層次分析法案例

層次分析法1層次分析法

(AnalyticHierarchyProcess，簡(jiǎn)稱AHP)

一、層次分析法概述二、AHP的基本原理三、AHP的求解步驟四、應(yīng)用實(shí)例2一、層次分析法概述美國(guó)運(yùn)籌學(xué)家Saaty教授于二十世紀(jì)70年代提出的一種實(shí)用的多方案或多目標(biāo)的決策方法。主要特征是：合理地將定性與定量的決策結(jié)合起來(lái)，按照思維、心理的規(guī)律把決策過(guò)程層次化、數(shù)量化。1982年被引入國(guó)內(nèi)后迅速地在我國(guó)社會(huì)經(jīng)濟(jì)各個(gè)領(lǐng)域內(nèi)，如能源系統(tǒng)分析、城市規(guī)劃、經(jīng)濟(jì)管理、科研評(píng)價(jià)等，得到了廣泛的重視和應(yīng)用。3二、層次分析法的基本原理層次分析法的基本思想：把復(fù)雜問(wèn)題分解為若干層次，在最低層次通過(guò)兩兩對(duì)比得出各因素的權(quán)重，通過(guò)由低到高的層層分析計(jì)算，最后計(jì)算出各方案對(duì)總目標(biāo)的權(quán)數(shù)，權(quán)數(shù)最大的方案即為最優(yōu)方案。4例：例：層次分析法的基本假設(shè)：層次之間存在遞進(jìn)結(jié)構(gòu)，即從高到低或從低到高遞進(jìn)。層次分析法的基本方法：建立層次結(jié)構(gòu)模型。建立層次模型的步驟如下:(1)明確問(wèn)題，搞清楚涉及的因素以及因素相互之間的關(guān)系。(2)將決策問(wèn)題層次化，劃分為總目標(biāo)層、分目標(biāo)層和方案層。7三、AHP求解步驟8層次單排序求解過(guò)程9(一)判斷矩陣

概念：設(shè)Wi表示反映第i個(gè)方案對(duì)于某個(gè)最低層目標(biāo)的優(yōu)越性或某層第i個(gè)目標(biāo)對(duì)于上層某一目標(biāo)的重要性的權(quán)重，以每?jī)蓚€(gè)方案（或子目標(biāo)）的相對(duì)重要性為元素的矩陣A稱為判斷矩陣。10

判斷矩陣是層次分析法的核心。11判斷矩陣中各元素的確定——標(biāo)度對(duì)任意兩因素的相對(duì)重要性進(jìn)行判斷，并予以量化。1～9標(biāo)度方法列表如下：12設(shè)，則判斷矩陣的元素具有三條性質(zhì)：

滿足這三條性質(zhì)的判斷矩陣，稱為完全一致性判斷矩陣。n階完全一致性判斷矩陣的最大特征根為其余特征根為0。13實(shí)例在城市公共交通系統(tǒng)中，針對(duì)“如何降低事故發(fā)生率”，可采取如下措施：P1：實(shí)行經(jīng)濟(jì)責(zé)任制；P2：加強(qiáng)職工培訓(xùn)(智力投資)；P3：加強(qiáng)交通管制(對(duì)行車安全有較大影響)；P4：發(fā)展快速電車；P5：修建人行天橋；P6：疏通瓶頸卡口；P7：合理限制自行車。如何確定上述措施對(duì)于目標(biāo)的重要性次序(即權(quán)重)，從而為最終決策提供依據(jù)？141，構(gòu)造判斷矩陣15(二)權(quán)重的確定方法設(shè)判斷矩陣為：為的特征根，為特征根所對(duì)應(yīng)的特征向量。16特征向量近似解法（1）將判斷矩陣每一列歸一化：（2）將每一列經(jīng)歸一化后的矩陣按行相加：1，和積法：17（3）將向量歸一化：（4）計(jì)算判斷矩陣最大特征根所求得即為所求特征向量。其中表示向量的第個(gè)元素。182，求最大特征值及特征向量(1)將判斷矩陣每列歸一化實(shí)例192，求最大特征值及特征向量(2)歸一化后的矩陣按行加總(3)將列向量歸一化即得特征向量WW=(0.044,0.075,0.103,0.021,0.212,0.137,0.409)T,(4)計(jì)算最大特征值λMax=7.691AW=(0.316,0.563,0.797,0.150,1.707,1.102,3.267)T,20特征向量近似解法2，方根法：（1）計(jì)算判斷矩陣A每行元素乘積的n次方根：21（3）計(jì)算判斷矩陣最大特征根其中表示向量的第個(gè)元素。（2）將向量歸一化：所求得即為所求特征向量。22(三)一致性檢驗(yàn)構(gòu)造好判斷矩陣后，需要根據(jù)判斷矩陣計(jì)算針對(duì)某一準(zhǔn)則層各元素的相對(duì)權(quán)重，并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。雖然在構(gòu)造判斷矩陣A時(shí)并不要求判斷具有一致性，但判斷偏離一致性過(guò)大也是不允許的。因此需要對(duì)判斷矩陣A進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。通過(guò)計(jì)算一致性指標(biāo)和檢驗(yàn)系數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)。23CI，度量判斷矩陣偏離一致性的指標(biāo)CI愈大，判斷矩陣的一致性愈差；λMax-n愈大，CI愈大，矩陣的一致性愈差；CI=0，判斷矩陣具有完全一致性。24RI，平均隨機(jī)一致性指標(biāo)，是足夠多個(gè)根據(jù)隨機(jī)發(fā)生的判斷矩陣計(jì)算的一致性指標(biāo)的平均值。3—9階矩陣的RI取值見(jiàn)下表：25CR，檢驗(yàn)系數(shù)CR愈小，判斷矩陣的一致性愈好；一般地，當(dāng)CR0.1時(shí)，可認(rèn)為判斷矩陣具有滿意的一致性。否則需要調(diào)整判斷矩陣，直至滿意的一致性。263，一致性檢驗(yàn)實(shí)例27(四)層次總排序利用同一層次中所有層次單排序的結(jié)果，就可以計(jì)算針對(duì)上一層次而言的本層次所有元素的重要性權(quán)重值，這就稱為層次總排序。層次總排序需要從上到下逐層順序進(jìn)行。對(duì)于最高層，其層次單排序就是其總排序。若上一層次所有元素A1，A2，…，Am的層次總排序已經(jīng)完成，得到的權(quán)重值分別為a1，a2，…，am與aj對(duì)應(yīng)的本層次元素B1，B2，…，Bn的層次單排序結(jié)果為：28層次總排序表

293031總一致性檢驗(yàn)

在(1)式中，CI為層次總排序的一致性指標(biāo)，CIj為與aj對(duì)應(yīng)的B層次中判斷矩陣的一致性指標(biāo)；在(2)式中，RI為層次總排序的隨機(jī)一致性指標(biāo)，RIj為與aj對(duì)應(yīng)的B層次中判斷矩陣的隨機(jī)一致性指標(biāo)；在(3)式中，CR為層次總排序的隨機(jī)一致性比例。同樣，當(dāng)CR＜0.10時(shí)，則認(rèn)為層次總排序的計(jì)算結(jié)果具有令人滿意的一致性；否則，就需要對(duì)本層次的各判斷矩陣進(jìn)行調(diào)整，從而使層次總排序具有令人滿意的一致性。(1)(2)(3)32小結(jié)：AHP求解步驟建立層次結(jié)構(gòu)模型；對(duì)各層元素兩兩比較，構(gòu)造判斷矩陣；求解判斷矩陣的特征向量，并對(duì)判斷矩陣的一致性進(jìn)行檢驗(yàn)；一致性檢驗(yàn)通過(guò)后，確定各層排序加權(quán)值，若檢驗(yàn)不能通過(guò)，需要重新調(diào)整判斷矩陣；得出層次總排序。33案例2:對(duì)深圳市建設(shè)用地進(jìn)行生態(tài)適宜性評(píng)價(jià)，并根據(jù)評(píng)價(jià)結(jié)果提取深圳市基本生態(tài)控制區(qū)域(王海鷹、張新長(zhǎng)等，2009)。利用德?tīng)柗品ù_定影響城市建設(shè)用地生態(tài)適應(yīng)性的自然、社會(huì)經(jīng)濟(jì)和生態(tài)安全等因素，采用層次分析法計(jì)算相關(guān)影響因子權(quán)重。3435續(xù)363839附錄：求最大特征值及特征向量定理：設(shè)有因素C1，C2，…，Cn和目標(biāo)D，記則得判斷矩陣C=(cij)n×n,解矩陣C的特征方程|C-λE|=0，E為單位陣，求特征值λi(i=1,2,…,n)，記最大特征值為λmax,對(duì)應(yīng)的λmax的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量為Y=(y1,y2,…,yn)T，則yi(i=1,2,…,n)為因素Ci對(duì)目標(biāo)D的權(quán)重。40證明：設(shè)指標(biāo)C1，C2，…，Cn對(duì)目標(biāo)D的影響分別為正數(shù)x1,x2,…,xn,記為列向