數(shù)n=11,最大誤差L=0.556736

10.00.60.40.2□Q2 I I I I I I I I I 分點(diǎn)數(shù)n=12，最大誤差L=3.662997'-1 -0.8-0.6-0.4-0.2 0 分點(diǎn)數(shù)n=12，最大誤差L=3.662997圖象分析:從圖中可以看出當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)很少時(shí)，插值的誤差很大，插值圖象與原圖象沒有很好重疊在一起，而當(dāng)隨著插值的節(jié)點(diǎn)增加，中間能很好的重疊，但是兩邊出現(xiàn)很大誤差，隨著n值的增多，總體上分散的越厲害，最大誤差也逐漸增加，在n=3時(shí)，最大誤差為0.707014，但到了n=12時(shí)，已經(jīng)變成了3.662997，這種隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)增多依然不能很好的接近被插值函數(shù)的現(xiàn)象稱為“龍格現(xiàn)象”，亦稱為多項(xiàng)式插值的振蕩現(xiàn)象。因此通過增加節(jié)點(diǎn)數(shù)從而提高插值多項(xiàng)式的次數(shù)來逼近被插函數(shù)是不可取的。(2).對于定義在定義在區(qū)間［-5,5］上的函數(shù)h(x)=x/(1+xA4);輸入函數(shù)后取節(jié)點(diǎn)數(shù)n=4,8，10；得到圖象如下n=4時(shí)，max[L(X)-h(X)]=0.4020；

n=8時(shí)，max[L(X)-h(X)]=0.1708；n=10時(shí)，max[L(X)-h(X)]=0.1092。圖象分析：從圖象可以看出隨著插值節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加出現(xiàn)異常的擺動(dòng)，中間能較好的接近原函數(shù)，但兩邊卻出現(xiàn)很大的誤差。(3).對定義在(-5，5)上的函數(shù)g(x)=arctanx

在matlab里輸入相應(yīng)的lagrange插值公式，當(dāng)n取不同的值時(shí)，得到相應(yīng)圖象如下：n=4時(shí)，max[L(X)-g(X)]=0.4458；n=8時(shí)，max[L(X)-g(X)]=0.3240；

N=10時(shí)，max[L(X)-g(X)]=0.8066。圖象分析：從圖象可以看出隨著插值節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加出現(xiàn)異常的擺動(dòng)，中間能較好的接近原函數(shù)，隨著插值節(jié)點(diǎn)增加有較好的插值重疊，但兩邊卻出現(xiàn)很大的誤差。(4).以上實(shí)驗(yàn)是從對區(qū)間的等距劃分而作出的拉格朗日多項(xiàng)式，也因此產(chǎn)生了龍格振蕩現(xiàn)象，現(xiàn)在我們通過用切比雪夫點(diǎn)來對上述各函數(shù)的區(qū)間進(jìn)行劃分，以此來建立拉格朗日多項(xiàng)式，看這樣建立的拉格朗日多項(xiàng)式是否還會(huì)出現(xiàn)龍格振蕩現(xiàn)象。還是考慮函數(shù)f(x)=1*二容，為了與等距節(jié)點(diǎn)進(jìn)行比較，我們?nèi)匀贿x取節(jié)點(diǎn)數(shù)不斷增多的拉格朗日多項(xiàng)式。得到不同圖象：n=3時(shí);n=6時(shí);n=11時(shí);n=21時(shí)。圖象分析：可見利用切比雪夫點(diǎn)來構(gòu)造的拉格朗日多項(xiàng)式比等距節(jié)點(diǎn)下的拉格朗日多項(xiàng)式更為有效，隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加，逼近程度就越好，它能很好的消除了“龍格現(xiàn)象”。四、關(guān)于本設(shè)計(jì)的體會(huì)通過對多項(xiàng)式插值現(xiàn)象的觀察,了解多項(xiàng)式的次數(shù)與逼近效果的關(guān)系，提高同學(xué)們分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果的能力。深入了解matlab運(yùn)行環(huán)境和操作環(huán)境，初步學(xué)會(huì)調(diào)試程序，運(yùn)用繪圖命令制作函數(shù)圖象?！稊?shù)值分析》課程中構(gòu)造了各種有效的算法和有效公式，我們通過上機(jī)作課程設(shè)計(jì)，學(xué)習(xí)揣摩這些算法的思想和構(gòu)造。懂得如何運(yùn)用已有的知識(shí)更進(jìn)一步了解未知的問題。通過上機(jī)，可以提高同學(xué)們運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件編程解決問題的能力，為今后從事科學(xué)計(jì)算和軟件開發(fā)打下良好的基礎(chǔ)。獨(dú)立解決和思考問題的能力有了一定的提高。五、參考文獻(xiàn)《matlab從入門到精通》人民郵電出版社求是科技編著《數(shù)值分析》北京理工大學(xué)出版社史萬明孫新等編著六、附錄程序代碼1:functiont_charptresult=inputdlg({'請選擇實(shí)驗(yàn)，若選2.1,請輸入1,否則輸入2:'},'charpt_2',1,{'1'});Nb=str2num(char(result));if(Nb~=1)&(Nb~=2)errordlg('實(shí)驗(yàn)選擇錯(cuò)誤!');return;endpromps={'請選擇實(shí)驗(yàn)函數(shù)，若選f(x),請輸入七若選h(x),請輸入瓦若選g(x),請輸入g:'};%選擇所要運(yùn)算的函數(shù)titles='charpt_2';result=inputdlg(promps,'charpt2',1,{'f'});Nb_f=char(result);if(Nb_f~='f'&Nb_f~='h'&Nb_f~='g')errordlg('實(shí)驗(yàn)選擇錯(cuò)誤！’)；return;endresult=inputdlg({'請輸入插值點(diǎn)數(shù)N:'},'charpt_2',1,{'10'});Nd=str2num(char(result));if(Nd<1)errordlg('結(jié)點(diǎn)輸入錯(cuò)誤！')；return;endswitchNb_fcase'f'f=inline('1./(1+25*x."2)');a=-1;b=1;case'h'f=inline('x./(1+x."4)');a=-5;b=5;case'g'f=inline('atan(x)');a=-5;b=5;endif(Nb==1)x0=linspace(a,b,Nd+1);y0=feval(f,x0);x=a:0.1:b;y=lagrange(x0,y0,x);fplot(f,[a,b],'co');holdon;plot(x,y,'b--');xlabel('x');ylabel('y=f(x)oandy=ln(x)一');holdon;f1=1./(1+25*x."2);err=max(abs(y-f1));result=inputdlg({'請輸入插值點(diǎn)數(shù)N:'},'charpt_2',1,{'10'});xc=-cos(pi*[0:4]/4);x=(a+b)*0.5+(b-a)*xc*0.5;elseif(Nb==2)x0=linspace(a,b,Nd+1);y0=feval(f,x0);x=a:0.1:b;cs=spline(x0,y0);y=ppval(cs,x);plot(x0,y0,，o');holdon;plot(x,y,，k-，);xlabel('x');ylabel('y=f(x)oandy=spline(x)-，);endfunctiony=lagrange(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);fori=1:mz=x(i);s=0.0;fork=1:np=1.0;forj=1:nifj~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;endt1=clock%獲得系統(tǒng)時(shí)間程序代碼2：x=[-1:0.2:1];y=1./(1+25.*x."2);x0=[-1:0.01:1];y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+25.*x0."2);plot(x0,y0,，--r，);holdon;plot(x0,y1,，-b，);x2=abs(y0-y1);max(x2);程序代碼3：n=3;fori=1:nx(i)=cos(((2.*i-1).*pi)./(2.*(n+1)));y(i)=1./(1+25.*x(i).*x(i));endx0=-1:0.0