江蘇省啟東市建新中學2021-2022學年高三適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學試題含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知為一條直線，為兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則2．拋物線的準線方程是，則實數(shù)（）A． B． C． D．3．已知圓關(guān)于雙曲線的一條漸近線對稱，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．4．函數(shù)與在上最多有n個交點，交點分別為（，……，n），則（）A．7 B．8 C．9 D．105．定義在R上的偶函數(shù)滿足，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，已知是銳角三角形的兩個內(nèi)角，則的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．以上情況均有可能6．已知全集U=x|x2≤4,x∈Z，A．-1 B．-1,0 C．-2,-1,0 D．-2,-1,0,1,27．若是定義域為的奇函數(shù)，且，則A．的值域為 B．為周期函數(shù)，且6為其一個周期C．的圖像關(guān)于對稱 D．函數(shù)的零點有無窮多個8．過點的直線與曲線交于兩點，若，則直線的斜率為()A． B．C．或 D．或9．已知函數(shù)的最小正周期為,為了得到函數(shù)的圖象,只要將的圖象()A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度10．已知直線過圓的圓心，則的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．411．若函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù))在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．12．若x,y滿足約束條件的取值范圍是A．[0,6] B．[0,4] C．[6, D．[4,二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在中，已知，為邊的中點．若，垂足為，則的值為__．14．已知雙曲線的左右焦點分別為，過的直線與雙曲線左支交于兩點，，的內(nèi)切圓的圓心的縱坐標為，則雙曲線的離心率為________.15．已知平面向量，的夾角為，且，則=____16．若四棱錐的側(cè)面內(nèi)有一動點Q，已知Q到底面的距離與Q到點P的距離之比為正常數(shù)k，且動點Q的軌跡是拋物線，則當二面角平面角的大小為時，k的值為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且，求的值.18．（12分）在極坐標系中，曲線的極坐標方程為，直線的極坐標方程為，設(shè)與交于、兩點，中點為，的垂直平分線交于、.以為坐標原點，極軸為軸的正半軸建立直角坐標系.（1）求的直角坐標方程與點的直角坐標；（2）求證：.19．（12分）已知函數(shù)（1）若函數(shù)有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知拋物線Γ：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，P是拋物線Γ上一點，且在第一象限，滿足（2，2）（1）求拋物線Γ的方程；（2）已知經(jīng)過點A（3，﹣2）的直線交拋物線Γ于M，N兩點，經(jīng)過定點B（3，﹣6）和M的直線與拋物線Γ交于另一點L，問直線NL是否恒過定點，如果過定點，求出該定點，否則說明理由．21．（12分）如圖，焦點在軸上的橢圓與焦點在軸上的橢圓都過點，中心都在坐標原點，且橢圓與的離心率均為．（Ⅰ）求橢圓與橢圓的標準方程；（Ⅱ）過點M的互相垂直的兩直線分別與，交于點A，B（點A、B不同于點M），當?shù)拿娣e取最大值時，求兩直線MA，MB斜率的比值.22．（10分）已知函數(shù)存在一個極大值點和一個極小值點.（1）求實數(shù)a的取值范圍；（2）若函數(shù)的極大值點和極小值點分別為和，且，求實數(shù)a的取值范圍.（e是自然對數(shù)的底數(shù)）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】A.若，則或，故A錯誤；B.若，則或故B錯誤；C.若，則或，或與相交；D.若，則，正確.故選D.2．C【解析】

根據(jù)準線的方程寫出拋物線的標準方程,再對照系數(shù)求解即可.【詳解】因為準線方程為,所以拋物線方程為,所以,即.故選：C【點睛】本題考查拋物線與準線的方程.屬于基礎(chǔ)題.3．C【解析】

將圓，化為標準方程為，求得圓心為.根據(jù)圓關(guān)于雙曲線的一條漸近線對稱，則圓心在漸近線上，.再根據(jù)求解.【詳解】已知圓，所以其標準方程為：，所以圓心為.因為雙曲線，所以其漸近線方程為，又因為圓關(guān)于雙曲線的一條漸近線對稱，則圓心在漸近線上，所以.所以.故選：C【點睛】本題主要考查圓的方程及對稱性，還有雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.4．C【解析】

根據(jù)直線過定點，采用數(shù)形結(jié)合，可得最多交點個數(shù)，然后利用對稱性，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：直線過定點且在是關(guān)于對稱如圖通過圖像可知：直線與最多有9個交點同時點左、右邊各四個交點關(guān)于對稱所以故選：C【點睛】本題考查函數(shù)對稱性的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合，難點在于正確畫出圖像，同時掌握基礎(chǔ)函數(shù)的性質(zhì)，屬難題.5．B【解析】

由已知可求得函數(shù)的周期，根據(jù)周期及偶函數(shù)的對稱性可求在上的單調(diào)性，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可比較．【詳解】由可得，即函數(shù)的周期，因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知，在上單調(diào)遞增，因為，是銳角三角形的兩個內(nèi)角，所以且即，所以即，．故選：．【點睛】本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．6．C【解析】

先求出集合U，再根據(jù)補集的定義求出結(jié)果即可．【詳解】由題意得U=x|∵A=1,2∴CU故選C．【點睛】本題考查集合補集的運算，求解的關(guān)鍵是正確求出集合U和熟悉補集的定義，屬于簡單題．7．D【解析】

運用函數(shù)的奇偶性定義，周期性定義，根據(jù)表達式判斷即可.【詳解】是定義域為的奇函數(shù)，則，，又，，即是以4為周期的函數(shù)，，所以函數(shù)的零點有無窮多個；因為，，令，則，即，所以的圖象關(guān)于對稱，由題意無法求出的值域，所以本題答案為D.【點睛】本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，主要是抽象函數(shù)的性質(zhì)，運用數(shù)學式子判斷得出結(jié)論是關(guān)鍵.8．A【解析】

利用切割線定理求得，利用勾股定理求得圓心到弦的距離，從而求得，結(jié)合，求得直線的傾斜角為，進而求得的斜率.【詳解】曲線為圓的上半部分，圓心為，半徑為.設(shè)與曲線相切于點，則所以到弦的距離為，，所以，由于，所以直線的傾斜角為，斜率為.故選：A【點睛】本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.9．A【解析】

由的最小正周期是，得，即，因此它的圖象向左平移個單位可得到的圖象．故選A．考點：函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【名師點睛】三角函數(shù)圖象變換方法：10．D【解析】

圓心坐標為，代入直線方程，再由乘1法和基本不等式，展開計算即可得到所求最小值．【詳解】圓的圓心為，由題意可得，即，，，則，當且僅當且即時取等號，故選：．【點睛】本題考查最值的求法，注意運用乘1法和基本不等式，注意滿足的條件：一正二定三等，同時考查直線與圓的關(guān)系，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．11．B【解析】

求得的導函數(shù)，由此構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意可知在上有變號零點.由此令，利用分離常數(shù)法結(jié)合換元法，求得的取值范圍.【詳解】，設(shè)，要使在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，即在上有變號零點，令，則，令，則問題即在上有零點，由于在上遞增，所以的取值范圍是.故選：B【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查方程零點問題的求解策略，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.12．D【解析】解：x、y滿足約束條件，表示的可行域如圖：目標函數(shù)z=x+2y經(jīng)過C點時，函數(shù)取得最小值，由解得C（2，1），目標函數(shù)的最小值為：4目標函數(shù)的范圍是[4，+∞）．故選D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

，由余弦定理，得，得，，，所以，所以．點睛：本題考查平面向量的綜合應(yīng)用．本題中存在垂直關(guān)系，所以在線性表示的過程中充分利用垂直關(guān)系，得到，所以本題轉(zhuǎn)化為求長度，利用余弦定理和面積公式求解即可．14．2【解析】

由題意畫出圖形，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，圓分別切于，可得四邊形為正方形,再由圓的切線的性質(zhì)結(jié)臺雙曲線的定義，求得的內(nèi)切圓的圓心的縱坐標,結(jié)合已知列式，即可求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，圓分別切于，連接，則，故四邊形為正方形，邊長為圓的半徑，由，，得，與重合，，，即——①，——②聯(lián)立①②解得：，又因圓心的縱坐標為，.故答案為：【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想與運算求解能力,屬于中檔題.15．1【解析】

根據(jù)平面向量模的定義先由坐標求得，再根據(jù)平面向量數(shù)量積定義求得；將化簡并代入即可求得.【詳解】，則，平面向量，的夾角為，則由平面向量數(shù)量積定義可得，根據(jù)平面向量模的求法可知，代入可得，解得，故答案為：1.【點睛】本題考查了平面向量模的求法及簡單應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的定義及運算，屬于基礎(chǔ)題.16．【解析】

二面角平面角為，點Q到底面的距離為，點Q到定直線得距離為d，則.再由點Q到底面的距離與到點P的距離之比為正常數(shù)k，可得，由此可得，則由可求k值.【詳解】解：如圖，設(shè)二面角平面角為，點Q到底面的距離為，點Q到定直線的距離為d，則，即.∵點Q到底面的距離與到點P的距離之比為正常數(shù)k，∴，則，∵動點Q的軌跡是拋物線，∴，即則.∴二面角的平面角的余弦值為解得：（）.故答案為：.【點睛】本題考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，由四棱錐的側(cè)面與底面的夾角求參數(shù)值，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）直接代入再由誘導公式計算可得；（Ⅱ）先得到，再根據(jù)利用兩角差的余弦公式計算可得．【詳解】解：（Ⅰ）；（Ⅱ）因為所以，由得，又因為，故，所以，所以.【點睛】本題考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，屬于中檔題．18．（1），；（2）見解析.【解析】

（1）將曲線的極坐標方程變形為，再由可將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，求出點、的坐標，即可得出線段的中點的坐標；（2）求得，寫出直線的參數(shù)方程，將直線的參數(shù)方程與曲線的普通方程聯(lián)立，利用韋達定理求得的值，進而可得出結(jié)論.【詳解】（1）曲線的極坐標方程可化為，即，將代入曲線的方程得，所以，曲線的直角坐標方程為.將直線的極坐標方程化為普通方程得，聯(lián)立，得或，則點、，因此，線段的中點為；（2）由（1）得，，易知的垂直平分線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入的普通方程得，，因此，.【點睛】本題考查曲線的極坐標方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，同時也考查了直線參數(shù)幾何意義的應(yīng)用，涉及韋達定理的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.19．（1）；（2）.【解析】

（1）求導得到，討論和兩種情況，計算函數(shù)的單調(diào)性，得到，再討論，，三種情況，計算得到答案.（2）計算得到，討論，兩種情況，分別計算單調(diào)性得到函數(shù)最值，得到答案.【詳解】（1），①當時恒成立，所以單調(diào)遞增，因為，所以有唯一零點，即符合題意；②當時，令，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)。（i）當即,所以符合題意，（ii）當即時，因為，故存在,所以不符題意（iii）當時，因為，設(shè)，所以,單調(diào)遞增，即，故存在，使得，不符題意；綜上，的取值范圍為。（2）。①當時，恒成立，所以單調(diào)遞增，所以，即符合題意；②當時，恒成立，所以單調(diào)遞增，又因為，所以存在，使得，且當時，。即在上單調(diào)遞減，所以，不符題意。綜上，的取值范圍為.【點睛】本題考查了函數(shù)的零點問題，恒成立問題，意在考查學生的分類討論能力和綜合應(yīng)用能力.20．（1）y2＝4x；；（2）直線NL恒過定點（﹣3，0），理由見解析.【解析】

（1）根據(jù)拋物線的方程，求得焦點F（，0），利用（2，2），表示點P的坐標，再代入拋物線方程求解.（2）設(shè)M（x0，y0），N（x1，y1），L（x2，y2），表示出MN的方程y和ML的方程y，因為A（3，﹣2），B（3，﹣6）在這兩條直線上，分別代入兩直線的方程可得y1y2＝12，然后表示直線NL的方程為：y﹣y1（x），代入化簡求解.【詳解】（1）由拋物線的方程可得焦點F（，0），滿足（2，2）的P的坐標為（2，2），P在拋物線上，所以（2）2＝2p（2），即p2+4p﹣12＝0，p＞0，解得p＝2，所以拋物線的方程為：y2＝4x；（2）設(shè)M（x0，y0），N（x1，y1），L（x2，y2），則y12＝4x1，y22＝4x2，直線MN的斜率kMN，則直線MN的方程為：y﹣y0（x），即y①，同理可得直線ML的方程整理可得y②，將A（3，﹣2），B（3，﹣6）分別代入①，②的方程可得，消y0可得y1y2＝12，易知直線kNL，則直線NL的方程為：y﹣y1（x），即yx，故yx，所以y（x+3），因此直線NL恒過定點（﹣3，0）．【點睛】本題主要考查了拋物線的方程及直線與拋物線的位置關(guān)系，直線過定點問題，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.21．（1），（2）【解析】分析：(1)根據(jù)題的條件，得到對應(yīng)的橢圓的上頂點，即可以求得橢圓中相應(yīng)的參數(shù)，結(jié)合橢圓的離心率的大小，求得相應(yīng)的參數(shù)，從而求得橢圓的方程；(2)設(shè)出一條直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，消元，利用求根公式求