概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)2-1

第二章隨機(jī)變量及其分布第一節(jié)隨機(jī)變量及其分布

一、隨機(jī)變量的概念與分類在實(shí)際問題中，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用數(shù)量來表示，由此就產(chǎn)生了隨機(jī)變量的概念.(1)、有些試驗(yàn)結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身就是一個(gè)數(shù)）.

例如:擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)X；七月份桂林的最低與最高溫度(X,Y)每天從天津站下火車的人數(shù)N；昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)N；每天進(jìn)入某超市的顧客數(shù)X;購買商品的件數(shù)Y;顧客排隊(duì)等候付款的時(shí)間T等等.(2)、在有些試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果看起來與數(shù)值無關(guān)，但我們可以引進(jìn)一個(gè)變量來表示它的各種結(jié)果.也就是說，把試驗(yàn)結(jié)果數(shù)值化.如檢測(cè)一件產(chǎn)品可能出現(xiàn)的兩個(gè)結(jié)果,可以用一個(gè)離散變量來描述想一想,檢測(cè)三件產(chǎn)品時(shí),若X＝“三件產(chǎn)品中的次品數(shù)”,X與樣本點(diǎn)之間的關(guān)系、取值時(shí)表示的事件及各取值時(shí)的概率如何?正如裁判員在運(yùn)動(dòng)場(chǎng)上不叫運(yùn)動(dòng)員的名字而叫號(hào)碼一樣，二者建立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系.

Problem:這種實(shí)值函數(shù)與數(shù)學(xué)分析中的函數(shù)一樣嗎？這種對(duì)應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種實(shí)值函數(shù).ω.X(ω)R這種對(duì)應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種實(shí)值函數(shù).ω.X(ω)R①它是試驗(yàn)結(jié)果ω的函數(shù)，故X(ω)的定義域?yàn)闃颖究臻gΩ.又由于ω的隨機(jī)性，因此每次試驗(yàn)前不能預(yù)先肯定X(ω)將取哪個(gè)值，而只能知道它的取值范圍.②由于試驗(yàn)結(jié)果ω的出現(xiàn)具有一定的概率，于是X(ω)取每個(gè)值或每個(gè)確定范圍內(nèi)的值也有一定的概率.設(shè)是試驗(yàn)E的樣本空間,若則稱

X()為上的隨機(jī)變量r.v.一般用大寫字母X,Y,Z,表示1、定義按一定法則簡記為r.v.X(randomvariable)而表示隨機(jī)變量所取的值時(shí),一般采用小寫字母x,y,z等表示.引入隨機(jī)變量后，能否直接用實(shí)數(shù)表示隨機(jī)事件？{

X

=

1

}表示事件{

點(diǎn)數(shù)為

1}，例，擲骰子試驗(yàn)中，{

X

<

4

}表示事件{

點(diǎn)數(shù)不超過

3}，用隨機(jī)變量的取值或取值范圍來表示隨機(jī)事件再如，明年七月份桂林的最高溫度；{

35<

T42}表示事件{

最高溫度大于350，但不超過420}例如，從某一學(xué)校隨機(jī)選一學(xué)生，測(cè)量他的身高.我們可以把可能的身高看作隨機(jī)變量

X

,然后我們可以提出關(guān)于X的各種問題.如

P(X

>

1.7

)=？P(X

≤1.5

)=?P(1.5<X<1.7)

=?注：隨機(jī)變量的引入，可簡化事件的表達(dá).對(duì)事件的研究，就轉(zhuǎn)化為對(duì)隨機(jī)變量的研究.也可以說,隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象,而隨機(jī)變量則是一種動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn),在試驗(yàn)之前只知道

X

可能取值的范圍，而不能預(yù)先肯定它將取哪個(gè)值.它的取值與試驗(yàn)結(jié)果形成對(duì)應(yīng)，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究，就由對(duì)單個(gè)事件及其概率的研究擴(kuò)大為對(duì)隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究.隨機(jī)事件這個(gè)概念實(shí)際上是包容在隨機(jī)變量這個(gè)更廣的概念內(nèi).隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件.引入隨機(jī)變量后，隨機(jī)試驗(yàn)中的任一隨機(jī)事件就可以通過隨機(jī)變量的取值關(guān)系式表達(dá)出來，

(1)

隨機(jī)變量

X

是定義在樣本空間上的實(shí)值函數(shù)，

(2)由于試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率，引入隨機(jī)變量的意義?

X

的取值情況;

它取值的概率的分布情況.

隨著實(shí)驗(yàn)結(jié)果的不同而取不同的值，就象數(shù)學(xué)分析中常量與變量的區(qū)別那樣.以函數(shù)為工具研究隨機(jī)事件的概率規(guī)律通過將隨機(jī)事件數(shù)值化轉(zhuǎn)化為研究隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律

使概率可轉(zhuǎn)化為我們所熟知的函數(shù)形式

分析工具有了用武之地如何使概率問題轉(zhuǎn)化為實(shí)變量的函數(shù)形式？

所以隨機(jī)變量取每個(gè)值和每個(gè)確定范圍內(nèi)的值也有一定的概率.如何把握一個(gè)隨機(jī)變量

X?

P

PPP我們研究的對(duì)象是的概率如何入手將概率問題轉(zhuǎn)化為實(shí)變量的函數(shù)形式？(

X

=

x

),(

X

x

),(

X

>

x

),

(

x1

X

x2

),…我們研究的對(duì)象是隨機(jī)事件的概率隨機(jī)變量的取值或取值范圍由此引進(jìn)了分布函數(shù)的概念：能否選用一個(gè)事件將所有事件都表達(dá)出來？

(

X

x

)

A

(

X

x

)

X()P(

)

P本質(zhì)是什么？

P

這種選擇并不是唯一的

函數(shù)變量？

將X看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，分布函數(shù)F(x)的值就表示X落在區(qū)間(-,x]的概率.二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)1.定義2.1.2設(shè)X是隨機(jī)變量，為X的分布函數(shù).在上式中

X,x

皆為變量，二者有什么區(qū)別？X是隨機(jī)變量，x是自變量.

xF

(

x

)

起什么作用？稱隨機(jī)點(diǎn)落在任意區(qū)間(a,

b

]的概率分布函數(shù)是一個(gè)普通的函數(shù),通過它,我們就可以用分析的工具來研究隨機(jī)變量的取值規(guī)律特殊形式事件的概率請(qǐng)看下例：分布函數(shù)是對(duì)各類隨機(jī)變量以及其概率問題的一個(gè)統(tǒng)一的描述方法.P

P

P解

求X的分布函數(shù)

F(x)和概率P(0<

X

1),

P(X

>

2).

當(dāng)x

<

0

時(shí)，故X的分布函數(shù)為=P()=0，當(dāng)0

x

<

1時(shí)，=P(X

=

0)=1/2，當(dāng)x

1

時(shí)，=P({X

=

1}∪{X

=0})=P(X

=

1)+

P(X

=0)

=1.P(0

<

X

1)P(X

>

2)=F(1)-F(0)=1–1/2

=1-

F(2)=1-1=0.且1/2；

.0

1X

F。1

.

。1/2擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,觀察出現(xiàn)的是正面還是反面,例注意到X的所有可能取值為

0

和

1，.

.

0

1

xF(x)=P(X

x)]x

F(x)=P(X

x)F(x)=P(X

x)2、分布函數(shù)的性質(zhì)(1)(單調(diào)性)F(x)單調(diào)不減，即且(3)(右連續(xù)性)

F(x)是右連續(xù)函數(shù),即對(duì)任意的x有(2)(有界性)

注:可以證明F(x)為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)的充要條件是F(x)具有以上三個(gè)性質(zhì).3、用分布函數(shù)計(jì)算概率的公式特別地,若F(x)在某點(diǎn)x=a連續(xù)時(shí),有請(qǐng)?zhí)羁兆?由于X的分布函數(shù)刻畫了X取值的概率規(guī)律，因此常說X服從F(x),記為X~F(x)

例3如下的反正切函數(shù)滿足分布函數(shù)的三個(gè)性質(zhì),故為某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù),稱之為柯西(Cauchy)分布函數(shù).若r.v.X服從柯西分布,求例4已知X的分布函數(shù)為求常數(shù)A和P(X≤0)及P(0<X≤2).2、隨機(jī)變量的分類

通常分為兩類：如“取到次品的個(gè)數(shù)”;“110每天收到的呼叫次數(shù)”等.隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量所有取值可以逐個(gè)一一列舉例如，“電視機(jī)的壽命”;實(shí)際中常遇到的“測(cè)量誤差”等.全部可能取值不僅無窮多，而且還不能一一列舉，而是充滿一個(gè)區(qū)間.非離散型隨機(jī)變量

其中一種重要的類型為連續(xù)型隨機(jī)變量.

三、離散型隨機(jī)變量及其分布列

1、定義設(shè)離散型隨機(jī)變量X所有可能取值為，稱

為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列或分布列（分布律）.記為注:離散型隨機(jī)變量的分布列也被稱做分布一般地,離散型隨機(jī)變量的分布列用以下方法表示或（2）列表法：P(1）公式法：2、表示方法

從盒中任取3個(gè)球取到的白球數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量X可能取的值是0,1,2X取每個(gè)值的概率為例所以X的分布列為（1）列表法：(2）公式法~則(k=1,2,…)滿足：

k=1,2,…（1）（2）注:這兩條性質(zhì)是判斷某個(gè)數(shù)列是否是一個(gè)概率分布列的充要條件3、分布列的基本性質(zhì)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為非負(fù)性正則性P59一批產(chǎn)品的次品率為p,現(xiàn)檢測(cè)三件產(chǎn)品,若X=“三個(gè)產(chǎn)品中的次品數(shù)”,試寫出X的概率分布.解:依據(jù)概率分布的性質(zhì):P(X=k)≥0,

a≥0從中解得欲使上述函數(shù)為概率分布應(yīng)有例6.設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為：k=0,1,2,…,試確定常數(shù)a.4、分布列與分布函數(shù)的關(guān)系其中

相鄰。設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為則

從盒中任取3個(gè)球取到的白球數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量X可能取的值是0,1,2前面例，由例5（1）,X的分布列為~求X的分布函數(shù)F(x),并求注:離散型r.v.X的分布函數(shù)的圖形為右連續(xù)的階梯形.在X的可能取值處發(fā)生間斷,間斷點(diǎn)為第一類跳躍間斷點(diǎn),在間斷點(diǎn)處有躍度pk

.

離散型r.v.分布函數(shù)F(x)是一個(gè)右連續(xù)的階梯函數(shù),在x=xk(k=1,2…)處有跳躍值pk=P{X=xk},如下圖連續(xù)型隨機(jī)變量X所有可能取值充滿一個(gè)區(qū)間,對(duì)這種類型的隨機(jī)變量,不能象離散型隨機(jī)變量那樣,以指定它取每個(gè)值概率的方式,去給出其概率分布,而是通過給出所謂“概率密度函數(shù)”的方式.下面我們就來介紹對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量的描述方法.設(shè)X是隨機(jī)變量,若存在一個(gè)非負(fù)可積函數(shù)p(x),使得其中F(x)是它的分布函數(shù)則稱X是連續(xù)型r.v.

，p(x)是它的概率密度函數(shù)，簡稱密度函數(shù)（或密度）,記為1、定義四、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù)引入直方圖和概率密度函數(shù)即分布函數(shù)是密度函數(shù)的積分上限函數(shù).它描述的是r.v.X落入的概率,是圖形中陰影部分的面積.注:若X是連續(xù)型r.v.，X

～

p(x),則

F(x)=P(Xx)=2、求密度的公式例如，r.v.X服從柯西分布,則分布函數(shù)為密度函數(shù)x在F(x)的連續(xù)可導(dǎo)點(diǎn)，3、概率密度函數(shù)的性質(zhì)(1)(2)這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)函數(shù)p(x)是否為某r.vX的概率密度函數(shù)的充要條件

p(x)xo面積為1非負(fù)性正則性

注:密度函數(shù)p(x)在某點(diǎn)處a的高度，并不反映X取a值的概率.而反映了概率集中在該點(diǎn)附近的程度.4、連續(xù)型r.v.的兩個(gè)重要性質(zhì)(1)對(duì)于連續(xù)型r.v.X,P(X=a)=0,即