概率論第一章(課件4)

第二章隨機變量及其分布2.1隨機變量

一、隨機變量概念的產(chǎn)生在實際問題中，隨機試驗的結(jié)果常和數(shù)量相聯(lián)系，由此就產(chǎn)生了隨機變量的概念.1、有些試驗結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身就是一個數(shù)）.例擲一顆骰子,考察面上出現(xiàn)的點數(shù)；七月份北京的最高溫度；每天從鄭州站下火車的人數(shù)；昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)；2、在有些試驗中，試驗結(jié)果看來與數(shù)值無關(guān)，但我們可以引進一個變量來表示它的各種結(jié)果.也就是說，把試驗結(jié)果數(shù)值化.

例

拋擲一枚硬幣可能出現(xiàn)的兩個結(jié)果，也可以用一個變量來描述：正如裁判員在運動場上不叫運動員的名字而叫號碼一樣，二者建立了一種對應(yīng)關(guān)系.

這種對應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種實值函數(shù).ω.X(ω)R這種實值函數(shù)與在高等數(shù)學(xué)中大家接觸到的函數(shù)一樣嗎？（1）它隨試驗結(jié)果的不同而取不同的值，所以在試驗之前只知道它可能取值的范圍，而不能預(yù)先肯定它將取哪個值.（2）由于試驗結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率，于是這種實值函數(shù)取每個值和每個確定范圍內(nèi)的值也有一定的概率.定義2.1.1設(shè)隨機試驗E的樣本空間={ω}，如果對于每一個ω

∈

有實數(shù)X(ω)和它對應(yīng)，這樣就得到一個定義在上的實值單值函數(shù)X(ω);稱X(ω)為隨量機變而表示隨機變量所取的值時,一般采用小寫字母x,y,z等.隨機變量通常用大寫字母X,Y,Z或希臘字母,η等表示簡記為r.v.(randomvariable)。

例如，從某一學(xué)校隨機選一學(xué)生，測量他的身高.我們可以把可能的身高看作隨機變量X,然后我們可以提出關(guān)于X

的各種問題.

如P(X

>1.7)=？P(X

≤1.5)=?P(1.5<

X

<1.7)=?有了隨機變量,隨機試驗中的各種事件，就可以通過隨機變量的關(guān)系式表達(dá)出來.二、引入隨機變量的意義如：單位時間內(nèi)某電話交換臺收到的呼叫次數(shù)用X表示，它是一個隨機變量.事件{收到不少于1次呼叫}{X1}{沒有收到呼叫}{X=0}隨機變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件.引入隨機變量后，對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究，就由對事件及事件概率的研究擴大為對隨機變量及其取值規(guī)律的研究.事件及事件概率隨機變量及其取值規(guī)律三、隨機變量的分類

如“取到次品的個數(shù)”，“收到的呼叫數(shù)”等.隨機變量離散型隨機變量非離散型隨機變量所有取值可以逐個一一列舉如，“電視機的壽命”，實際中常遇到的“測量誤差”等.全部可能取值不僅無窮多，而且還不能一一列舉，而是充滿一個區(qū)間.—其中一重要情形：連續(xù)型隨機變量

設(shè)X是一個離散型隨機變量，它可能取的值是x1,x2,…。為了描述隨機變量X，我們不僅需要知道隨機變量X的取值，而且還應(yīng)知道X取每個值的概率。

2.2離散型隨機變量及其分布

這樣,我們就掌握了X這個隨機變量取值的概率規(guī)律.從5個球中任取3個球，取到的白球數(shù)X是一個隨機變量。X可能取的值是：0,1,2。取每個值的概率為例1且

定義2.2.1：設(shè)xk(k=1,2,…)是離散型隨機變量X所取的一切可能值，稱

k=1,2,…為離散型隨機變量X的概率分布或分布律.一、離散型隨機變量概率分布的定義離散型隨機變量X的概率分布或分布律，也可以用表格的形式來表示：X

x1x2...xn...Pp1p2...pn...

其中(k=1,2,…)滿足：

k=1,2,…（1）（2）用這兩條性質(zhì)判斷一個函數(shù)是否是概率分布解:依據(jù)概率分布的性質(zhì)，pk=P(X=k)≥0,

a≥0，從中解得欲使上述函數(shù)為概率分布，應(yīng)有這里用到了常見的冪級數(shù)展開式例2.設(shè)隨機變量X的概率分布為：k=0,1,2,…,試確定常數(shù)a.因為，

注：若已知離散型隨機變量X的概率分布

k=1,2,…則對于任意實數(shù)a<b,事件{a<X<b}的概率可由概率分布求得。且事件{X=xi}互不相容，由概率的可加性，得到例

隨機的擲一顆骰子，ω表示的樣本點,ω:出現(xiàn)1點出現(xiàn)2點出現(xiàn)3點出現(xiàn)4點出現(xiàn)5點出現(xiàn)6點X(ω):

123456X的概率分布為X123456P1/61/61/61/61/61/6

注意:

離散型隨機變量的概率分布分以下幾步來求:(1)確定隨機變量的所有可能取值;(2)計算每個取值點的概率(3)列出隨機變量的概率分布表.例3：袋內(nèi)有5個黑球，3個白球，每次抽取一個，不放回，直到取得黑球為止。記X為取到白球的數(shù)目，Y為抽取次數(shù)，求X、Y的概率分布及至少抽取3次的概率。解:(1)X的可能取值為0,1,2,3,P(X=0)=5/8,P(X=1)=(3×5)/(8×7)=15/56,類似有P(X=2)=(3×2×5)/(8×7×6)=5/56,P(X=3)=1/56,所以,X的概率分布為X0123P5/815/565/561/56(3)P(Y≥3)=P(Y=3)+P(Y=4)=6/56

(2)Y的可能取值為1,2,3,4,P(Y=1)=P(X=0)=

5/8,P(Y=2)=P(X=1)=15/56,類似有P(Y=3)=P(X=2)=5/56,P(Y=4)=P(X=3)=1/56,所以Y的概率分布為Y1234P5/815/565/561/56四、常見離散型隨機變量的概率分布1、兩點分布

設(shè)E是一個只有兩種可能結(jié)果的隨機試驗,用Ω={1,2}表示其樣本空間.

P({1})=p,P({2})=1-p

來源X()=1,=10,=2例5

200件產(chǎn)品中,有196件是正品,4件是次品,今從中隨機地抽取一件,若規(guī)定X()=1,取到合格品0,取到不合格品

則P{X=1}=196/200=0.98,P{X=0}=4/200=0.02

故X服從參數(shù)為0.98的兩點分布.即X～B(1,0.98).2、二項分布：設(shè)貝努里試驗中，每次試驗事件A出現(xiàn)(成功)的概率都是p，失敗的概率都是q=1-p.用X表示n重貝努里試驗中事件A出現(xiàn)（成功）的次數(shù)，則X的概率分布為其中：0<p<1，q=1-p，記為X~B(n,p).例6:一批產(chǎn)品的合格率為0.8,有放回地抽取4次,每次一件,求取得合格品件數(shù)X,以及取得不合格品件數(shù)Y的概率分布,(1)X對應(yīng)的實驗次數(shù)為n=4,“成功”即“取得合格品”的概率p=0.8,(2)此時,“成功”即“取得不合格品”的概率為p=0.2,所以,X~B(4,0.8)所以,Y~B(4,0.2)X01P1-pp當(dāng)n=1時，隨機變量X服從兩點分布或稱作0-1分布.或者：設(shè)有N件產(chǎn)品,其中有M件不合格品，今從中任取n件，試問這n件產(chǎn)品中恰有m(m≤M)件不合格品的概率是多少？例7：例8：在6只同類產(chǎn)品中有2只不合格品，從中每次取一只，共取3次（1）每次取出的產(chǎn)品立即放回，再取下一只。求取出3只產(chǎn)品中的不合格品數(shù)X的概率分布（2）每次取出的產(chǎn)品都不放回，求取出3只產(chǎn)品中的不合格品數(shù)Y的概率分布超幾何分布與二項分布之間的關(guān)系：當(dāng)N很大,n很小時:超幾何分布近似的看成是二項分布。命題：若當(dāng)N→∞時，M/N→p,則有4、Possion分布(泊松分布)定義:若隨機變量X所有可能取得值為0，1，2，…,取各個值的概率為則稱X服從參數(shù)為λ的Possion分布,記為X~P(λ).歷史上，泊松分布是作為二項分布的近似，于1837年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入的.二項分布與泊松分布命題

對于二項分布B(n,p),當(dāng)n充分大,p又很小時,則對任意固定的非負(fù)整數(shù)k,有近似公式例9：已知某自動機床產(chǎn)品的次品率為0.001，從產(chǎn)品中任取5000個，求這5000個產(chǎn)品中次品超過5的概率？解令5000個產(chǎn)品中次品數(shù)為X，則X~B(5000,0.001)，于是，所求概率從上式可以看出，若用二項分布概率公式計算，計算量很大。但注意到，n很大，p很小，這時，np=5,不是很大，可以用前面的近似公式取λ=np=5,可得例10、

假定一個實驗成功的概率為p(0<p<1),不斷重復(fù)進行實驗,直到首次成功為止,求實驗次數(shù)X的概率分布.解:X的概率分