概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四章

數(shù)學(xué)期望方差矩和協(xié)方差矩陣第四章變量的數(shù)字特征協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)

第一節(jié)數(shù)學(xué)期望在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量及其分布，如果知道了隨機(jī)變量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了。然而，在實(shí)際問題中，概率分布一般是較難確定的。而在一些實(shí)際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了。因此，在對(duì)隨機(jī)變量的研究中，確定某些數(shù)字特征是重要的。在這些數(shù)字特征中，最常用的是數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)起源：法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡（Pascal，1623—1662）

法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（Fermat，1601—1665）法國(guó)軍人德.梅勒（DeMere，1607—1684）一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望帕斯卡德.梅勒約定先贏5局，獲全部賭金A：4B：3分賭金寫信費(fèi)馬假設(shè)再賭一局A贏獲全賭金：1A輸獲賭金：1/2A最后獲賭金：1/2×1+1/2×1/2=3/4B最后獲賭金：1/2×0+1/2×1/2=1/4期望（提前分錢）朋友引例1

某車間對(duì)工人的生產(chǎn)情況進(jìn)行考察。車工小張每天生產(chǎn)的次品數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量。如何確定小張每天生產(chǎn)的次品數(shù)的平均值呢？我們先觀察小張100天的生產(chǎn)情況（假定小張每天至多出現(xiàn)三件次品）若統(tǒng)計(jì)100天,

32天沒有出次品;30天每天出一件次品;17天每天出兩件次品;21天每天出三件次品;可以得到這100天中每天的平均次品數(shù)為這個(gè)數(shù)能否作為X的平均值嗎？可以想象，若另外統(tǒng)計(jì)100天，車工小張不出次品，出一件、二件、三件次品的天數(shù)與前面的100天一般不會(huì)完全相同，這另外100天每天的平均次品數(shù)也不一定是1.27。n0天沒有出次品;n1天每天出一件次品;n2天每天出兩件才品;n3天每天出三件次品.可以得到n天中每天的平均次品數(shù)為一般來說,若統(tǒng)計(jì)n天,(假定小張每天至多出三件廢品)以頻率為權(quán)的加權(quán)平均

當(dāng)n很大時(shí)，頻率接近于概率，所以我們?cè)谇蟠纹窋?shù)X的平均值時(shí)，用概率代替頻率，得平均值為以概率為權(quán)的加權(quán)平均這是一個(gè)確定的數(shù)。我們就用這個(gè)數(shù)作為隨機(jī)變量X的平均值。注：離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)的和。數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量的平均值，與X的取值x

k的順序無關(guān)（唯一性），所以要求級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則稱此級(jí)數(shù)的和為X

的數(shù)學(xué)期望。設(shè)離散型隨機(jī)變量X

的分布律為定義4.1簡(jiǎn)稱期望或均值，記為E(X)。即例4.1甲乙兩人射擊，他們的射擊水平由下表給出試問哪個(gè)人的射擊水平較高？解

甲乙的平均環(huán)數(shù)可求得：因此，從平均環(huán)數(shù)上看，甲的射擊水平要比乙的好。X：甲擊中的環(huán)數(shù)Y：乙擊中的環(huán)數(shù)解

設(shè)試開次數(shù)為X,于是某人的一串鑰匙上有n把鑰匙，其中只有一把能打開自己的家門，他隨意地試用這串鑰匙中的某一把去開門。若每把鑰匙試開一次后除去，求打開門時(shí)試開次數(shù)的數(shù)學(xué)期望。例4.2一旅客8:20到車站，求他候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望。按規(guī)定，某車站每天8:00~9:00，9:00~10:00都恰有一輛客車到站，但到站時(shí)刻是隨機(jī)的，且兩者到站的時(shí)間相互獨(dú)立。其規(guī)律為：

例4.3解：設(shè)旅客的候車時(shí)間為X（以分計(jì)，其分布率為）設(shè)A為事件“第一班車8:10到站”，B為事件“第二班車9:30到站”。候車時(shí)間X的數(shù)學(xué)期望為二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為f(x)，在數(shù)軸上取很密的分點(diǎn)x0<x1<x2<…，則X落在小區(qū)間[xi,xi+1)的概率是這正是的漸近和式。因此X與以概率f(xi)Δxi，取值xi的離散型r.v.近似，該離散型r.v

的數(shù)學(xué)期望是由此啟發(fā)我們引進(jìn)如下定義。定義4.2

設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為f(x)，如果積分絕對(duì)收斂,則稱此積分值為X的數(shù)學(xué)期望,即注:

連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收斂的積分。例4.4若將這兩個(gè)電子裝置串聯(lián)連接組成整機(jī)，求整機(jī)壽命(以小時(shí)計(jì))N

的數(shù)學(xué)期望。例4.5有2個(gè)相互獨(dú)立工作的電子裝置，它們的壽命Xk(k=1,2)服從同一指數(shù)分布，其概率密度為的分布函數(shù)為三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

問題的提出：設(shè)已知隨機(jī)變量X的分布，我們需要計(jì)算的不是X的期望，而是X的某個(gè)函數(shù)的期望，比如說g(X)的期望。那么應(yīng)該如何計(jì)算呢？一種方法是，因?yàn)間(X)也是隨機(jī)變量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出來。一旦我們知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定義把E[g(X)]計(jì)算出來。解已知X的分布律為求X2及的數(shù)學(xué)期望。同理例4.6那么是否可以不先求g(X)的分布而只根據(jù)X的分布求得E[g(X)]呢？下面的定理指出，答案是肯定的。

使用這種方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù)g(X)的分布，一般是比較復(fù)雜的。(1)當(dāng)X為離散型時(shí)，它的分布率為P(X=xk)=pk;(2)當(dāng)X為連續(xù)型時(shí)，它的密度函數(shù)為f(x)。若定理4.3

設(shè)Y是隨機(jī)變量X的函數(shù):Y=g(X)(g是連續(xù)函數(shù))該公式的重要性在于:當(dāng)我們求E[g(X)]時(shí),不必知道g(X)的分布，只需知道X的分布就可以了。設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求E(1/X)。解例4.7某公司按季度銷售某商品的量X服從[2000，4000]上的均勻分布，銷售1公斤獲利3元，屯倉(cāng)1公斤虧損1元，為獲利最大，該公司應(yīng)進(jìn)貨多少公斤？(最佳決策問題)解

設(shè)S為進(jìn)貨量，則2000≤S≤4000，獲得利潤(rùn)為由題意可得則平均利潤(rùn)為例4.8求S使E(Y)最大可得S=3500（公斤）定理4.4

設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量,g(X,Y)是二元連續(xù)函數(shù)Z=g(X,Y)⑴設(shè)(X,Y)為離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布律為若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,則Z

的數(shù)學(xué)期望為⑵設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x,y)，若絕對(duì)收斂,則Z的數(shù)學(xué)期望為已知(X,Y)的概率密度求E(X),E(Y),E(XY)解同理例4.9一般來說，E(XY)≠E(X)E(Y)，那么何時(shí)相等？1.設(shè)C是常數(shù)，則E(C)=C;2.若C是常數(shù)，則E(CX)=CE(X);3.E(X+Y)=E(X)+E(Y);四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)4.設(shè)X、Y相互獨(dú)立，則E(XY)=E(X)E(Y)。注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X，Y獨(dú)立五、幾種重要分布的數(shù)學(xué)期望Ⅰ.X為離散型隨機(jī)變量⑴（0—1）分布⑵泊松分布⑶二項(xiàng)分布任何一個(gè)服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量X都可表示n個(gè)服從(0-1)分布的獨(dú)立的隨機(jī)變量Xi相加的形式：X=X1+X2+…+XnⅡ.X為連續(xù)型隨機(jī)變量⑴均勻分布X~U(a,b)，則⑵指數(shù)分布X~E(λ)則分部積分法⑶正態(tài)分布已知X~N(2,4)，Y服從參數(shù)為3的指數(shù)分布，X,Y相互獨(dú)立，U=3X-6Y+9，V=XY+2X-3Y。求E(U)，E(V)。解

由隨機(jī)變量的性質(zhì)可知例4.10EU=3EX-6EY+9=3*2-6*(1/3)+9=13EV=E(X)E(Y)+2E(X)-3E(Y)=2/3+4-1=11/3六、數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的應(yīng)用求二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望。解：若X~B(n，p)，則X表示n重貝努里試驗(yàn)中的“成功”次數(shù)?，F(xiàn)在我們來求X的數(shù)學(xué)期望。例4.11若設(shè)i=1,2，…，n則X=X1+X2+…+Xn因?yàn)镻(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p=np所以E(X)=E(Xi)=1*p+0*(1-p)=p

把數(shù)字1,2,…,n任意地排成一列，如果數(shù)字k恰好出現(xiàn)在第k個(gè)位置上，則稱為一個(gè)巧合，求巧合個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望。由于E(Xk)=P(Xk=1)解:設(shè)巧合個(gè)數(shù)為X，引入

k=1,2,…,n則故例4.12

一民航送客車載有20位旅客自機(jī)場(chǎng)開出，旅客有10個(gè)車站可以下車，如到達(dá)一個(gè)車站沒有旅客下車就不停車。以X表示停車的次數(shù)，求E(X)。(設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的，并設(shè)各旅客是否下車相互獨(dú)立)例4.13按題意

第二節(jié)方差

上一節(jié)我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征。但是在一些場(chǎng)合，僅僅知道平均值是不夠的。

引例:

甲、乙兩個(gè)合唱隊(duì)都由5名成員組成，身高如下：甲：1.60、1.62、1.59、1.60、1.59乙：1.80、1.60、1.50、1.50、1.60那個(gè)合唱隊(duì)演出效果好？分析：易見，甲乙兩隊(duì)的平均身高都為1.60，但顯然甲隊(duì)比乙隊(duì)整齊，身高相對(duì)集中在1.60米左右，演出效果好。又如，甲、乙兩門炮同時(shí)向一目標(biāo)射擊10發(fā)炮彈，其落點(diǎn)距目標(biāo)的位置如圖：你認(rèn)為哪門炮射擊效果好一些呢?甲炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙炮因?yàn)橐遗诘膹椫c(diǎn)較集中在中心附近

中心中心由此可見，研究隨機(jī)變量與其均值的偏離程度是十分必要的。那么，用怎樣的量去度量這個(gè)偏離程度呢？容易看到(1)能度量隨機(jī)變量與其均值E(X)的偏離程度。但由于上式帶有絕對(duì)值，運(yùn)算不方便，通常用量(2)來度量隨機(jī)變量X與其均值E(X)的偏離程度。這個(gè)數(shù)字特征就是我們這一講要介紹的方差。(1)(2)一、方差的定義定義4.5

設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，若E[(X-E(X)]2存在,稱E[(X-E(X)]2為X的方差。記為D(X)或Var(X)，即D(X)=Var(X)=E[X-E(X)]2方差的算術(shù)平方根稱為均方差或標(biāo)準(zhǔn)差。方差刻劃了隨機(jī)變量的取值對(duì)于其數(shù)學(xué)期望的離散程度。若X的取值比較集中，則方差D(X)較??；若X的取值比較分散，則方差D(X)較大。因此，D(X)是刻畫X取值分散程度的一個(gè)量，它是衡量X取值分散程度的一個(gè)尺度。由定義知，方差是隨機(jī)變量X的函數(shù)

g(X)=[X-E(X)]2的數(shù)學(xué)期望。二、方差的計(jì)算計(jì)算方差的一個(gè)簡(jiǎn)化公式

D(X)=E(X2)-[E(X)]2

證：D(X)=E[X-E(X)]2=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2解由公式因此，0-1分布設(shè)隨機(jī)變量X具有(0-1)分布，其分布率為求D(X)。例4.14解X的分布率為例4.15因此，泊松分布解因此，均勻分布例4.16解由此可知，指數(shù)分布設(shè)隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布，其概率密度為例4.17三、方差的性質(zhì)1.設(shè)C是常數(shù),則D(C)=0;2.若C是常數(shù),則D(CX)=C2

D(X);3.設(shè)X與Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}4.

D(X)=0，就是指P{X=C}=1，這里C=E(X)下面我們證明性質(zhì)3證明若X，Y相互獨(dú)立,由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)4得此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的情況。設(shè)X~B(n，p)，求E(X)和D(X)。若設(shè)i=1,2，…，n解X~B(n，p)，則X表示n重努里試驗(yàn)中的“成功”次數(shù)。例4.18由于X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立i=1,2，…，nE(Xi)=p,D(Xi)=

p(1-p),

則是n次試驗(yàn)中“成功”的次數(shù)于是=np(1-p)解于是例4.19設(shè)X,Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的且服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量,且X~N(-3,1)，Y~N(2,1)，則求隨機(jī)變量Z=X-2Y+7服從什么分布？解

Z為正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合，所以仍然服從正態(tài)分布，且其參數(shù)為故Z~N(0,5)例4.20設(shè)X,Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的且均服從正態(tài)分布N(0,1/2)的隨機(jī)變量,則求隨機(jī)變量|X-Y|的數(shù)學(xué)期望。解

記Z=X-Y，則E(X-Y)=E(X)-E(Y)=0。故Z~N(0,1)例4.21D(X-Y)=D(X)+D(Y)=1設(shè)X的可能取值為x1=-1，x2=0，x3=1，且E(X)=0.1，D(X)=0.89，求X的分布律。所以例4.21解設(shè)

X的分布律為解

由題意可知已知的次數(shù)，求對(duì)X獨(dú)立觀察4次，Y表示X

的觀察值大于例4.22設(shè)U~[-2,2]，且⑴求X和

Y的分布律;⑵求X+Y的方差。解

⑴

X,Y的取值都為-1和1，則例4.23⑵X+Y

的分布律為

第三節(jié)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)問題對(duì)于二維隨機(jī)變量(X,Y):已知聯(lián)合分布邊緣分布對(duì)二維隨機(jī)變量，除每個(gè)隨機(jī)變量各自的概率特性外，相互之間可能還有某種聯(lián)系，問題是用一個(gè)怎樣的數(shù)去反映這種聯(lián)系?反映了隨機(jī)變量X,Y之間的某種關(guān)系⑶Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)⑴Cov(X,Y)=Cov(Y,X)一、協(xié)方差性質(zhì)⑵Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)a,b是常數(shù)定義4.6量E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}稱為隨機(jī)變量X和Y的協(xié)方差，記為Cov(X,Y)，即Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}特別地

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)可見，若X與Y獨(dú)立，Cov(X,Y)=0。計(jì)算協(xié)方差的一個(gè)簡(jiǎn)單公式由協(xié)方差的定義及期望的性質(zhì)，可得Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)即特別地D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)隨機(jī)變量和的方差與協(xié)方差的關(guān)系協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互間的關(guān)系，但它還受X與Y本身度量單位的影響。例如：Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y)為了克服這一缺點(diǎn)，對(duì)協(xié)方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，這就引入了相關(guān)系數(shù)

。二、相關(guān)系數(shù)為隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)。定義4.7

設(shè)D(X)>0,D(Y)>0，稱在不致引起混淆時(shí)，記

為。1)2)的充要條件是X與Y以概率1呈線性關(guān)系。即其中a,b(a≠0)為常數(shù)定理4.8

設(shè)隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)存在，則證⑴則Cauchy-Schwarz不等式所以證⑵僅有一個(gè)重根t0說明相關(guān)系數(shù)只是X與Y之間線性關(guān)系的一種度量。，X與Y的線性關(guān)系越顯著；，X與Y的線性關(guān)系越不顯著；四個(gè)等價(jià)命題2）3）4）1）相關(guān)系數(shù)則稱X與Y不相關(guān);

設(shè)隨機(jī)變量Y是X的線性函數(shù)Y=aX+b，則求X和

Y的相關(guān)系數(shù)。解法一

由已知可得所以解法二

由已知可得所以例4.24不相關(guān)：

X與Y之間沒有線性關(guān)系，并不表示它們之間沒有任何關(guān)系。所以，當(dāng)X和Y獨(dú)立時(shí)，Cov(X,Y)=0。故但由并不一定能推出X和Y獨(dú)立。請(qǐng)看下例獨(dú)立：

X與Y之間沒有任何函數(shù)關(guān)系。設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為問X和

Y是否相互獨(dú)立，是否不相關(guān)？解

⑴

先求關(guān)于X和Y的邊緣概率密度

例4.25因?yàn)樗訶和

Y不相互獨(dú)立。⑵

求X和Y的相關(guān)系數(shù)

所以故X和

Y不相關(guān)。獨(dú)立不相關(guān)若(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則X與Y獨(dú)立X與Y不相關(guān)特例若(X,Y)服從二維正態(tài)分布。是Y與X的相關(guān)系數(shù)。以下畫出取幾個(gè)不同值時(shí)(X,Y)的密度函數(shù)圖。132頁例292頁推廣（n維正態(tài)分布的幾條重要性質(zhì)）136頁1.

X=(X1,X2,…,Xn)服從n元正態(tài)分布，對(duì)一切不全為0的實(shí)數(shù)a1,a2,…,an，a1X1+a2

X2+…+anXn均服從正態(tài)分布。2.

若

X=(X1,X2,…,Xn)服從n元正態(tài)分布，Y1,Y2,…，Yk是Xj（j=1,2,…,n）的線性函數(shù)，則(Y1,Y2,…，Yk