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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.命題:存在實(shí)數(shù),對(duì)任意實(shí)數(shù),使得恒成立;:,為奇函數(shù),則下列命題是真命題的是()A. B. C. D.2.已知實(shí)數(shù)滿足約束條件,則的最小值為()A.-5 B.2 C.7 D.113.已知函數(shù),則()A.2 B.3 C.4 D.54.已知i是虛數(shù)單位,則1+iiA.-12+32i5.“”是“直線與互相平行”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.為了加強(qiáng)“精準(zhǔn)扶貧”,實(shí)現(xiàn)偉大復(fù)興的“中國(guó)夢(mèng)”,某大學(xué)派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)參加三個(gè)貧困縣的調(diào)研工作,每個(gè)縣至少去1人,且甲、乙兩人約定去同一個(gè)貧困縣,則不同的派遣方案共有()A.24 B.36 C.48 D.647.已知向量與的夾角為,定義為與的“向量積”,且是一個(gè)向量,它的長(zhǎng)度,若,,則()A. B.C.6 D.8.已知是兩條不重合的直線,是兩個(gè)不重合的平面,下列命題正確的是()A.若,,,,則B.若,,,則C.若,,,則D.若,,,則9.中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái),構(gòu)件的凸出部分叫榫頭,凹進(jìn)部分叫卯眼,圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體,則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是A. B. C. D.10.定義運(yùn)算,則函數(shù)的圖象是().A. B.C. D.11.定義在上的函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示,設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、、四點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為、、、,則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A. B. C. D.12.已知,則p是q的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.(5分)在平面直角坐標(biāo)系中,過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線,已知直線與圓相交于兩點(diǎn),則弦的長(zhǎng)等于____________.14.若函數(shù)為偶函數(shù),則________.15.命題“”的否定是______.16.若滿足約束條件,則的最大值為_(kāi)_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的左焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為A,直線AF與直線垂直,垂足為B,且點(diǎn)A是線段BF的中點(diǎn).(I)求橢圓C的方程;(II)若M,N分別為橢圓C的左,右頂點(diǎn),P是橢圓C上位于第一象限的一點(diǎn),直線MP與直線交于點(diǎn)Q,且,求點(diǎn)P的坐標(biāo).18.(12分)如圖,在四棱柱中,底面是正方形,平面平面,,.過(guò)頂點(diǎn),的平面與棱,分別交于,兩點(diǎn).(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)求證:四邊形是平行四邊形;(Ⅲ)若,試判斷二面角的大小能否為?說(shuō)明理由.19.(12分)已知橢圓的焦點(diǎn)為,,離心率為,點(diǎn)P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn),且的面積最大值為,O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)點(diǎn),為橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)為多少時(shí),點(diǎn)O到直線MN的距離為定值.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線C:,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為().(1)求拋物線C的極坐標(biāo)方程;(2)若拋物線C與直線l交于A,B兩點(diǎn),求的值.21.(12分)2019年春節(jié)期間,某超市準(zhǔn)備舉辦一次有獎(jiǎng)促銷活動(dòng),若顧客一次消費(fèi)達(dá)到400元?jiǎng)t可參加一次抽獎(jiǎng)活動(dòng),超市設(shè)計(jì)了兩種抽獎(jiǎng)方案.方案一:一個(gè)不透明的盒子中裝有30個(gè)質(zhì)地均勻且大小相同的小球,其中10個(gè)紅球,20個(gè)白球,攪拌均勻后,顧客從中隨機(jī)抽取一個(gè)球,若抽到紅球則顧客獲得60元的返金券,若抽到白球則獲得20元的返金券,且顧客有放回地抽取3次.方案二:一個(gè)不透明的盒子中裝有30個(gè)質(zhì)地均勻且大小相同的小球,其中10個(gè)紅球,20個(gè)白球,攪拌均勻后,顧客從中隨機(jī)抽取一個(gè)球,若抽到紅球則顧客獲得80元的返金券,若抽到白球則未中獎(jiǎng),且顧客有放回地抽取3次.(1)現(xiàn)有兩位顧客均獲得抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),且都按方案一抽獎(jiǎng),試求這兩位顧客均獲得180元返金券的概率;(2)若某顧客獲得抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).①試分別計(jì)算他選擇兩種抽獎(jiǎng)方案最終獲得返金券的數(shù)學(xué)期望;②為了吸引顧客消費(fèi),讓顧客獲得更多金額的返金券,該超市應(yīng)選擇哪一種抽獎(jiǎng)方案進(jìn)行促銷活動(dòng)?22.(10分)已知,.(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)的三個(gè)內(nèi)角、、所對(duì)邊分別為、、,若且,求面積的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A【解析】
分別判斷命題和的真假性,然后根據(jù)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假性判斷出正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于命題,由于,所以命題為真命題.對(duì)于命題,由于,由解得,且,所以是奇函數(shù),故為真命題.所以為真命題.、、都是假命題.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查誘導(dǎo)公式,考查函數(shù)的奇偶性,考查含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假性的判斷,屬于基礎(chǔ)題.2.A【解析】
根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域,再將目標(biāo)函數(shù)化成斜截式,找到截距的最小值.【詳解】由約束條件,畫(huà)出可行域如圖變?yōu)闉樾甭蕿?3的一簇平行線,為在軸的截距,最小的時(shí)候?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的時(shí)候,解得所以,此時(shí)故選A項(xiàng)【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃求一次相加的目標(biāo)函數(shù),屬于常規(guī)題型,是簡(jiǎn)單題.3.A【解析】
根據(jù)分段函數(shù)直接計(jì)算得到答案.【詳解】因?yàn)樗?故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.4.D【解析】
利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可化簡(jiǎn)得出結(jié)果【詳解】1+i故選D【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題。5.A【解析】
利用兩條直線互相平行的條件進(jìn)行判定【詳解】當(dāng)時(shí),直線方程為與,可得兩直線平行;若直線與互相平行,則,解得,,則“”是“直線與互相平行”的充分不必要條件,故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩直線平行的條件和性質(zhì),充分條件,必要條件的定義和判斷方法,屬于基礎(chǔ)題.6.B【解析】
根據(jù)題意,有兩種分配方案,一是,二是,然后各自全排列,再求和.【詳解】當(dāng)按照進(jìn)行分配時(shí),則有種不同的方案;當(dāng)按照進(jìn)行分配,則有種不同的方案.故共有36種不同的派遣方案,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合、數(shù)學(xué)文化,還考查數(shù)學(xué)建模能力以及分類討論思想,屬于中檔題.7.D【解析】
先根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算求出和,進(jìn)而求出,代入題中給的定義即可求解.【詳解】由題意,則,,得,由定義知,故選:D.【點(diǎn)睛】此題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算,引入新定義,屬于簡(jiǎn)單題目.8.B【解析】
根據(jù)空間中線線、線面位置關(guān)系,逐項(xiàng)判斷即可得出結(jié)果.【詳解】A選項(xiàng),若,,,,則或與相交;故A錯(cuò);B選項(xiàng),若,,則,又,是兩個(gè)不重合的平面,則,故B正確;C選項(xiàng),若,,則或或與相交,又,是兩個(gè)不重合的平面,則或與相交;故C錯(cuò);D選項(xiàng),若,,則或或與相交,又,是兩個(gè)不重合的平面,則或與相交;故D錯(cuò);故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查與線面、線線相關(guān)的命題,熟記線線、線面位置關(guān)系,即可求解,屬于??碱}型.9.A【解析】
詳解:由題意知,題干中所給的是榫頭,是凸出的幾何體,求得是卯眼的俯視圖,卯眼是凹進(jìn)去的,即俯視圖中應(yīng)有一不可見(jiàn)的長(zhǎng)方形,且俯視圖應(yīng)為對(duì)稱圖形故俯視圖為故選A.點(diǎn)睛:本題主要考查空間幾何體的三視圖,考查學(xué)生的空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題。10.A【解析】
由已知新運(yùn)算的意義就是取得中的最小值,因此函數(shù),只有選項(xiàng)中的圖象符合要求,故選A.11.B【解析】
先辨別出圖象中實(shí)線部分為函數(shù)的圖象,虛線部分為其導(dǎo)函數(shù)的圖象,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,由,得出,只需在圖中找出滿足不等式對(duì)應(yīng)的的取值范圍即可.【詳解】若虛線部分為函數(shù)的圖象,則該函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn),但其導(dǎo)函數(shù)圖象(實(shí)線)與軸有三個(gè)交點(diǎn),不合乎題意;若實(shí)線部分為函數(shù)的圖象,則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),則其導(dǎo)函數(shù)圖象(虛線)與軸恰好也只有兩個(gè)交點(diǎn),合乎題意.對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得,由得,由圖象可知,滿足不等式的的取值范圍是,因此,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,同時(shí)也考查了利用圖象辨別函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖象,考查推理能力,屬于中等題.12.B【解析】
根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)再分析即可.【詳解】因?yàn)?所以q成立可以推出p成立,但p成立得不到q成立,例如,而,所以p是q的必要而不充分條件.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查充分與必要條件的判定以及誘導(dǎo)公式的運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
方法一:依題意,知直線的方程為,代入圓的方程化簡(jiǎn)得,解得或,從而得或,則.方法二:依題意,知直線的方程為,代入圓的方程化簡(jiǎn)得,設(shè),則,故.方法三:將圓的方程配方得,其半徑,圓心到直線的距離,則.14.【解析】
二次函數(shù)為偶函數(shù)說(shuō)明一次項(xiàng)系數(shù)為0,求得參數(shù),將代入表達(dá)式即可求解【詳解】由為偶函數(shù),知其一次項(xiàng)的系數(shù)為0,所以,,所以,故答案為:-5【點(diǎn)睛】本題考查由奇偶性求解參數(shù),求函數(shù)值,屬于基礎(chǔ)題15.,【解析】
根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題得到結(jié)果即可.【詳解】解:因?yàn)樘胤Q命題的否定是全稱命題,所以,命題,則該命題的否定是:,故答案為:,.【點(diǎn)睛】本題考查全稱命題與特稱命題的否定關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.16.4【解析】
作出可行域如圖所示:由,解得.目標(biāo)函數(shù),即為,平移斜率為-1的直線,經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(I).(II)【解析】
(I)寫(xiě)出坐標(biāo),利用直線與直線垂直,得到.求出點(diǎn)的坐標(biāo)代入,可得到的一個(gè)關(guān)系式,由此求得和的值,進(jìn)而求得橢圓方程.(II)設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),由此寫(xiě)出直線的方程,從而求得點(diǎn)的坐標(biāo),代入,化簡(jiǎn)可求得點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】(I)∵橢圓的左焦點(diǎn),上頂點(diǎn),直線AF與直線垂直∴直線AF的斜率,即①又點(diǎn)A是線段BF的中點(diǎn)∴點(diǎn)的坐標(biāo)為又點(diǎn)在直線上∴②∴由①②得:∴∴橢圓的方程為.(II)設(shè)由(I)易得頂點(diǎn)M、N的坐標(biāo)為∴直線MP的方程是:由得:又點(diǎn)P在橢圓上,故∴∴∴或(舍)∴∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系,考查兩直線垂直的條件,考查向量數(shù)量積的運(yùn)算.屬于中檔題.在解題過(guò)程中,首先閱讀清楚題意,題目所敘述的坐標(biāo)、所敘述的直線是怎么得到的,向量的數(shù)量積對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)都有哪一些,應(yīng)該怎么得到,這些在讀題的時(shí)候需要分析清楚.18.(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析;(3)不能為.【解析】
(1)由平面平面,可得平面,從而證明;(2)由平面與平面沒(méi)有交點(diǎn),可得與不相交,又與共面,所以,同理可證,得證;(3)作交于點(diǎn),延長(zhǎng)交于點(diǎn),連接,根據(jù)三垂線定理,確定二面角的平面角,若,,由大角對(duì)大邊知,兩者矛盾,故二面角的大小不能為.【詳解】(1)由平面平面,平面平面,且,所以平面,又平面,所以;(2)依題意都在平面上,因此平面,平面,又平面,平面,平面與平面平行,即兩個(gè)平面沒(méi)有交點(diǎn),則與不相交,又與共面,所以,同理可證,所以四邊形是平行四邊形;(3)不能.如圖,作交于點(diǎn),延長(zhǎng)交于點(diǎn),連接,由,,,所以平面,則平面,又,根據(jù)三垂線定理,得到,所以是二面角的平面角,若,則是等腰直角三角形,,又,所以中,由大角對(duì)大邊知,所以,這與上面相矛盾,所以二面角的大小不能為.【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中的線線平行和垂直的判定問(wèn)題,和二面角的求解問(wèn)題,意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力;解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化,屬中檔題.19.(1);(2)當(dāng)=0時(shí),點(diǎn)O到直線MN的距離為定值.【解析】
(1)的面積最大時(shí),是短軸端點(diǎn),由此可得,再由離心率及可得,從而得橢圓方程;(2)在直線斜率存在時(shí),設(shè)其方程為,現(xiàn)橢圓方程聯(lián)立消元()后應(yīng)用韋達(dá)定理得,注意,一是計(jì)算,二是計(jì)算原點(diǎn)到直線的距離,兩者比較可得結(jié)論.【詳解】(1)因?yàn)樵跈E圓上,當(dāng)是短軸端點(diǎn)時(shí),到軸距離最大,此時(shí)面積最大,所以,由,解得,所以橢圓方程為.(2)在時(shí),設(shè)直線方程為,原點(diǎn)到此直線的距離為,即,由,得,,,所以,,,所以當(dāng)時(shí),,,為常數(shù).若,則,,,,,綜上所述,當(dāng)=0時(shí),點(diǎn)O到直線MN的距離為定值.【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓方程與橢圓的幾何性質(zhì),考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查運(yùn)算求解能力.解題方法是“設(shè)而不求”法.在直線與圓錐曲線相交時(shí)常用此法通過(guò)韋達(dá)定理聯(lián)系已知式與待求式.20.(1)(2)【解析】
(1)利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式,,即可求得結(jié)果.(2)由的幾何意義得,.將代入拋物線C的方程,利用韋達(dá)定理,,即可求得結(jié)果.【詳解】(1)因?yàn)?,,代入得,所以拋物線C的極坐標(biāo)方程為.(2)將代入拋物線C的方程得,所以,,所以,由的幾何意義得,.【點(diǎn)睛】本題考查直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化,考查極坐標(biāo)方程的綜合應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化與劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,難度一般.21.(1)(2)①②第一種抽獎(jiǎng)方案.【解析】
(1)方案一中每一次摸到
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