時(shí)間最優(yōu)控制

極小值原理的應(yīng)用：時(shí)間，燃料最優(yōu)控制問(wèn)題目錄一.Bang-Bang控制原理二.線性定常系統(tǒng)的時(shí)間最優(yōu)控制三.燃料最優(yōu)控制四.時(shí)間-燃料最優(yōu)控制五.習(xí)題六.總結(jié)

時(shí)間最優(yōu)控制

時(shí)間最優(yōu)控制問(wèn)題，是可以運(yùn)用極小值求解的一個(gè)常見(jiàn)的工程實(shí)際問(wèn)題。如果把系統(tǒng)由初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到目標(biāo)集的時(shí)間作為性能指標(biāo)，則使轉(zhuǎn)移時(shí)間為最短的控制稱(chēng)為最短時(shí)間控制，亦稱(chēng)最速控制。一、Bang-Bang控制原理1.移動(dòng)目標(biāo)集的時(shí)間最優(yōu)控制問(wèn)題已知受控系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：尋找滿足不等式約束的r維容許控制向量u(t),使系統(tǒng)從初始狀態(tài)出發(fā)，在末態(tài)時(shí)刻，首次達(dá)到目標(biāo)集其中g(shù)是p維向量函數(shù),且使最小值的最優(yōu)控制u(t).

上述問(wèn)題用極小值原理求解，構(gòu)造哈密頓函數(shù)為：

規(guī)范方程、邊界及橫截條件分別為:極值條件為：可得式中sgn(*)為符號(hào)函數(shù)，令則最優(yōu)控制分量應(yīng)取在最優(yōu)軌線末端，哈密頓函數(shù)應(yīng)滿足由以上條件知：若,則可以運(yùn)用極小值原理確定，此時(shí)稱(chēng)為正常情況。若不確定，可取滿足約束條件的任意值，此時(shí)稱(chēng)為奇異情況。2.正常和奇異控制問(wèn)題設(shè)在區(qū)間內(nèi)，存在時(shí)間可數(shù)集合，使有在時(shí)間最優(yōu)控制是正常的在區(qū)間，至少存在一個(gè)子區(qū)間，使得對(duì)所有，至少有一個(gè)函數(shù)則時(shí)間最優(yōu)控制是奇異的，稱(chēng)為奇異區(qū)間。3.Bang-Bang控制原理設(shè)u*(t)是上述問(wèn)題的時(shí)間最優(yōu)控制，x*(t)和是相應(yīng)的狀態(tài)向量和協(xié)態(tài)向量。若問(wèn)題正常，則最優(yōu)控制為：定理表明，每個(gè)控制分量恰好在自己的兩個(gè)邊界值之間來(lái)回切換，滿足的各個(gè)點(diǎn)正好是切換點(diǎn)。這是一種繼電型控制或開(kāi)關(guān)控制，故有邦-邦控制之稱(chēng)。線性定常系統(tǒng)的時(shí)間最優(yōu)控制設(shè)線性定常系統(tǒng)是完全可控的，求滿足下列約束的容許控制向量u(t)：使系統(tǒng)從已知狀態(tài)x(0)=x0轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間原點(diǎn)x(tf)=0的時(shí)間最短，性能指標(biāo)為在解決上述問(wèn)題之前，應(yīng)該先判斷它是否正常。定理1令式中，當(dāng)且僅當(dāng)m個(gè)矩陣中，至少有一個(gè)是奇異矩陣時(shí)，它則是奇異的。定理2當(dāng)且僅當(dāng)式中，上述問(wèn)題是正常的。定理3若上述系統(tǒng)是正常的，且時(shí)間最優(yōu)控制存在，則最優(yōu)控制必定唯一。定理4有限切換（開(kāi)關(guān)次數(shù)）定理設(shè)線性定常系統(tǒng)是正常的，nxn系統(tǒng)矩陣A的全部特征值均為實(shí)數(shù)，時(shí)間最優(yōu)控制存在，其分量為。令表示的切換時(shí)刻，則在兩個(gè)邊界值之間的切換次數(shù)N≦n-1.(n為系統(tǒng)的維數(shù)）定理5當(dāng)系統(tǒng)正常是，存在最優(yōu)解的必要條件為：正則方程

式中哈密頓函數(shù)為邊界條件

極小值條件若A有全部實(shí)特征值，則的切換次數(shù)為N≦n-1.H函數(shù)變化率燃料最優(yōu)控制

在工程實(shí)際中，常常需要考慮是控制過(guò)程中所消耗的能量最小。此時(shí)控制作用表現(xiàn)為推力或力矩的大小和方向。若以非負(fù)量表示燃料的瞬時(shí)消耗率，則控制過(guò)程中所消耗的的燃料總量為,僅考慮如下形式的關(guān)系：式中是m維控制向量u(t)的第j個(gè)分量，CJ為比例系數(shù)，稱(chēng)為比耗。為了保證控制過(guò)程中最省燃料，選擇燃料消耗總量作為性能指標(biāo)二次積分模型的狀態(tài)方程：求滿足約束條件的最優(yōu)控制，是系統(tǒng)有任意初態(tài)，轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間原點(diǎn)（0.0）且使性能指標(biāo)為最小。設(shè)末端時(shí)刻tf自由。正則方程，哈密頓函數(shù)則有邊界條件極小值條件函數(shù)變化律H函數(shù)的最優(yōu)控制取極小值時(shí)，等價(jià)于函數(shù)對(duì)最優(yōu)控制取極小值。引入死區(qū)函數(shù)記號(hào)dez,其意義為a=dez,表示為以及由以上關(guān)系能否完全確定，取決于函數(shù)的性質(zhì)。與時(shí)間最優(yōu)控制問(wèn)題類(lèi)似，也可以分為正常與奇異兩種情況：若在時(shí)間區(qū)間[0,tf]內(nèi)，值在有限點(diǎn)成立，則屬正常情況，最優(yōu)控制可取-1、0、+1三個(gè)值，隨時(shí)間的增長(zhǎng)，在這三個(gè)值上轉(zhuǎn)換，稱(chēng)為三位控制或開(kāi)關(guān)控制。若至少存在一段時(shí)間間隔，在其上有則問(wèn)題屬于奇異情況。對(duì)協(xié)態(tài)方程積分可得：式中為協(xié)態(tài)初始條件。根據(jù)的數(shù)值情況，為奇異控制或?yàn)檎？刂?（1）奇異情況若為滿足,應(yīng)有。此時(shí)，只能決定的符號(hào)，而無(wú)法確定其數(shù)值。（2）正常情況若，則是時(shí)間t的線性函數(shù)。這是，至多在兩個(gè)孤立的時(shí)刻成立，因而燃料最優(yōu)控制函數(shù)是正常的，為三位控制，且最多有兩次切換。對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行相平面分析，當(dāng)u=+1和u=-1時(shí)，系統(tǒng)由初態(tài)轉(zhuǎn)移到坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條軌線為,如下圖所示，點(diǎn)集表達(dá)式為：

A.初始點(diǎn)在上,為唯一最優(yōu)控制。B.初始點(diǎn)在上,為唯一最優(yōu)控制。C.初始點(diǎn)在R4區(qū),u(t)有無(wú)窮多組解,但u=[01]所用時(shí)間最短.初始點(diǎn)在R2區(qū),u(t)有無(wú)窮多組解,但u=[0-1]所用時(shí)間最短.D.初始點(diǎn)在R1，R3區(qū),u(t)無(wú)解,但存在一個(gè)燃料最優(yōu)問(wèn)題.綜上所述，燃料最優(yōu)控制律：時(shí)間-燃料最優(yōu)問(wèn)題

單純以節(jié)省燃料為目標(biāo)的燃料最優(yōu)控制問(wèn)題，往往使得系統(tǒng)的響應(yīng)太慢，不滿足實(shí)際的使用要求。若將縮短時(shí)間與節(jié)省燃料加以綜合考慮，設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)既能節(jié)約燃料又不至于響應(yīng)緩慢，因而產(chǎn)生了時(shí)間-燃料最優(yōu)控制問(wèn)題。一種好的處理方法是在燃料最優(yōu)控制性能指標(biāo)中增加時(shí)間的加權(quán)項(xiàng)，得到式中，為時(shí)間加權(quán)系數(shù)，表示設(shè)計(jì)者對(duì)響應(yīng)時(shí)間的重視程度。若取，表示不計(jì)時(shí)間長(zhǎng)短，只考慮節(jié)省燃料。若取，表示不計(jì)燃料消耗，只求時(shí)間最短。已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程求滿足下列約束條件：的最優(yōu)控制u*(t)，使系統(tǒng)由任意初態(tài)轉(zhuǎn)移到空間原點(diǎn)（0,0），且使性能指標(biāo)為最小。設(shè)末端時(shí)刻tf自由。令哈密頓函數(shù)與上節(jié)類(lèi)似，由極小值條件可得根據(jù)協(xié)態(tài)方程假定初始協(xié)態(tài)為，解得

最優(yōu)軌線應(yīng)滿足通過(guò)分析，如下六種控制序列為候選最優(yōu)控制序列{+1}，{-1}，{+1}，{0，+1}，{0，-1}，{+1,0,-1}，{-1,0,+1}，通過(guò)相平面法討論得相軌跡圖如下：除為開(kāi)關(guān)曲線外,也為開(kāi)關(guān)曲線.是u由-1切到0的開(kāi)關(guān)曲線,且有整個(gè)相平面分成4個(gè)區(qū)域,且起于各區(qū)初始狀態(tài)的相應(yīng)控制為：可得時(shí)間-燃料最優(yōu)控制律為：例題

設(shè)人造衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)方程為：控制約束要求確定，使性能指標(biāo)極小，并求出切換時(shí)間ts和最短時(shí)間構(gòu)造哈密頓函數(shù)：最優(yōu)控制由協(xié)態(tài)方程解得因?yàn)閰f(xié)態(tài)向量為非零向量，故不能同時(shí)為零。根據(jù)的不同組合，的可能形狀如下圖所示。因而候選控制序列為：{+1}，{-1}，{+1，-1}，{-1，+1}，令，由狀態(tài)方程有消去t得軌跡方程為：滿足末態(tài)相軌跡為：曲線和組合成曲線，表達(dá)式為曲線將相平面分割為兩個(gè)區(qū)域。作為狀態(tài)集合，可表示為：相軌跡圖為：相平面上的開(kāi)關(guān)曲線對(duì)于一般的二次積分模型的時(shí)間最優(yōu)控制問(wèn)題，其最優(yōu)控制律為：本例，故最優(yōu)控制律為了具體求出切換時(shí)間ts,需要求解最優(yōu)軌線方程。

總結(jié)

最短時(shí)間控制系統(tǒng)，是依據(jù)所謂砰-砰原理構(gòu)成的，它只有+1和-1兩種工作狀態(tài)。最少燃料控制問(wèn)題，其哈密爾頓函數(shù)對(duì)控制u(t)及其是一次的。它包含+1,0，-1三種工作狀態(tài)。和最短時(shí)間控制系統(tǒng)相比，最少燃料控制系統(tǒng)的最大特點(diǎn)，是多了一個(gè)u=0的控制方式，這意味著在工作過(guò)程的某些階段，可以借助于系統(tǒng)中積存的能量來(lái)維持工作，不用消耗燃料