第7章自由曲線與曲面-2

第四章自由曲線與曲面（二）2Bezier曲線1962年，法國雷諾汽車公司P.E.Bezier工程師以“逼近”為基礎(chǔ)UNISURF系統(tǒng)1972年雷諾汽車公司正式使用3Bezier曲線（1/19）Bezier基函數(shù)--Bernstein多項式的定義三次Bézier曲線的四個混合函數(shù)

4Bezier曲線（2/19）Bernstein基函數(shù)的性質(zhì)正性權(quán)性對稱性降階公式升階公式5Bezier曲線（3/19）導數(shù)積分最大值在t=i/n處取得最大值線性無關(guān)性是n次多項式空間的一組基6Bezier曲線（4/19）Bezier曲線的定義n次多項式曲線P(t)稱為n次Bezier曲線控制頂點控制多邊形P0P1P2P37Bezier曲線（5/19）Bezier曲線的性質(zhì)端點位置這說明,Bezier曲線通過特征多邊形的起點和終點.P0P1P2P3端點切矢量將伯恩斯坦式對t求導.8在對曲線參數(shù)方程求導910Bezier曲線（6/19）導數(shù)曲線P0P1P2P3一階導矢:對于三次Bezier曲線，n=3，有P’(0)=3(P1-P0)P’(1)=3(P3-P2)它說明Bezier在始點和終點處的切線方向與特征多邊形的第一條邊和最后一條邊的走向一致。二階導矢:當t=0時當t=1時11二階導失只與相鄰的3個頂點有關(guān)。事實上，r階導失只與r+1個相鄰點有關(guān)，與更遠點無關(guān)。1213Bezier曲線（7/19）對稱性不是形狀對稱保持貝塞爾曲線全部控制點Pi的坐標位置不變，只是將控制點Pi的排序顛倒，曲線形狀保持不變假如保持n次Bézier曲線諸頂點的位置不變，而把次序顛倒過來，即下標為i的點改為下標為n-i的點，則此時曲線仍不變，只不過曲線的走向相反而已。這一性質(zhì)可證明如下：由伯恩斯坦多項式可以導出：記次序顛倒以后的頂點為，則有此時，設(shè)新的Bézier曲線為,則14令n-i=k,則i=n-k,且i=0時，k=n及i=n,k=0，所以

再將k換成i,則又因為所以

16Bezier曲線（8/19）凸包性點集的凸包包含這些點的最小凸集Bezier曲線位于其控制頂點的凸包之內(nèi)17Bezier曲線（10/19）幾何不變性曲線的形狀僅與特征多邊形各頂點的相鄰位置有關(guān)，而與坐標系的選擇無關(guān)。平面曲線的變差縮減性若Bezier曲線的特征多邊形是一個平面圖形，則平面內(nèi)任意直線與曲線的交點個數(shù)不多于該直線與其特征多邊形的交點個數(shù)。此性質(zhì)反映了曲線比其特征多邊形的波動要小，也就是說比特征多邊形的折線更光順。18Bezier曲線（11/19）二次Bezier曲線n=2，有3個控制點拋物線P0P2P1MP(0.5)P(1)P(0)19說明二次曲線為拋物線，其矩陣形式為20Bezier曲線（12/19）三次Bezier曲線n=3P0P1P2P3P(0)P(1)21Bezier曲線（13/19）三次Bezier曲線的矩陣表示22Bezier曲線（14/19）遞推公式--DeCasteljau算法計算過程幾何解釋例。利用Bezier的定比分割方法繪制三次Bezier曲線。令u=0.5,并驗證你的分割方法是正確的。設(shè)由P0,P1,P2,P3控制生成的一條三次Bezier曲線可在u=1/2處分段，分成的兩端均為三次Bezier曲線，它們由各自的控制點控制。取P0P1的中點P4，P1P2的中點P5，P2P3的中點P6，P4P5的中點P7，P5P6的中點P8，P7P8的中點P9。則P4=（P0+P1）/2;P5=(P1+P2)/223P6=(P2+P3)/2;P7=(P4+P5)/2=P0/4+P1/2+P2/4;P8=(P5+P6)/2=P1/4+P2/2+P3/2;P9=(P7+P8)/2=P0/8+3P1/8+3P2/8+P3/8下面來說明P9在由P0、P1、P2、P3確定的三次Bezier曲線上，且為u=1/2時的P（1/2），這只需將u=1/2代入P(t).24接著我們還需證明，P(u)(0≤u≤1/2)即為點P0、P4、P7、P9控制生成的Bezier曲線，而P(u)(1/2≤u≤1)即為點P9、P8、P6、P3控制生成的Bezier曲線.設(shè)由P0、P4、P7、P9控制生成的Bezier曲線為：將P0、P4、P7、P9代入在曲線P(u)(0≤u≤1/2)中，令u=t/2,則得同理可證通過上述的分割，我們獲得折線P0P4P7P9P8P6P3它比折線P0P1P2P3更接近曲線，且P9在曲線上，繼續(xù)對由P9分成的兩段曲線作分割，除獲得更接近曲線的折線外，另外還獲得曲線上的兩個點，分割次數(shù)越多，新的折線越逼近曲線。當達到某種精度時，我們可獲得的折線近似地表達Bezier曲線。例：試根據(jù)下列給定的條件，分割作圖畫出有關(guān)曲線的形狀示意圖。已知：圖(a)所示三次Bezier曲線的控制多邊形，共有4個控制點P0P1P2P3;t=1/2P1P0P3P2例：計算以（30,0），（60,10）,(80,30),(90,60),(90,90)為控制頂點的4次Bezier曲線在t=1/2處的值，并畫出decasteljau三角形。由Bezier曲線函數(shù)表達式可得：decasteljau三角形：35Bezier曲線（15/19）曲線的拼接為了表達復雜的曲線，通常采用分段設(shè)計，然后將各段曲線相互連接起來，并在結(jié)合處保持一定的連續(xù)條件，下面討論兩段曲線達到不同階級和連續(xù)的條件。給定兩條曲線P(t)和Q(t)，相應控制點為Pi(i=0,1,…,n)和Qj(j=0,1,…,n)，且令ai=Pi-Pi-1,bj=Qj-Qj-1,如圖，現(xiàn)在討論如何把兩條曲線光滑地連接起來。根據(jù)前節(jié)內(nèi)容可以知道：（1）使它們達到G0連續(xù)的充要條件是Pn=Q0（2）使它們達到G1連續(xù)的充要條件是Pn-1,Pn=Q0,Q1三點共線，即b1=an(>0)(3)使它們達到G2連續(xù)的充要條件是在G1連續(xù)的條件下，滿足方程將

代入并整理，可以得到選擇α和β的值，可以利用該式確定曲線段Q(t)的特征多邊形頂點Q2，而頂點Q0、Q1已被G1連續(xù)條件所確定；要達到G2連續(xù)的話，只剩下頂點Q2可以自由選取。

如果上式的兩邊都減去Pn，則等式右邊可以表示為（Pn-Pn-1）和（Pn-1-Pn-2）的線性組合這表明Pn-2、Pn-1、Pn=Q0、Q1和Q2這5點共面。事實上，在接合點兩條曲線段的曲率相等，主法線方向一致，還可以斷定Pn-2和Q2位于Pn-1Q1直線的同一側(cè)。38Bezier曲線（16/19）零階幾何連續(xù)條件一階幾何連續(xù)條件二階幾何連續(xù)條件？三點共線，且Q1,Pm-1在連接點的異側(cè)39反求控制頂點給定n+1個型值點，要求構(gòu)造一條Bezier曲線通過這些點Bezier曲線（17/19）例：已知Bezier曲線上的四個點分別是(6,0)，(3,0)，(0,3)，(0,6)，它們對應的參數(shù)分別是0,1/3,2/3,1，反求Bezier曲線的控制頂點。貝塞爾曲線的函數(shù)式為：Bezier曲線的升階與降階Bézier曲線的升階升階是指保持Bézier曲線的形狀與定向不變，增加定義它的控制頂點數(shù)，也即提高該Bézier曲線的次數(shù)。增加了控制頂點數(shù)，不僅增加了對曲線進行形狀控制的靈活性，還在構(gòu)造曲面方面有著重要的應用。對于一些由曲線生成曲面的算法，要求那些曲線必須是同次的，應用升階的方法可以把低于高次數(shù)的曲線提升到最高次數(shù)，使所有曲線具有相同的次數(shù)。曲線升階后，原控制頂點會發(fā)生變化。下面來計算曲線提升一階后的新的控制點。設(shè)給定原始控制頂點，，…，，定義了一條n次Bézier曲線t∈[0,1]增加一個頂點后，仍定義同一條曲線的新控制頂點為，則有對上式左邊乘以，得到比較等式兩邊項的系數(shù)，得到化簡即得其中此式說明：新的控制頂點，是以參數(shù)值按分段線性插值從原始特征多邊形得到的。（1）升階后的新特征多邊形在原始特征多邊形的凸包內(nèi)。（2）特征多邊形更靠近曲線三次Bézier曲線的升階實例如圖7-8所示。2）Bézier曲線的降階降階是升階的逆過程。給定一條有原始控制頂點定義的n次Bézier曲線，要求找到一條由新控制頂點定義的n-1次Bézier曲線來逼近原始曲線。假定是由升階得到的，則由公式有：從這個方程可以導出兩個遞推公式：和其中第一個遞推公式在靠近處趨向生成較好的逼近，而第二個遞推公式在靠近處趨向生成較好的逼近。例：構(gòu)造一條三次Bezier曲線，讓它來逼近橢圓在第一象限中的部分，設(shè)定橢圓的長短軸分別為a和b(a>b>0)。已知P0(0,b),P1(a,b),P2(a,0).解：因為構(gòu)造的是三次曲線，它由四個控制點對應，設(shè)為Q0,Q1,Q2,Q3，對原控制點進行升階，根據(jù)升階公式：所以可以得到：Q0(0,b),Q1(2a/3,b),Q2(a,2b/3),Q3(a,0)令Qi(i=0,1,2,3)為控制點，生成三次Bezier曲線：例：給定四次Bezier曲線的控制頂點P0（0,0），P1(0,75)，P2(50,50)，P3(100,25)，P4(100,100)，計算降階一次后的控制頂點。解：由降階公式：所以降階以后的控制點為P0（0,0），P1（0,100），P2（100,0），P3（100,100）49優(yōu)點：形狀控制直觀設(shè)計靈活Bezier曲線（18/19）50缺點：所生成的曲線與特征多邊形的外形相距較遠局部控制能力弱，因為曲線上任意一點都是所有給定頂點值的加權(quán)平均控制頂點數(shù)增多時，生成曲線的階數(shù)也增高控制頂點數(shù)較多時，多邊形對曲線的控制能力減弱曲線拼接需要附加條件，不太靈活Bezier曲線（19/19）51B樣條曲線（1/17）產(chǎn)生：1946年，Schoenberg發(fā)表關(guān)于B樣條函數(shù)的第1篇論文1973年前后，Gordon,Riesenfield,Forrest等人受到Bezier方法的啟發(fā)，將B樣條函數(shù)拓廣成參數(shù)形式的B樣條曲線優(yōu)于Bezier曲線之處：與控制多邊形的外形更接近局部修改能力任意形狀，包括尖點、直線的曲線易于拼接階次低，與型值點數(shù)目無關(guān)，計算簡便B樣條曲線的數(shù)學表達式首先給出n次B樣條函數(shù)的表達式為：式中函數(shù)稱為截尾冪函數(shù)，即：下面討論n=1、2、3時，B樣條函數(shù)的表達式及圖像。當n=1時該函數(shù)在各區(qū)間的表達式為：M1(x)的圖像如圖所示，函數(shù)在區(qū)間(-1,1)被分為兩段，每段都是x的一次式，在此區(qū)間之外函數(shù)值均為0.-111xM1(x)0當n=2時，該函數(shù)在各區(qū)間的表達式為：M2(x)的圖像如圖所示，函數(shù)在區(qū)間(-3/2,3/2)被分為三段，每段都是x的二次式，在此區(qū)間之外，函數(shù)值均為0.-3/2-1/21/23/20M2(x)3/4當n=3時該函數(shù)在各區(qū)間的表達式為：M3(x)的圖像如圖所示，函數(shù)在區(qū)間(-2,2)被分為四段，每段都是x的三次式，在此區(qū)間之外，函數(shù)值均為0.-2-1120M3(x)2/3歸納起來，可知n次B樣條函數(shù)在區(qū)間(-(n+1)/2,(n+1)/2)中被分為n+1段，每段都是x的n次式，在此區(qū)間之外函數(shù)值均為0.在參數(shù)表示中，通常將參數(shù)t的變化范圍取為(0--1)，為此作參數(shù)變換t=x-(L-(n+1)/2)，則第L段（L=0,1,2,,，n）的表達式為或用L=n-k代替，則順序顛倒，得到以t為參數(shù)的均勻節(jié)點B樣條基函數(shù)為通常給定m+n+1個頂點，Pi（i0,1,，m+n）以上式為基底定義的n次參數(shù)曲線為：稱為n次均勻節(jié)點B樣條第i段曲線，而以i=0,1,,,m所構(gòu)造的m+1段曲線的全體就稱為n次均勻節(jié)點B樣條曲線依次以線段Pi+l(l=0,1,2,,,n)所組成的多邊形稱為樣條在第i段的B特征多邊形。它的全體稱為n次B樣條曲線，它具有Cn-1連續(xù)性由于n次B樣條函數(shù)是n-1階連續(xù)。因此整條B樣條曲線也是n-1階連續(xù)。在實際應用中，使用最多的是三次B樣條曲線，其次是二次B樣條曲線，這里我們僅討論三次B樣條曲線代入函數(shù)式整理得：上式可以寫成矩陣形式三次B樣條曲線的性質(zhì)（1）當t=0時當t=1時，對t求一階導數(shù)對t求二階導數(shù)從上面三組式子可以看出，起點P(0)落在△P0P1P2的中線P1P1*上，離P1三分之一處，終點落在△P1P2P3的中線P2P2*上離P2三分之一處，而兩點的切線矢量分別平行于P0P2和P1P3，且長度為其一半，兩點處的二階導數(shù)向量等于中線矢量的兩倍。P0P2P1P3P4P（0）P（1）P’(0)P’(1)P’’(0)P1*P2*P’’(1)如果在特征多邊形中增加一個頂點P4，則P1P2P3P4決定下一段三次B樣條曲線段，而新曲線段在起點的信息與前一段終點的信息完全相同，從而說明曲線是二階連續(xù)的。（2）直觀性B樣條曲線從形狀上更逼近特征多邊形，所以其形狀更為直觀。(3)曲線的次數(shù)不隨頂點數(shù)的增減而增減B樣條曲線的次數(shù)由特征多邊形的點數(shù)加1而定，但曲線次數(shù)的高低取決于對整條曲線的光滑要求，一旦次數(shù)確定，每增加一個頂點，只不過是增加一段曲線而已。（4）局部可控性改動曲線上某一點，僅影響曲線的局部形狀，通常是該點相鄰兩側(cè)的曲線形狀，不會改變曲線的整體形狀。（5）凸包性如果特征多邊形是凸的，曲線也一定是凸的。（6）對稱性將特征多邊形各頂點順序顛倒過來，曲線仍保持不變，但走向相反。67B樣條曲線（4/17）二次B樣條n=2拋物線B0B2B1MP(0.5)P(1)P(0)68B樣條曲線（5/17）三次B樣條n=3P(t)B0B1B2B369B樣條曲線（6/17）三次B樣條的C2連續(xù)性如果增加一個控制頂點P4，則前一段曲線是否會受影響？P(t)P470B樣條曲線（7/17）特殊外形設(shè)計三頂點共線位于控制多邊形邊上的一個點P0P2P1MP(0)P’(0)P0P2MP1P(0)71B樣條曲線（8/17）特殊外形設(shè)計四頂點共線含有直線段的曲線P0P3P1P2P(0)M1P(1)M272B樣條曲線（9/17）特