概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第七講

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

第七講本文件可從網(wǎng)址/cgi-bin/mydocument/share_list.cgi?uid=math下載，此外，網(wǎng)址/上還有大量的習(xí)題解獨(dú)立試驗(yàn)概型事件的獨(dú)立性定義1.4如果事件A發(fā)生的可能性不受事件B發(fā)生與否的影響,即P(A|B)=P(A),則稱事件A對(duì)于事件B獨(dú)立.由此定義及條件概率P(A|B)的定義有如A與B獨(dú)立,則在實(shí)用中兩個(gè)事件獨(dú)立經(jīng)常是由于兩個(gè)試驗(yàn)獨(dú)立,且總的試驗(yàn)由兩個(gè)試驗(yàn)拼成.這兩個(gè)試驗(yàn)相互之間沒有任何影響.在解題過程中,通常題目中已經(jīng)告訴你哪些事件獨(dú)立或者說相互無關(guān).在科學(xué)實(shí)驗(yàn)中,兩個(gè)事件是否獨(dú)立是需要經(jīng)過理論和實(shí)驗(yàn)的反復(fù)驗(yàn)證的.比如一種治療方法或者一種藥是否和另一種病的好轉(zhuǎn)或者惡化有關(guān)系,或者完全沒有關(guān)系(獨(dú)立).定義1.5如果n(n>2)個(gè)事件A1,A2,…,An中任何一個(gè)事件發(fā)生的可能性都不受其它一個(gè)或幾個(gè)事件發(fā)生與否的影響,則稱A1,A2,…,An相互獨(dú)立.若A1,A2,…,An相互獨(dú)立,則有P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)除非兩個(gè)事件之一的概率為0,否則兩個(gè)相互獨(dú)立的事件A與B通常是相容的,這是因?yàn)镻(AB)=P(A)P(B)不為零.計(jì)算相互獨(dú)立事件的交的概率通常是好算的,只須將它們各自的概率相乘即可.但經(jīng)常也要計(jì)算到相互獨(dú)立事件的并的概率,這時(shí)候或者可以用廣義加法法則,即

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

=P(A)+P(B)-P(A)P(B)如果是要求多個(gè)相互獨(dú)立的事件的并的概率,則應(yīng)當(dāng)利用狄.摩根定理將事件的并轉(zhuǎn)換為事件的交,也就是考慮事件的逆的概率.但是,經(jīng)常有的難題喜歡求某些獨(dú)立事件的交了再并的概率,這時(shí)候不得不套用廣義加法法則,尤其常用的是三個(gè)事件的并的加法法則,P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)例如,常見的求AB+CD+EF的概率,則P(AB+CD+EF)=P(AB)+P(CD)+P(EF)-P(ABCD)-P(ABEF)-P(CDEF)+P(ABCDEF)如果A,B,C,D,E,F相互之間獨(dú)立,則上式中的各個(gè)交事件的概率再變成各概率之積.而一種非常常見的題型,就是假設(shè)事件A,B,C相互獨(dú)立,但是問其中至少兩件發(fā)生的概率,或者至少兩件不發(fā)生的概率.而A,B,C至少兩件發(fā)生的事件為AB+AC+BC,因此P(AB+AC+BC)=P(AB)+P(AC)+P(BC)-P(ABC)-P(ABC)-P(ABC)+P(ABC)=P(AB)+P(AC)+P(BC)-2P(ABC)=P(A)P(B)+P(A)P(C)+P(B)P(C)

-2P(A)P(B)P(C)而A,B,C至少兩件不發(fā)生的事件為例1甲,乙,丙3部機(jī)床獨(dú)立工作,由一個(gè)工人照管,某段時(shí)間內(nèi)它們不需要工人照管的概率分別為0.9,0.8及0.85.求在這段時(shí)間內(nèi)有機(jī)床需要工人照管的概率以及機(jī)床因無人照管而停工的概率.解用事件A,B,C分別表示在這段時(shí)間內(nèi)機(jī)床甲,乙,丙不需工人照管.依題意A,B,C相互獨(dú)立,并且P(A)=0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.85則這段時(shí)間內(nèi)有機(jī)床需要工人照管的概率為而當(dāng)至少有兩部機(jī)床需要照管的時(shí)候,就有機(jī)床因無人照管而停工了,這樣的事件是例2若例1中的3部機(jī)床性能相同,設(shè)P(A)=P(B)=P(C)=0.8,求這段時(shí)間內(nèi)恰有一部機(jī)床需人照管的概率假設(shè)事件E為"三部中恰有一部需人照管",而D1,D2,D3為恰好甲,乙,丙機(jī)床需人照管,則而E=D1+D2+D3為三個(gè)互不相容事件之和,

而且P(D1)=P(D2)=P(D3),都是由一個(gè)0.2與兩個(gè)0.8相乘,因此可以寫成例3如圖所示,開關(guān)電路中開關(guān)a,b,c,d開或關(guān)的概率都是0.5,且各開關(guān)是否關(guān)閉相互獨(dú)立.求燈亮的概率以及若已見燈亮,開關(guān)a與b同時(shí)關(guān)閉的概率abcd解令事件A,B,C,D分別表示開關(guān)a,b,c,d關(guān)閉,E表示燈亮,則E=AB+C+DabcdP(E)=P(AB+C+D)

=P(AB)+P(C)+P(D)-P(ABC)-P(ABD)

-P(CD)+P(ABCD)

=P(A)P(B)+P(C)+P(D)-P(A)P(B)P(C)

-P(A)P(B)P(D)-P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)

=0.52+0.5+0.5-0.53-0.53-0.52+0.54=0.8125

P(AB|E)=P(ABE)/P(E)

而ABE,故ABE=AB,因此甲,乙,丙三人進(jìn)行定點(diǎn)投籃比賽,已知甲的命中率為0.9,乙的命中率為0.8,丙的命中率為0.7,現(xiàn)每人各投一次,求:(1)三人中至少有兩人投進(jìn)的概率;(2)三人中至多有兩人投進(jìn)的概率.解:設(shè)A="甲投進(jìn)",B="乙投進(jìn)",C="丙投進(jìn)"則三人中至少兩人投中的事件為AB+AC+BC三人中至多有兩人投進(jìn)的事件為ABC98年經(jīng)濟(jì)類考研題因此1998經(jīng)濟(jì)類考研題

設(shè)A,B,C是三個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)事件,且0<P(C)<1,則在下列給定的四對(duì)事件中不相互獨(dú)立的是解由題設(shè),A,B,C是三個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)事件,那么其中任意兩個(gè)事件或其對(duì)立事件的和,差,交與另一事件或者其對(duì)立事件是相互獨(dú)立的,根據(jù)這一性質(zhì),只有B是不成立的.1994年經(jīng)濟(jì)類考研題這是因?yàn)?如果2000年經(jīng)濟(jì)類考研題

設(shè)A,B,C三個(gè)事件兩兩獨(dú)立,則A,B,C相互獨(dú)立的充分必要條件是()

A.A與BC獨(dú)立 B.AB與A+C獨(dú)立

C.AB與AC獨(dú)立 D.A+B與A+C獨(dú)立解:選項(xiàng)B,C,D的兩個(gè)事件中都出現(xiàn)事件A,因此都不可能獨(dú)立.因此考察選項(xiàng)A,如A與BC獨(dú)立,則P(ABC)=P(A