潘省初計量經(jīng)濟學-第七章

第七章時間序列分析(TimeSeriesAnalysis)第一節(jié)時間序列分析的基本概念

經(jīng)濟分析通常假定所研究的經(jīng)濟理論中涉及的變量之間存在著長期均衡關系。按照這一假定，在估計這些長期關系時，計量經(jīng)濟分析假定所涉及的變量的均值和方差是常數(shù)，不隨時間而變。然而，經(jīng)驗研究表明，在大多數(shù)情況下，時間序列變量并不滿足這一假設，從而產(chǎn)生所謂的“偽回歸”問題(‘spurious’regressionproblem)。為解決這類問題，研究人員提出了不少對傳統(tǒng)估計方法的改進建議，其中最重要的兩項是對變量的非平穩(wěn)性(non-stationarity)的系統(tǒng)性檢驗和協(xié)整(cointegration)。協(xié)整

協(xié)整分析被認為是上世紀八十年代中期以來計量經(jīng)濟學領域最具革命性的進展。

簡單地說，協(xié)整分析涉及的是一組變量，它們各自都是不平穩(wěn)的（含義是隨時間的推移而上行或下行），但它們一起漂移。這種變量的共同漂移使得這些變量之間存在長期的線性關系，因而使人們能夠研究經(jīng)濟變量間的長期均衡關系。如果這些長時間內(nèi)的線性關系不成立，則對應的變量被稱為是“非協(xié)整的”。誤差修正模型一般說來，協(xié)整分析是用于非平穩(wěn)變量組成的關系式中長期均衡參數(shù)估計的技術。它是用于動態(tài)模型的設定、估計和檢驗的一種新技術。此外，協(xié)整分析亦可用于短期或非均衡參數(shù)的估計，這是因為短期參數(shù)的估計可以通過協(xié)整方法使用長期參數(shù)估計值，采用的模型是誤差修正模型(errorcorrectionmodel)。

在介紹上述方法之前，下面先介紹所涉及的一些術語和定義。一．平穩(wěn)性（Stationarity）嚴格平穩(wěn)性(strictstationarity)

如果一個時間序列Xt的聯(lián)合概率分布不隨時間而變，即對于任何n和k，X1,X2,…Xn的聯(lián)合概率分布與X1+k,X2+k,…Xn+k

的聯(lián)合分布相同，則稱該時間序列是嚴格平穩(wěn)的。由于在實踐中上述聯(lián)合概率分布很難確定，我們用隨機變量Xt（t=1,2,…）的均值、方差和協(xié)方差代替之，即所謂的“弱平穩(wěn)性”。2.弱平穩(wěn)性(weakstationarity)一個時間序列是“弱平穩(wěn)的”，如果：（1）均值E(Xt)=μ，t=1,2,…（7.1）（2）方差Var(Xt)=E(Xt-μ)2=σ2，t=1,2,…（7.2）（3）協(xié)方差

Cov(Xt,Xt+k）=E[(Xt-μ)(Xt+k-μ)]＝rk，

t=1,2,…，k≠0（7.3）3.平穩(wěn)性和非平穩(wěn)性通常情況下，我們所說的平穩(wěn)性指的就是弱平穩(wěn)性。一般來說，如果一個時間序列的均值和方差在任何時間保持恒定，并且兩個時期t和t+k之間的協(xié)方差僅依賴于兩時期之間的距離（間隔或滯后）k，而與計算這些協(xié)方差的實際時期t無關，則該時間序列是平穩(wěn)的。只要這三個條件不全滿足，則該時間序列是非平穩(wěn)的。事實上，大多數(shù)經(jīng)濟時間序列是非平穩(wěn)的。例如，在圖7.1中，某國的私人消費（CP）和個人可支配收入（PDI）這兩個時間序列都有一種向上的趨勢，幾乎可以斷定它們不滿足平穩(wěn)性條件（7.1），因而是非平穩(wěn)的。二．幾種有用的時間序列模型1、白噪聲（Whitenoise）白噪聲通常用εt表示，是一個純粹的隨機過程，滿足:（1） E(εt)=0,對所有t成立；（2） Var(εt)=σ2，對所有t成立；（3） Cov(εt,εt+k)=0，對所有t和k≠0成立。白噪聲可用符號表示為：

εt～IID(0,σ2)（7.4）注：這里IID為IndependentlyIdenticallyDistributed（獨立同分布)的縮寫。2、隨機漫步（Randomwalk）隨機漫步是一個簡單隨機過程，由下式確定：

Xt=Xt－1+εt

（7.5）其中εt為白噪聲。

Xt的均值：

E(Xt）=E(Xt-1+εt）=E(Xt－1)+E(εt)=E(Xt－1)

這表明Xt的均值不隨時間而變。

為求Xt的方差，對（7.5）式進行一系列置換：

Xt=Xt－1+εt=Xt－2+εt-1+εt=Xt－3+εt-2+εt-1+εt=……=X0+ε1+ε2+……+εt=X0+∑εt

其中X0是Xt的初始值，可假定為任何常數(shù)或取初值為0，則

這表明Xt的方差隨時間而增大，平穩(wěn)性的第二個條件（7.2）不滿足，因此，隨機漫步時間序列是非平穩(wěn)時間序列。可是，若將（7.5）式Xt=Xt－1+εt寫成一階差分形式：

ΔXt=εt

（7.6)

這個一階差分新變量ΔXt是平穩(wěn)的，因為它就等于白燥聲εt，而后者是平穩(wěn)時間序列。3、帶漂移項的隨機漫步(Randomwalkwithdrift)Xt=μ+Xt－1+εt

（7.7）其中μ是一非0常數(shù)，εt為白燥聲。

μ之所以被稱為“漂移項”，是因為（7.7）式的一階差分為

ΔXt=Xt－Xt-1=μ+εt

這表明時間序列Xt向上或向下漂移，取決于μ的符號是正還是負。顯然，帶漂移項的隨機漫步時間序列也是非平穩(wěn)時間序列。4、自回歸過程隨機漫步過程（7.5）（Xt=Xt－1+εt）是最簡單的非平穩(wěn)過程。它是

Xt=φXt－1+εt

（7.8）的特例，（7.8）稱為一階自回歸過程(AR(1))，該過程在－1＜φ＜1時是平穩(wěn)的，其他情況下，則為非平穩(wěn)過程。

更一般地，（7.8）式又是

Xt=φ1Xt－1+φ2Xt－2+……+φqXt-q+εt

（7.9）的特例，（7.9）稱為q階自回歸過程(AR(q))。可以證明，如果特征方程

1－φ1L－φ2L2－φ3L3－……－φqLq

=0（7.10）的所有根的絕對值均大于1，則此過程（7.9）是平穩(wěn)的，否則為非平穩(wěn)過程。三．單整的時間序列（Integratedseries）

從（7.6）可知，隨機漫步序列的一階差分序列ΔXt=Xt－Xt-1是平穩(wěn)序列。在這種情況下，我們說原非平穩(wěn)序列Xt是“一階單整的”，表示為I(1)。與此類似，若非平穩(wěn)序列必須取二階差分(Δ2Xt=ΔXt－ΔXt-1)才變?yōu)槠椒€(wěn)序列，則原序列是“二階單整的”，表示為I(2)。一般地，若一個非平穩(wěn)序列必須取d階差分才變?yōu)槠椒€(wěn)序列，則原序列是“d階單整的”(Integratedoforderd)，表示為I(d)。由定義不難看出，I(0)表示的是平穩(wěn)序列，意味著該序列無需差分即是平穩(wěn)的。另一方面，如果一個序列不管差分多少次，也不能變?yōu)槠椒€(wěn)序列，則稱為“非單整的”。

第二節(jié)平穩(wěn)性的檢驗平穩(wěn)性檢驗的方法可分為兩類：傳統(tǒng)方法和現(xiàn)代方法。前者使用自相關函數(shù)(Autocorrelationfunction)，后者使用單位根(Unitroots)。單位根方法是目前最常用的方法，因此本節(jié)中，我們僅介紹單位根方法。一．單位根考察（7.8）式的一階自回歸過程，即

Xt=φXt－1+εt

（7.11）其中εt為白噪聲，此過程可寫成

Xt－φXt－1=εt或（1－φL）Xt=εt

（7.12）其中L為滯后運算符，其作用是取時間序列的滯后，如Xt

的一期滯后可表示為L(Xt），即

L(Xt）=Xt－1

由上節(jié)所知，自回歸過程Xt平穩(wěn)的條件是其特征方程的所有根的絕對值大于1。由于這里特征方程為1－ΦL=0，該方程僅有一個根L=1/φ，因而平穩(wěn)性要求－1＜φ＜1。因此，檢驗Xt的平穩(wěn)性的原假設和備擇假設為：

H0：∣φ∣≥1Ha：∣φ∣＜1

接受原假設H0表明Xt是非平穩(wěn)序列，而拒絕原假設（即接受備擇假設Ha）則表明Xt是平穩(wěn)序列。實踐中，上述原假設和備擇假設采用如下形式：這是因為，首先，可以假設，因為絕大多數(shù)經(jīng)濟時間序列確實如此；其次，意味著是爆炸性的，通常不予考慮，這意味著備擇假設實際上是。單位根檢驗方法的由來

在Φ=1的情況下，即若原假設為真，則（7.11）就是隨機漫步過程（7.5），從上節(jié)得知，它是非平穩(wěn)的。因此，檢驗非平穩(wěn)性就是檢驗Φ=1是否成立，或者說，就是檢驗單位根是否存在。換句話說，單位根是表示非平穩(wěn)性的另一方式。這樣一來，就將對非平穩(wěn)性的檢驗轉化為對單位根的檢驗，這就是單位根檢驗方法的由來。（7.11）式Xt=φXt－1+εt兩端各減去Xt-1，我們得到

Xt－Xt－1=ΦXt－1－Xt－1+εt即ΔXt=δXt－1+εt

（7.13）其中Δ是差分運算符，δ=Φ－1。前面的假設

H0：φ=1Ha：φ＜1

可寫成如下等價形式：

H0：δ=0Ha：δ＜0

在δ=0的情況下，即若原假設為真，則相應的過程是非平穩(wěn)的。換句話說，非平穩(wěn)性或單位根問題，可表示為Φ=1或δ=0。從而我們可以將檢驗時間序列Xt的非平穩(wěn)性的問題簡化成在方程（7.11）的回歸中，檢驗參數(shù)Φ=1是否成立或者在方程（7.13）的回歸中，檢驗參數(shù)δ=0是否成立。這類檢驗可用t檢驗進行，檢驗統(tǒng)計量為：

或（7.14）其中，和分別為參數(shù)估計值和的標準誤差，即這里的問題是，（7.14）式計算的t值不服從t分布，而是服從一個非標準的甚至是非對稱的分布。因而不能使用t分布表，需要用另外的分布表。二．Dickey-Fuller檢驗（DF檢驗）迪奇（Dickey）和福勒（Fuller）以蒙特卡羅模擬為基礎，編制了（7.14）中tδ統(tǒng)計量的臨界值表，表中所列已非傳統(tǒng)的t統(tǒng)計值，他們稱之為τ統(tǒng)計值。這些臨界值如表7.1所示。后來該表由麥金農(nóng)（Mackinnon）通過蒙特卡羅模擬法加以擴充。

有了τ表，我們就可以進行DF檢驗了，DF檢驗按以下兩步進行：第一步：對（7.13）式執(zhí)行OLS回歸，即估計△Xt=δXt-1+εt

（7.15）得到常規(guī)tδ值。第二步：檢驗假設

H0：δ=0Ha：δ＜0

用上一步得到的tδ值與表7.1中查到的τ臨界值比較，判別準則是：若tδ>τ，則接受原假設H0，即Xt非平穩(wěn)。若tδ＜τ，則拒絕原假設H0，Xt為平穩(wěn)序列。Dickey和Fuller注意到τ臨界值依賴于回歸方程的類型。因此他們同時還編制了與另外兩種類型方程中相對應的τ統(tǒng)計表，這兩類方程是：△Xt=α+δXt-1+εt

（7.16）和△Xt=α+βt+δXt-1+εt（7.17）二者的τ臨界值分別記為τμ和τT。這些臨界值亦列在表7.1中。盡管三種方程的τ臨界值有所不同，但有關時間序列平穩(wěn)性的檢驗依賴的是Xt-1的系數(shù)δ，而與α、β無關。(7.17)式通常用于有明確時間趨勢的序列的單位根檢驗.

在實踐中，經(jīng)濟數(shù)據(jù)一般不用（7.15）式那樣的無常數(shù)項的形式。帶漂移項的時間序列通常采用（7.17）式，而不帶漂移項的時間序列采用（7.16）式。例7.1檢驗某國私人消費時間序列的平穩(wěn)性。

用表7.2中的私人消費（Ct）時間序列數(shù)據(jù)，估計與（7.16）和（7.17）相對應的方程，分別得到如下估計結果：(1)△=12330.48-0.01091Ct-1R2=0.052(t:)(5.138)(-1.339)DW=1.765(2)△=15630.83+346.4522t-0.04536Ct-1R2=0.057(t:)(1.966)(0.436)(-0.5717)DW=1.716

兩種情況下，tδ值分別為-1.339和-0.571，二者分別大于表7.1中從0.01到0.10的各種顯著性水平下的τμ值和τT值。因此，兩種情況下都不能拒絕原假設，即私人消費時間序列有一個單位根，或換句話說，它是非平穩(wěn)序列。

下面看一下該序列的一階差分（△Ct）的平穩(wěn)性。做類似于上面的回歸，得到如下結果：(3)△2=7972.671-0.85112△Ct-1R2=0.425(t:)(4.301)(-4.862)DW=1.967(4)△2=10524.35-114.461t-0.89738△Ct-1R2=0.454(t:)(3.908)(-1.294)(-5.073)DW=1.988其中△2Ct=△Ct-△Ct-1。

兩種情況下，tδ值分別為-4.862和-5.073，二者分別小于表7.1中從0.01到0.10的各種顯著性水平下的τμ值和τT值。因此，都拒絕原假設，即私人消費一階差分時間序列沒有單位根，或者說該序列是平穩(wěn)序列。綜合以上結果，我們的結論是：△Ct是平穩(wěn)序列，△Ct～I(0）。而Ct是非平穩(wěn)序列，由于△Ct～I(0），因而

Ct～I(1）。ADF檢驗

ADF檢驗的全稱是擴展的迪奇－福勒檢驗（AugmentedDickey-Fullertest）,它是DF檢驗的擴展，適用于擾動項服從平穩(wěn)的AR(P)過程的情形。ADF與DF檢驗的區(qū)別是在（7.13）式中增加若干個的滯后項作為解釋變量，即要回歸的方程變?yōu)?/p>

要檢驗的當然還是的系數(shù)是否為0，檢驗的臨界值和拒絕法則與DF檢驗相同。

在方程（7.18）中應當包括多少個滯后變動項，并無硬性的標準。一般做法是包括盡可能多的的滯后項，當然也不能太多，因為會影響自由度。實踐中可根據(jù)數(shù)據(jù)的頻率和樣本的規(guī)模來選擇p。對于年度數(shù)據(jù)，一、兩個滯后即可，月度數(shù)據(jù)，可考慮取p＝12。第三節(jié)協(xié)整按照弗里德曼的持久收入假設，私人總消費（Ct）是持久私人消費和暫時性私人消費（εt）之和，持久私人消費與持久個人可支配收入（Yt）成正比。則消費函數(shù)為：

其中0＜β1≤1。用表7.2中數(shù)據(jù)對此消費函數(shù)進行OLS估計，假定持久個人收入等于個人可支配收入，我們得到：

=0.80969YtR2=0.9924(t:)(75.5662)DW=0.8667

除DW值低以外，估計結果很好。t值很高表明回歸系數(shù)顯著，R2也很高，表明擬合很好?？墒?，由于方程中的兩個時間序列是趨勢時間序列或非平穩(wěn)時間序列，因此這一估計結果有可能形成誤導。結果是，OLS估計量不是一致估計量，相應的常規(guī)推斷程序不正確。格蘭杰（Granger）和鈕博爾德（Newbold）在1974年發(fā)表的論文“SpuriousRegressioninEconometrics”中對此進行了深入研究。

文中指出，如果和是相互獨立的隨機漫步時間序列，那么由于和相互獨立，在的回歸中的估計值應當接近于0，相應的t統(tǒng)計值應當不顯著。但事實上Granger和Newbold發(fā)現(xiàn)，在100次回歸試驗中（樣本大小為50），的有23次的有24次的有53次本應不顯著的t統(tǒng)計值在大多數(shù)回歸中卻是顯著的！Granger和Newbold把這種現(xiàn)象稱為偽回歸（SpuriousRegression），因為這類回歸發(fā)現(xiàn)兩個時間序列顯著相關而實際它們根本不相關。

他們進一步指出，如果在時間序列的回歸中DW值低于R2，則應懷疑有偽回歸的可能。我們上面的結果正是如此（R2=0.9924>DW=0.8667）。

考慮到經(jīng)濟學中大多數(shù)時間序列是非平穩(wěn)序列，則我們得到偽回歸結果是常見的事。避免非平穩(wěn)性問題的常用方法是在回歸中使用時間序列的一階差分。可是，使用變量為差分形式的關系式更適合描述所研究的經(jīng)濟現(xiàn)象的短期狀態(tài)或非均衡狀態(tài)，而不是其長期或均衡狀態(tài)，描述所研究經(jīng)濟現(xiàn)象的長期或均衡狀態(tài)應采用變量本身。

由上面的討論，自然引出了一個明顯的問題：我們使用非均衡時間序列時是否必定會造成偽回歸？對此問題的回答是，如果在一個回歸中涉及的趨勢時間序列“一起漂移”，或者說“同步”，則可能沒有偽回歸的問題，因而取決于t檢驗和F檢驗的推斷也沒有問題。這種非均衡時間序列的“同步”，引出了我們下面要介紹的“協(xié)整”概念。一．協(xié)整的概念

在方程（7.19）中，持久收入假設要求兩時間序列Ct和Yt的線性組合，即時間序列Ct－β1Yt必須是平穩(wěn)的，這是因為此序列等于εt，而暫時性私人消費（εt）按定義是平穩(wěn)時間序列?？墒?，Ct和Yt都是非平穩(wěn)時間序列，事實上，不難驗證：Ct～I(1），Yt～I(1）。也就是說，盡管Ct～I(1），Yt～I(1），但持久收入假設要求它們的線性組合εt=Ct－β1Yt是平穩(wěn)的，即εt=Ct－β1Yt～I(0）。在這種情況下，我們說時間序列Ct和Yt是協(xié)整的(Cointegrated)。下面給出協(xié)整(Cointegration)的正式定義。協(xié)整的定義

如果兩時間序列Yt～I(d)，Xt～I(d)，并且這兩個時間序列的線性組合a1Yt+a2Xt

是(d-b)階單整的，即a1Yt+a2Xt～I(d-b)（d≥b≥0），則Yt

和Xt被稱為是（d,b）階協(xié)整的。記為

Yt,Xt～CI(d,b)這里CI是協(xié)整的符號。構成兩變量線性組合的系數(shù)向量（a1，a2）稱為“協(xié)整向量”。

下面給出本節(jié)中要研究的兩個特例。

1、 Yt,Xt～CI(d,d）在這種情況下，d=b，使得a1Yt+a2Xt～I(0），即兩時間序列的線性組合是平穩(wěn)的，因而Yt,Xt～CI(d,d）。

2、 Yt,Xt～CI(1,1)

在這種情況下，d=b=1，同樣有a1Yt+a2Xt～I(0)，即兩時間序列的線性組合是平穩(wěn)的，因而

Yt,Xt～CI(1,1）。

讓我們考慮下面的關系

Yt=β0+β1Xt

（7.19）

其中，Yt～I(1），Xt～I(1）。當0=Yt－β0－β1Xt時，該關系處于長期均衡狀態(tài)。對長期均衡的偏離，稱為“均衡誤差”，記為εt：

εt=Yt－β0－β1Xt

若長期均衡存在，則均衡誤差應當圍繞均衡值0波動。也就是說，均衡誤差εt應當是一個平穩(wěn)時間序列，即應有

εt～I(0），E(εt）=0。按照協(xié)整的定義，由于

Yt～I(1），Xt～I(1），且線性組合

εt=Yt－β0－β1Xt～I(0）因此，Yt

和Xt是（1，1）階協(xié)整的，即

Yt，Xt～CI(1,1）協(xié)整向量是（1,－β0,－β1）

綜合以上結果，我們可以說，兩時間序列之間的協(xié)整是表示它們之間存在長期均衡關系的另一種方式。因此，若Yt

和Xt是協(xié)整的,并且均衡誤差是平穩(wěn)的且具有零均值，我們就可以確信，方程

Yt=β0+β1Xt+εt

（7.20）將不會產(chǎn)生偽回歸結果。由上可知，如果我們想避免偽回歸問題，就應該在進行回歸之前檢驗一下所涉及的變量是否協(xié)整。二．協(xié)整的檢驗

我們下面介紹用于檢驗兩變量之間協(xié)整最常用的恩格爾-格蘭杰（Engle-Granger）方法。Engle-Granger法（EG）或增廣Engle-Granger法（AEG）的檢驗步驟如下。步驟1.用上一節(jié)介紹的單位根方法求出兩變量的單整的階，然后分情況處理,共有三種情況：（1） 若兩變量的單整的階相同，進入下一步；（2） 若兩變量的單整的階不同，則兩變量不是協(xié)整的；（3） 若兩變量是平穩(wěn)的，則整個檢驗過程停止，因為你可以采用標準回歸技術處理。

步驟2.

若兩變量是同階單整的，如I(1），則用OLS法估計長期均衡方程（稱為協(xié)整回歸）：

Yt=β0+β1Xt+εt并保存殘差et，作為均衡誤差εt的估計值。

應注意的是，雖然估計出的協(xié)整向量（1，－，－）是真實協(xié)整向量（1，－β0，－β1）的一致估計值，這些系數(shù)的標準誤差估計值則不是一致估計值。由于這一原因，標準誤差估計值通常不在協(xié)整回歸的結果中提供。步驟3.

對于兩個協(xié)整變量來說，均衡誤差必須是平穩(wěn)的。為檢驗其平穩(wěn)性，對上一步保存的均衡誤差估計值（即協(xié)整回歸的殘差et）應用單位根方法。具體作法是將Dickey—Fuller檢驗法用于時間序列et，也就是用OLS法估計形如下式的方程：△et=δet-1+νt

（7.21）

有兩點須提請注意：（1）（7.21）式不包含常數(shù)項，這是因為OLS殘差et應以0為中心波動。（2）Dickey—Fullerτ統(tǒng)計量不適于此檢驗，表7.3提供了用于協(xié)整檢驗的臨界值表。

由表7-3中可見，Ct和Yt都是非平穩(wěn)的，而ΔCt和ΔYt都是平穩(wěn)的。這就是說，

Ct～I(1），Yt～I(1）因而我們可以進入下一步。

第四步，得出有關兩變量是否協(xié)整的結論。用tδ＝－3.150與表7－3中的臨界值相比較（m=2），采用顯著性水平α=0.05，tδ大于臨界值τ，因而接受et非平穩(wěn)的原假設，意味著兩變量不是協(xié)整的，我們不能說在私人消費和個人可支配收入之間存在著長期均衡關系?？墒牵绻捎蔑@著性水平α=0.10，則－3.150與表7－3中的臨界值大致相當，因而可以預期，若α=0.11，tδ將小于臨界值τ，我們接受et為平穩(wěn)的備擇假設，即兩變量是協(xié)整的，或者說兩變量之間存在著長期均衡關系。第四節(jié)誤差修正模型（ECM）

協(xié)整分析中最重要的結果可能是所謂的“格蘭杰代表定理”（Grangerrepresentationtheorem）。按照此定理，如果兩變量Yt和Xt是協(xié)整的，則它們之間存在長期均衡關系。當然，在短期內(nèi)，這些變量可以是不均衡的，擾動項是均衡誤差εt。兩