概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章

第二章、隨機(jī)變量的分布和數(shù)字特征一、隨機(jī)變量及其分布二、隨機(jī)變量函數(shù)的分布三、隨機(jī)變量的數(shù)字特征四、離散型隨機(jī)變量的分布五、連續(xù)型隨機(jī)變量的分布一、隨機(jī)變量及其分布為了全面地研究隨機(jī)試驗的結(jié)果，揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性，我們將隨機(jī)試驗的結(jié)果與實數(shù)對應(yīng)起來，將隨機(jī)試驗的結(jié)果數(shù)量化，引入隨機(jī)變量的概念。例：（1）、投擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)，試驗所有的可能的結(jié)果是“出現(xiàn)1點”，“出現(xiàn)2點”，┅，“出現(xiàn)6點”等6種可能，若用一個變量X表示“出現(xiàn)的點數(shù)”，則X的所有可能取值為X=1，2，3，4，5，6。X

是一個變量．（2）：某段時間內(nèi)到商場購物的顧客數(shù)記為X

，若M為商場對人數(shù)的最大容量，則X的可能取值為[0，M]上的某一個整數(shù)。（3）：一個質(zhì)點沿著數(shù)軸進(jìn)行隨機(jī)運動，它在數(shù)軸上的位置用坐標(biāo)X來表示，則X的可能取值為實數(shù)R上的某一個實數(shù)。（4）：投擲一枚硬幣，觀察出現(xiàn)正面還是反面，每一次試驗結(jié)果用一個實數(shù)X來表示，出現(xiàn)正面用“1”表示，出現(xiàn)反面用“0”表示，則X

所有可能取值為X=1，0。為了計算n次投擲中出現(xiàn)的正面數(shù)就只須計算其中“1”出現(xiàn)的次數(shù)。

這些例子中，隨機(jī)試驗的每一個結(jié)果都對應(yīng)著變量X

的一個確定的取值，這個數(shù)x是隨著試驗的結(jié)果的不同而變化的，因此，這些變量是定義在樣本空間上的樣本點的一個函數(shù)。這種量稱之為隨機(jī)變量。正如對隨機(jī)事件一樣，我們所關(guān)心的不僅是試驗會出現(xiàn)的結(jié)果，更重要的是要知道這些結(jié)果將以怎樣的概率出現(xiàn)，也即對隨機(jī)變量我們不但要知道它取什么數(shù)值，而且要知道它取這些數(shù)值的概率。1、隨機(jī)變量的定義設(shè)={}為某隨機(jī)現(xiàn)象的樣本空間，稱定義在上的實值函數(shù)X=X()為隨機(jī)變量.注意：、隨機(jī)變量X()是樣本點的函數(shù)，其定義域為，其值域為R=(，)若X表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)，則{X=1.5}

是不可能事件.

(2)、若X

為隨機(jī)變量，則{X=k}、{a

<

Xb}、……均為隨機(jī)事件.即{a

<

Xb}={；a

<

X()b

}、注意以下一些表達(dá)式：{X=k}={Xk}{X<k}；{a<Xb}={Xb}{Xa}；{X>b}={Xb}.(4)、同一樣本空間可以定義不同的隨機(jī)變量.為什么？2、離散型隨機(jī)變量的分布與性質(zhì)1)離散型隨機(jī)變量的定義如果隨機(jī)變量X的取值是有限個或至多可列無窮個，則稱X

為離散型隨機(jī)變量．2)、離散型隨機(jī)變量的分布設(shè)離散型隨機(jī)變量X

的所有可能取值為記：則稱之為X的概率函數(shù)，又稱為X的概率分布離散型隨機(jī)變量的分布也可用表格形式表示：凡是滿足上述兩個條件的任意一組數(shù)：都可以成為一個離散隨機(jī)變量的分布，則稱為離散型概率分布。離散型隨機(jī)變量X的概率分布若滿足以下兩個條件：例

2.1.1、

從1～10這10個數(shù)字中隨機(jī)取出5個數(shù)字，令X：取出的5個數(shù)字中的最大值．試求X的分布．具體寫出，即可得X

的分布：解：

X

的可能取值為5，6，7，8，9，10．并且例

2.1.2、設(shè)隨機(jī)變量X

的分布為解：由分布率的性質(zhì)，得該級數(shù)為等比級數(shù)，故有所以：例2.1.3：設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過四盞信號燈，每盞信號燈以概率p禁止汽車通過.以X表示汽車首次停下時，它已通過的信號燈的盞數(shù)，求X

的分布律.(信號燈的工作是相互獨立的).P{X=3}=(1-p)3p解：

以p

表示每盞信號燈禁止汽車通過的概率，則 X

的分布為：或?qū)懗桑篜{X=k}=(1-p)kp，k=0,1,2,3

P{X=4}=(1-p)4

Xpk

01234p

(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4

以p=1/2代入得：Xpk

01234

0.50.250.1250.06250.0625求離散隨機(jī)變量的分布應(yīng)注意：(1)確定隨機(jī)變量的所有可能取值;

(2)計算每個取值點的概率.

3）、（0—1）分布及Bernoulli

試驗（概型）

設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個值，它的分布：

P{X＝k}＝pk(1一p)1-k，k＝0，1(0<p<1)，則稱X服從(0—1)分布或兩點分布。X01pk1-pp

(0—1)分布的分布也可寫成：關(guān)于（0—1）分布

對于一個隨機(jī)試驗，如果它的樣本空間只包含兩個元素，即={e1，e2}，我們總能在上定義一個服從(0一1)分布的隨機(jī)變量來描述這個隨機(jī)試驗的結(jié)果。例如，對新生嬰兒的性別進(jìn)行登記，檢查產(chǎn)品的質(zhì)量是否合格，某車間的電力消耗是否超過負(fù)荷以及前面多次討論過的“拋硬幣”試驗等都可以用(0—1)分布的隨機(jī)變量來描述。(0一1)分布是經(jīng)常遇到的一種分布。設(shè)試驗E只有兩個可能結(jié)果：A及，則稱E為伯努利(Bernoulli)試驗。Bernoulli

試驗（概型）n重伯努利試驗

設(shè)P(A)＝p(0<p<1)，此時P()＝1-p。將E獨立地重復(fù)地進(jìn)行n次，則稱這一串重復(fù)的獨立試驗為n重伯努利試驗。這里“重復(fù)”是指在每次試驗中P(A)＝p保持不變；“獨立”是指各次試驗的結(jié)果互不影響，即若以Ci記第i次試驗的結(jié)果，Ci為A或，i＝1，2，…，n．“獨立”是指

P{C1C2…Cn}＝P(C1)P(C2)…P(Cn)．

例如，E是拋一枚硬幣觀察得到正面或反面。A表示得正面，這是一個伯努利試驗．如將硬幣拋n次，就是n重伯努利試驗。又如拋一顆骰子，若A表示得到“1點”，表示得到“非l點”。將骰子拋n次，就是n重伯努利試驗。再如在袋中裝有a只白球，b只黑球。試驗E是在袋中任取一只球，觀察其顏色。以A表示“取到白球”，P(A)＝a／(a+b)。若連續(xù)取球n次作放回抽樣，這就是n重伯努利試驗。然而，若作不放回抽樣，各次試驗不再相互獨立，因而不再是n重伯努利試驗了。對于有限樣本空間，或者由可列個點構(gòu)成的樣本空間，我們只要知道每一個樣本點所構(gòu)成的基本事件的概率，便可了解整個樣本空間的統(tǒng)計規(guī)律性。但是對于由不可列個點構(gòu)成的樣本空間，我們不可能逐點去認(rèn)識它的統(tǒng)計規(guī)律性，即不可能把隨機(jī)變量X取每個實數(shù)的概率一一列舉，在實際中，我們感興趣的往往是隨機(jī)變量X取值于某個區(qū)間(a,b)的概率，或取值于若干個這種區(qū)間的概率，如測量誤差小于某個數(shù)的概率，壽命大于某個數(shù)的概率，雨量介于100毫米到120毫米之間的概率等等。需要引入連續(xù)型隨機(jī)變量來描述。3、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度1）、連續(xù)型隨機(jī)變量的概念與性質(zhì)(1)、定義如果對于隨機(jī)變量X，如果存在一個非負(fù)可積的函數(shù)f(x)，（-∞<x<+∞),使得對于任意兩個實數(shù)a,b(a<b)，都有則稱X

為連續(xù)型隨機(jī)變量，其中函數(shù)f(x)稱為X

的概率密度函數(shù),簡稱概率密度.（2）、概率密度函數(shù)的性質(zhì)對于連續(xù)性隨機(jī)變量X，X取任一指定實數(shù)值a的概率均為0，即P{X=a}=0。注意

：在計算連續(xù)型隨機(jī)變量落在某一區(qū)間的概率時，可以不必區(qū)分該區(qū)間是開區(qū)間或閉區(qū)間或半閉區(qū)間。例如有P{a<X≤b}＝P{a≤X≤b}=P{a<X<b}。這里，事件{X=a)并非不可能事件，但有P{X＝a}=0．這就是說，若A是不可能事件，則有P(A)=0；反之，若P(A)＝0，并不一定意味著A是不可能事件。以后當(dāng)我們提到一個隨機(jī)變量X的“概率分布”時，指的是它的分布函數(shù)；或者，當(dāng)X是連續(xù)型時指的是它的概率密度，當(dāng)X是離散型時指的是它的分布律。例2.1.

4設(shè)

X

是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為解：⑴由密度函數(shù)的性質(zhì)均勻分布若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為記作

X~U[a,b]密度函數(shù)的驗證類似地可以定義例2.1.

54、隨機(jī)變量的分布函數(shù)

1）定義

設(shè)X是一個隨機(jī)變量，x是任意實數(shù)，函數(shù)稱為

X的分布函數(shù)．對于任意的實數(shù)x1,x2(x1<x2)，有：x1

x2

xXo0xxX分布函數(shù)F(x)在x處的函數(shù)值就表示隨機(jī)變量X取值于區(qū)間（-∞，x]上的概率，如果已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x),那么隨機(jī)變量X取其它值的概率便可由此計算2）、分布函數(shù)的基本性質(zhì)（1）、0≤F(x)≤1（2）、F(x)是一個不減函數(shù)。

即對于任意實數(shù)x1,x2(x1<x2),有F(x1)≤F(x2);（3）、（4）、F(x)至多有可列個間斷點，并且在其間斷點處也是右連續(xù)的，即對于任何實數(shù)x，F(xiàn)(x+0)=F(x)分布函數(shù)基本性質(zhì)的證明⑴、F(x)是一個不減函數(shù)：

對于任意實數(shù)x1,x2(x1<x2),有

F(x1)≤F(x2);證：

F(X2)-F(X1)=P{X1＜X≤X2}≥0.⑵證：⑶、F(x)是右連續(xù)的。即F(x+0)=F(x)證：由于F(x)是不減函數(shù)，只須證明對于一列單調(diào)上升的數(shù)列x0>x1>x2>…>xn>…,xn→x成立

即可。因為離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)的計算

有了離散隨機(jī)變量的分布列，可以通過下式求得分布函數(shù)顯然這時F(x)是一個跳躍函數(shù)。設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為如右：求X的分布函數(shù).Xpk

-212解：當(dāng)x<-2

時，01xX2-2x例2.1.6x1X2-2xXpk

-212同理當(dāng)-2012x1-2012x1說明：分布函數(shù)F(x)在x=xk(k=1,2,…)處有跳躍，其跳躍值為

pk=P{X=xk}.Xpk

-212

對離散隨機(jī)變量的分布函數(shù)應(yīng)注意：

(1)F(x)是遞增的階梯函數(shù);

(2)其間斷點均為右連續(xù)的;(3)其間斷點（不連續(xù)點）即為X的可能取值點;(5)其間斷點的跳躍的幅度等于X在該點的概率值。.（4）離散型隨機(jī)變量X的概率集中在F(x)的某些孤立點上（即不連續(xù)點上），在連續(xù)點概率為零。離散型隨機(jī)變量的分布律與分布函數(shù)的關(guān)系：

例2.1.7

一個靶子是半徑為2米的圓盤，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正比，并設(shè)射擊都能中靶，以X表示彈著點與圓心的距離.試求隨機(jī)變量X的分布函數(shù).解：（1）若

x<0,則是不可能事件，于是（2）Xk是某一常數(shù)（3）若

,則是必然事件，于是01231F(x)x例2.1.8設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為解：由分布函數(shù)的性質(zhì):解方程組得解例2.1.9設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度⑴、確定常數(shù)k；

⑵、求X的分布函數(shù)F(x)；

⑶、求P{1<X≤7/2}。設(shè)X與Y同分布，X的密度為已知事件A={X>a}和B={Y>a}獨立，解:因為P(A)=P(B),P(AB)=P(A)+P(B)P(A)P(B)從中解得且P(AB)=3/4,求常數(shù)a.且由A、B獨立，得=2P(A)[P(A)]2=3/4從中解得:P(A)=1/2,由此得0<a<2,因此1/2=P(A)=P(X>a)例2.1.10例2.1.11設(shè)

X~求

F(x).解：均勻分布的分布函數(shù)例2.1.12設(shè)電阻值R是一個隨機(jī)變量，均勻分布在900～1100。求R的概率密度及R落在950～1050的概率。解按題意，R的概率密度為*連續(xù)型隨機(jī)變量的f(x)⊿x在概率中的含義

由概率密度f(x)的性質(zhì)，有

若不計高階無窮小，有:

P{x<X≤x+⊿x}≈f(x)⊿x這表示X落在小區(qū)間（x,x+⊿x]上的概率近似地等f(x)⊿x。注意點

(1)

(2)F(x)是(∞,+∞)上的連續(xù)函數(shù);(3)P(X=x)=F(x)F(x0)=0;(4)P{a<X≤b}=P{a<X<b}=P{a≤X<b}=P{a≤X≤b}=F(b)F(a).(5)當(dāng)F(x)在x點可導(dǎo)時,

p(x)=當(dāng)F(x)在x點不可導(dǎo)時,

可令p(x)=0.[注意}在計算連續(xù)型隨機(jī)變量落在某一區(qū)間的概率時，可以不必區(qū)分該區(qū)間是開區(qū)間或閉區(qū)間或半閉區(qū)間。例如有P{a<X≤b}＝P{a≤X≤b}=P{a<X<b>。在這里，事件{X=a)并非不可能事件，

但有P{X＝a}=0．這就是說，若A是不可能事件，則有P(A)=0；反之，若P(A)＝0，并不一定意味著A是不可能事件。以后當(dāng)我們提到一個隨機(jī)變量X的“概率分布”時，指的是它的分布函數(shù)；或者，當(dāng)X是連續(xù)型時指的是它的概率密度，當(dāng)X是離散型時指的是它的分布律。連續(xù)型密度函數(shù)

X~p(x)(不唯一

)2.4.P(X=a)=0離散型分布列:pn

=P(X=xn)

(唯一

)2.F(x)=

3.F(a+0)=F(a);P(a<Xb)=F(b)F(a).4.點點計較5.F(x)為階梯函數(shù)。

5.F(x)為連續(xù)函數(shù)。

F(a0)=F(a).F(a0)

F(a).二、隨機(jī)變量的函數(shù)的分布在實際中，我們常對某些隨機(jī)變量的函數(shù)更感興趣。例如，在一些試驗中，所關(guān)心的隨機(jī)變量往往不能由直接測量得到，而它卻是某個能直接測量的隨機(jī)變量的函數(shù)。比如我們能測量圓軸截面的直徑d，而關(guān)心的卻是截面面積A＝d2/4。這里，隨機(jī)變量A是隨機(jī)變量d的函數(shù)。我們將討論如何由已知的隨機(jī)變量X的概率分布去求得它的函數(shù)Y=g(X)(g(·)是已知的連續(xù)函數(shù))的概率分布。隨機(jī)變量的函數(shù)

若X是離散型隨機(jī)變量，其分布列為則Y=g(x)仍為離散型隨機(jī)變量，其分布列為yi有相同值時，要合并為一項，對應(yīng)的概率相加。Xy1=g(x1)y2=g(x2)…yn=g(xn)…pkp1p2…pn…Xx1x2…xn…pkp1p2…pn…1、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例2.2.1

設(shè)隨機(jī)變量

X

具有以下的分布律，試求Y=(X-1)2

的分布律.pkX-10120.20.30.10.4

解:

Y的所有可能取值為:0，1，4.且Y=0對應(yīng)于(X-1)2=0，解得X=1，例2.2.2所以,P{Y=0}=P{X=1}=0.1,同理,P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.3+0.4=0.7,P{Y=4}=P{X=-1}=0.2,所以，Y=(X-1)2的分布律為：pkY0140.10.70.2例2.2.32、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布1）、分布函數(shù)法：先求Y=g(X)的分布函數(shù)設(shè)隨機(jī)變量X

具有概率密度：試求Y=X-4

的概率密度.解：(1)、先求Y=X-4

的分布函數(shù)

FY(y)：例2.2.4

整理得Y=X-4

的概率密度為：本例用到變限的定積分的求導(dǎo)公式例2.2.5設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度求：隨機(jī)變量Y=2X+8的概率密度。例2.2.6、設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度fX(x),-∞<x<∞,求Y=X2的概率密度。例2.2.7

設(shè)X~求Y=eX的分布.y=ex

單調(diào)可導(dǎo),反函數(shù)x=h(y)=lny,所以當(dāng)y>0時,由此得解：小結(jié)：1一般情形下求隨機(jī)變量函數(shù)的分布。2在函數(shù)變換嚴(yán)格單調(diào)時利用定理求隨機(jī)變量函數(shù)的分布。重點：掌握一般情形下求隨機(jī)變量函數(shù)分布的方法：先求分布函數(shù)，再求導(dǎo)，求隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度。討論隨機(jī)變量的數(shù)字特征的意義

前面討論了隨機(jī)變量的分布函數(shù)，我們看到分布函數(shù)能夠完整地描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計特性。但在一些實際問題中，不需要去全面考察隨機(jī)變量的變化情況，而只需知道隨機(jī)變量的某些特征，因而并不需要求出它的分布函數(shù)。例如，在評定某一地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時，在許多場合只要知道該地區(qū)的平均產(chǎn)量；又如在研究水稻品種優(yōu)劣時，時常是關(guān)心稻穗的平均稻谷粒數(shù)；再如檢查一批棉花的質(zhì)量時，既需要注意纖維的平均長度，又需要注意纖維長度與平均長度的偏離程度，平均長度較大、偏離程度較小，質(zhì)量就較好。從上面的例子看到，與隨機(jī)變量有關(guān)的某些數(shù)值，雖然不能完整地描述隨機(jī)變量，但能描述隨機(jī)變量在某些方面的重要特征。這些數(shù)字特征在理論和實踐上都具有重要的意義。下面將介紹隨機(jī)變量的常用數(shù)字特征：數(shù)學(xué)期望、方差、和矩．例：有甲、乙兩個射手，他們的射擊技術(shù)用下表表出：甲射手擊中環(huán)數(shù)8910概率0.30.10.6

乙射手擊中環(huán)數(shù)8910概率0.20.50.3試問哪個射手本領(lǐng)較好？三、隨機(jī)變量的數(shù)字特征解：設(shè)兩個選手各射N槍，則有甲：8×0.3N＋9×0.1N＋10×0.6N=9.3N

乙：8×0.2N＋9×0.5N＋10×0.3N=9.1N平均甲射中9.3環(huán)，乙射中9.1環(huán)，因此甲射手的本領(lǐng)好些。1、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布率為若級數(shù)絕對收斂，則稱的和為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望（或均值），記為EX。即數(shù)學(xué)期望也稱為均值。

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為，

若積分絕對收斂，則稱積分的值為X的數(shù)學(xué)期望。記為2、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望例2.3.1若現(xiàn)從中任抽一名考生，其成績用X表示，則X為隨機(jī)變量，分布律為：顯然：例2.3.2設(shè)離散型隨機(jī)變量X

的分布律為：X012P0.10.20.7設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為：X012P0.70.20.1例2.3.3按規(guī)定，火車站每天8:00~9:00,9:00~10:00都恰有一輛客車到站，但到站的時刻是隨機(jī)的，且兩者到站的時間相互獨立，其規(guī)律為：到站時間8:10,9:108:30,9:308:50,9:50

概率1/63/62/6(1)旅客8:00到站，求他侯車時間的數(shù)學(xué)期望。(2)旅客8:20到站，求他侯車時間的數(shù)學(xué)期望。12解：X

10

30

50P1/63/62/6(1)

旅客8：00到達(dá)X的分布率為設(shè)旅客的候車時間為X（以分記）

（2）旅客8：20到達(dá)X的分布率為

P3/62/6(1/6)(1/6)(3/6)(1/6)(2/6)(1/6)X1030507090由于第一輛車沒到而必須要等第二輛車，不僅要考慮第二輛車到的概率，同時也要考慮第一輛車沒到的概率例2.3.4：隨機(jī)變量X取值求數(shù)學(xué)期望。例2.3.5：設(shè)X～U(a,b),求E(X)。例2.3.6：由兩個相互獨立工作的電子裝置，它們的壽命Xk(k=1,2)服從同一指數(shù)分布，其概率密度為若將這兩個電子裝置串聯(lián)連接組成整機(jī)，求整機(jī)壽命（以小時計）N的數(shù)學(xué)期望。3、數(shù)學(xué)期望性質(zhì)及其證明例2.3.7一民航送客載有20位旅客自機(jī)場開出，旅客有10個車站可以下車，如到達(dá)一個車站沒有旅客下車就不停車。以X表示停車的次數(shù)。求EX（設(shè)每個旅客在各個車站下車是等可能的，并設(shè)各旅客是否下車相互獨立）。解：4、隨機(jī)變量的函數(shù)Y=g(X)的數(shù)學(xué)期望例2.3.8

設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為求E(X2+2).=(02+2)×1/2+(12+2)×1/4+(22+2)×1/4=1+3/4+6/4=13/4解:E(X2+2)X012P1/21/41/4例2.3.9設(shè)X~

求下列X

的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.(1)2X1,(2)(X

2)2解:(1)、E(2X

1)=1/3,(2)、

E(X

2)2=11/6.5、方差隨機(jī)變量X的方差與數(shù)學(xué)期望有如下關(guān)系：

D(X)=E(X2)-[E(X)]2注：方差是一個非負(fù)常數(shù)，描述了隨機(jī)變量的所有取值的分散程度。例2.3.106、方差的性質(zhì)及其證明例2.3.11

,求E(X),Var(X).解:(1)E(X)==1(2)E(X2)==7/6所以,Var(X)=E(X2)[E(X)2]=7/61=1/6設(shè)X~(2)稱注意點X

=

(X)=(1)

方差反映了隨機(jī)變量相對其均值的偏離程度.

方差越大,則隨機(jī)變量的取值越分散.為X的標(biāo)準(zhǔn)差.標(biāo)準(zhǔn)差的量綱與隨機(jī)變量的量綱相同.矩的概念隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化

設(shè)Var(X)>0,令則有E(Y)=0,Var(Y)=1.稱Y為X

的標(biāo)準(zhǔn)化.1、二項分布X為n重伯努里試驗中“成功”的次數(shù),如果隨機(jī)變量X的分布律為四、幾種重要的離散分布

考慮n重伯努里試驗中，事件A恰出現(xiàn)k次的概率。以X表示n重伯努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，X是一個隨機(jī)變量，我們來求它的分布律。X所有可能取的值為o，1，2，…，n．由于各次試驗是相互獨立的，故在n次試驗中，事件A發(fā)生k次的概率伯努利試驗與二項分布二項分布的最可能值二項分布的分布率先是隨著

k的增大而增大，達(dá)到其最大值后再隨著k的增大而減少．這個使得例2.4.1：按規(guī)定，某種型號電子元件的使用壽命超過1500小時的為一級品。已知某一大批產(chǎn)品的一級品率為0．2，現(xiàn)在從中隨機(jī)地抽查20只。問20只元件中恰有k只(k=0，，…，20)為一級品的概率是多少?

解這是不放回抽樣。但由于這批元件的總數(shù)很大，且抽查的元件的數(shù)量相對于元件的總數(shù)來說又很小，因而可以當(dāng)作放回抽樣來處理，這樣做會有一些誤差，但誤差不大。我們將檢查一只元件看它是否為一級品看成是一次試驗，檢查20只元件相當(dāng)于做20重伯努利試驗。以X記20只元件中一級品的只數(shù)，那么，X是一個隨機(jī)變量，且有X～b(20，0．2)。即得所求概率為例2.4.2：某人進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊的命中率為0.02，獨立射擊400次，試求至少擊中兩次的概率。解：將一次射擊看成是一次試驗．設(shè)擊中的次數(shù)為X，則X～b(400，0．02)。X的分布律為例2.4.3一大批產(chǎn)品的次品率為0.1，現(xiàn)按重復(fù)抽樣方式從中取出15件．試求下列事件的概率：

B={取出的15件產(chǎn)品中恰有2件次品}

C={取出的15件產(chǎn)品中至少有2件次品}

由于從一大批產(chǎn)品中按重復(fù)抽樣方式取15件產(chǎn)品，故可看作是一15重Bernoulli試驗．解：所以，例2.4.4一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個可能答案，其中只有一個答案是正確的．某學(xué)生靠猜測能答對4道題以上的概率是多少？則答5道題相當(dāng)于做5重Bernoulli試驗．解：每答一道題相當(dāng)于做一次Bernoulli試驗，所以例2.4.5對同一目標(biāo)進(jìn)行300次獨立射擊，設(shè)每次射擊時的命中率均為0.44，試求300次射擊最可能命中幾次？其相應(yīng)的概率是多少？

則由題意解：對目標(biāo)進(jìn)行300次射擊相當(dāng)于做300重Bernoulli

試驗．令：因此，最可能射擊的命中次數(shù)為其相應(yīng)的概率為二項分布的數(shù)學(xué)期望。

二項分布b(n,p)的方差=np(1p)

易知，P{X=k)≥0，k=0，1，2，…，且有2、泊松(Poisson)

分布如果隨機(jī)變量X

的分布律為

則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的Poisson

分布．分布律的驗證⑴由于可知對任意的自然數(shù)k，有⑵又由冪級數(shù)的展開式，可知所以是分布律．退出泊松定理定理:(二項分布的泊松近似)在n重伯努里試驗中，記pn

為一次試驗中成功的概率.若npn

，則在應(yīng)用中，當(dāng)p相當(dāng)?。ㄒ话惝?dāng)p≤0.1)時，我們用下面近似公式

把隨機(jī)現(xiàn)象中事件的發(fā)生看作“流”的時候，如果事件流滿足：(1)平穩(wěn)性。即流的發(fā)生次數(shù)只與時間間隔⊿t的長短有關(guān)，而與初始時刻無關(guān)；<2)無后效性。即任一時間t0前流的發(fā)生與t0后流的發(fā)生無關(guān)；(3)普通性。即當(dāng)時間間隔⊿t很小時，流至多發(fā)生一次。則“流”稱為泊松流，其概率分布服從泊松分布。什么樣的隨機(jī)現(xiàn)象服從泊松分布？

如商店里等待服務(wù)的顧客數(shù)，電話交換臺的呼喚數(shù)，火車站的乘客數(shù)，鑄件的氣孔數(shù)，棉布的疵點數(shù)，田地里一定面積上的雜草數(shù)，房間里單位面積上的塵埃數(shù)，等等，都屬于普阿松分布的隨機(jī)變量。泊松分布被稱為空間散布點子的幾何模型。如果隨機(jī)變量X

的分布律為試確定未知常數(shù)c.例2.4.7由分布率的性質(zhì)有解：例2.4.8設(shè)隨機(jī)變量X

服從參數(shù)為λ的Poisson分布，且已知解：隨機(jī)變量X

的分布律為由已知得由此得方程得解所以，泊松分布的數(shù)學(xué)期望。

泊松分布P()的方差=3、超幾何分布如果隨機(jī)變量X的分布律為N個產(chǎn)品中有M個不合格品，超幾何分布對應(yīng)于不返回抽樣模型

：

從中抽取n個，不合格品的個數(shù)為X.

超幾何分布、二項分布和泊松分布都是重要的離散型隨機(jī)變量的概率分布。有時，他們的概率計算會十分繁冗。當(dāng)試驗次數(shù)n很大時，可以推導(dǎo)出這三個分布間有一種近似關(guān)系式

這里，第一個等式要求n很大，且n/N較小，取p=M/N即成立。第二個等式要求n很大時成立。實際使用時，n≥20即可，當(dāng)n≥50時，效果更好。而泊松分布可通過查表計算，比較簡單。超幾何分布、二項分布和泊松分布之間的關(guān)系超幾何分布的概率背景:(不重復(fù)抽樣）

一批產(chǎn)品有

N件，其中有M

件次品，其余N-M

件為正品．現(xiàn)從中取出

n

件．令X：取出n

件產(chǎn)品中的次品數(shù)．則X的分布律為記為X~Ge(p)

X為獨立重復(fù)的伯努里試驗中，“首次成功”時的試驗次數(shù).

幾何分布具有無記憶性，即：

P(X>m+n|X>m)=P(X>n)幾何分布幾何分布的無記憶性

在貝努利試驗中，等待首次成功的時間服從幾何分布。現(xiàn)在假定已知在前m次試驗中沒有出現(xiàn)成功，那么為了達(dá)到首次成功所再需要的等待時間′也還是服從幾何分布，與前面的失敗次數(shù)m無關(guān)，形象化地說，就是把過去的經(jīng)歷完全忘記了。因此無記憶性是幾何分布所具有的一個有趣的性質(zhì)。但是更加有趣的是，在離散型分布中，也只有幾何分布才具有這樣一種特殊的性質(zhì)。

若是取正整數(shù)值的隨機(jī)變量，并且，在已知>k的條件下，=k+1的概率與k無關(guān)，那么服從幾何分布。什么樣的隨機(jī)現(xiàn)象服從幾何分布？幾何分布的數(shù)學(xué)期望。

幾何分布Ge(p)的方差=(1p)/p2五、幾種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量分布1、指數(shù)分布如果隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為指數(shù)分布的分布函數(shù)

指數(shù)分布Exp()期望:E(X)=1/

指數(shù)分布Exp()的方差=1/2指數(shù)分布的無記憶性

這一性質(zhì)稱為指數(shù)分布的無記憶性。事實上可以證明指數(shù)分布是唯一具有上述性質(zhì)的連續(xù)型分布。例2.5.1一種電子元件的使用壽命X（單位：小時）服從參數(shù)為10的指數(shù)分布，求其中一個的使用壽命在10到20小時的概率。令：B={使用為10~20小時}2、正態(tài)分布xf(x)0是位置參數(shù).

是尺度參數(shù).正態(tài)分布分布函數(shù)圖示正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形性質(zhì)xf(x)00xf(x)x0f(x)x0f(x)p(x)x0xx

顯然(-x)=1-(x)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布正態(tài)分布的計算：（1）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的計算：若X~N(0,1),則

(1)P(X

a)=(a);(2)P(X>a)=1(a);(3)P(a<X<b)=(b)(a);(4)若a0,則

P(|X|<a)=P(a<X<a)=(a)(a)

=(a)[1

(a)]=2(a)1

例2.5.2設(shè)X~N(0,1),求

P(X>1.96),P(|X|<1.96)=1(1.96)=1(1(1.96))=0.975(查表得)=2(1.96)1=0.95=(1.96)解:P(X>1.96)P(|X|<1.96)=20.9751

設(shè)X~N(0,1),P(X

b)=0.9515,

P(X

a)=0.04947,求a,b.解:

(b)=0.9515>1/2,

所以b>0,

反查