簡(jiǎn)體-狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測(cè)器

第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測(cè)器狀態(tài)反饋及極點(diǎn)配置狀態(tài)觀測(cè)器帶有狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)2023/2/61第一節(jié)狀態(tài)反饋及極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置條件和算法狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性2023/2/62狀態(tài)反饋：將系統(tǒng)每一個(gè)狀態(tài)變量乘以相應(yīng)的反饋系數(shù)饋送到輸入端與參考輸人相加，其和作為受控系統(tǒng)的控制輸入。一、狀態(tài)反饋反饋的兩種基本形式：狀態(tài)反饋、輸出反饋原受控系統(tǒng)：線性反饋規(guī)律：2023/2/63狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)：反饋增益矩陣：狀態(tài)反饋閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為：

一般D=0，可化簡(jiǎn)為：狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)表示：狀態(tài)反饋系統(tǒng)的特征方程為：2023/2/64極點(diǎn)配置：通過(guò)反饋增益矩陣K的設(shè)計(jì)，將加入狀態(tài)反饋后的閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在S平面期望的位置上。二、狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置條件和算法1、極點(diǎn)配置算法(1)判斷系統(tǒng)能控性。如果狀態(tài)完全能控，按下列步驟繼續(xù)。1）直接法求反饋矩陣K（維數(shù)較小時(shí)，n≤3時(shí)）定理：(極點(diǎn)配置定理)對(duì)線性定常系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)反饋，反饋后的系統(tǒng)其全部極點(diǎn)得到任意配置的充要條件是：狀態(tài)完全能控。注意：矩陣的特征值就是所期望的閉環(huán)極點(diǎn)。2023/2/65(2)求狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式：(3)根據(jù)給定（或求得）的期望閉環(huán)極點(diǎn)，寫出期望特征多項(xiàng)式。(4)由確定反饋矩陣K：試設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋矩陣K，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為-2±j4和-10。[解]：（1）先判斷該系統(tǒng)的能控性[例1]考慮線性定常系統(tǒng)其中：2023/2/66該系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，通過(guò)狀態(tài)反饋，可任意進(jìn)行極點(diǎn)配置。（2）計(jì)算閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式設(shè)狀態(tài)反饋增益矩陣為：（3）計(jì)算期望的特征多項(xiàng)式2023/2/67由得：（4）確定K陣求得：所以狀態(tài)反饋矩陣K為：求將相等繁瑣，所以引入第二能控標(biāo)準(zhǔn)型法。2）第二能控標(biāo)準(zhǔn)型法求反饋矩陣（維數(shù)較大時(shí)，n>3時(shí)）1、首先將原系統(tǒng)化為第二能控標(biāo)準(zhǔn)型2、求出在第二能控標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)下的狀態(tài)反饋矩陣3、求出在原系統(tǒng)的狀態(tài)下的狀態(tài)反饋矩陣思路：2023/2/68第二能控標(biāo)準(zhǔn)型：能控標(biāo)準(zhǔn)型下狀態(tài)反饋后的系統(tǒng)矩陣：第二能控標(biāo)準(zhǔn)型下閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式：(系統(tǒng)的不變量)2023/2/69求反饋增益矩陣K的步驟：(1)判斷系統(tǒng)能控性。如果狀態(tài)完全能控，按下列步驟繼續(xù)。(2)：將原系統(tǒng)化為第二能控標(biāo)準(zhǔn)型。確定將原狀態(tài)方程變換為第二能控標(biāo)準(zhǔn)型的變換陣

。若給定的狀態(tài)方程已是第二能控標(biāo)準(zhǔn)型，那么，無(wú)需轉(zhuǎn)換。2023/2/610(3)求第二能控標(biāo)準(zhǔn)型下閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式：(5)根據(jù)給定（或求得）的期望閉環(huán)極點(diǎn)，寫出期望的特征多項(xiàng)式。(4)求出期望的閉環(huán)極點(diǎn)。（有時(shí)直接給定；有時(shí)給定某些性能指標(biāo)：如超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間等）(6)由求出在第二能控標(biāo)準(zhǔn)型下的反饋增益矩陣：(7)求未變換前原系統(tǒng)的狀態(tài)反饋增益矩陣：還可以由期望閉環(huán)傳遞函數(shù)得到：2023/2/611重新求解前面例1：（2）計(jì)算第二能控標(biāo)準(zhǔn)型下閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式[解]：（1）可知，系統(tǒng)已經(jīng)是第二能控標(biāo)準(zhǔn)型了，故系統(tǒng)能控，此時(shí)變換陣（3）計(jì)算期望的特征多項(xiàng)式（4）確定K陣所以狀態(tài)反饋矩陣K為：第二能控標(biāo)準(zhǔn)型下的反饋矩陣：2023/2/612期望極點(diǎn)選取的原則：1）n維控制系統(tǒng)有n個(gè)期望極點(diǎn)；2）期望極點(diǎn)是物理上可實(shí)現(xiàn)的，為實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)對(duì)；3）期望極點(diǎn)的位置的選取，需考慮它們對(duì)系統(tǒng)品質(zhì)的影響（離虛軸的位置），及與零點(diǎn)分布狀況的關(guān)系。4）離虛軸距離較近的主導(dǎo)極點(diǎn)收斂慢，對(duì)系統(tǒng)性能影響最大，遠(yuǎn)極點(diǎn)收斂快，對(duì)系統(tǒng)只有極小的影響。2、閉環(huán)系統(tǒng)期望極點(diǎn)的選取2023/2/613三、狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性定理：如果SI線性定常系統(tǒng)是能控的，則狀態(tài)反饋所構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)也必是能控的。證明:（過(guò)程很重要）2023/2/614結(jié)論2：狀態(tài)反饋可以保持原系統(tǒng)的能控性，但不一定能保持原系統(tǒng)的能觀測(cè)性。結(jié)論1：對(duì)SISO系統(tǒng)，引入狀態(tài)反饋后，不改變系統(tǒng)原有的閉環(huán)零點(diǎn)。所以經(jīng)過(guò)極點(diǎn)的任意配置，可能會(huì)出現(xiàn)零極點(diǎn)相約，由于可控性不變，故可能破壞可觀測(cè)性。2023/2/615第二節(jié)狀態(tài)觀測(cè)器狀態(tài)觀測(cè)器的原理和構(gòu)成狀態(tài)觀測(cè)器的存在條件狀態(tài)觀測(cè)器極點(diǎn)配置條件和算法構(gòu)成狀態(tài)觀測(cè)器的原則2023/2/616狀態(tài)重構(gòu)：不是所有的系統(tǒng)狀態(tài)物理上都能夠直接測(cè)量得到。需要從系統(tǒng)的可量測(cè)參量，如輸入u和輸出y來(lái)估計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)。狀態(tài)觀測(cè)器：狀態(tài)觀測(cè)器基于可直接量測(cè)的輸出變量y和控制變量u來(lái)估計(jì)狀態(tài)變量，是一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)的模擬動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。如果是狀態(tài)完全能觀測(cè)的，那么根據(jù)輸出y的測(cè)量，可以唯一地確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)，系統(tǒng)任意時(shí)刻的狀態(tài)：所以只要滿足一定的條件，可從可測(cè)量y和u中把x間接重構(gòu)出來(lái)。一、狀態(tài)觀測(cè)器的原理和構(gòu)成2023/2/617原受控系統(tǒng)：狀態(tài)觀測(cè)器：原系統(tǒng)和狀態(tài)觀測(cè)器之間狀態(tài)的誤差：有：，即：——原系統(tǒng)初始狀態(tài)——狀態(tài)觀測(cè)器的初始狀態(tài)如果，必有，即兩者完全等價(jià)，實(shí)際很難滿足。也就是說(shuō)原狀態(tài)和狀態(tài)觀測(cè)器的估計(jì)狀態(tài)之間必存在誤差，從而導(dǎo)致原系統(tǒng)和狀態(tài)觀測(cè)器的輸出也必存在誤差。漸近狀態(tài)觀測(cè)器。2023/2/618狀態(tài)觀測(cè)器方程：2023/2/619漸近狀態(tài)觀測(cè)器結(jié)構(gòu)圖：維數(shù)2n。漸近狀態(tài)觀測(cè)器等價(jià)結(jié)構(gòu)圖：全維狀態(tài)觀測(cè)器2023/2/620狀態(tài)觀測(cè)器能否起作用的關(guān)鍵：觀測(cè)器在任何初始條件下，都能夠無(wú)誤差地重構(gòu)原狀態(tài)。二、狀態(tài)觀測(cè)器的存在條件：

存在性定理：線性定常系統(tǒng)不能觀測(cè)的部分是漸近穩(wěn)定的。存在條件設(shè)狀態(tài)觀測(cè)器方程：證：將原系統(tǒng)按照能觀測(cè)性分解：2023/2/621令：則：得：2023/2/6221、能觀測(cè)部分：齊次狀態(tài)方程的解：2、不能觀測(cè)部分：非齊次狀態(tài)方程的解：2023/2/623要求A22的特征值均具有負(fù)實(shí)部，即不能觀部分是漸近穩(wěn)定的。此時(shí)：由狀態(tài)觀測(cè)器存在性定理，可以得到以下定理：定理：線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)器極點(diǎn)任意配置，即具有任意逼近速度的充要條件是，原系統(tǒng)為狀態(tài)完全能觀測(cè)。三、狀態(tài)觀測(cè)器極點(diǎn)配置條件和算法：2023/2/624第二能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型下狀態(tài)觀測(cè)器的特征多項(xiàng)式：第二能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型：能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型下狀態(tài)觀測(cè)器的系統(tǒng)矩陣：與輸出到狀態(tài)微分的反饋相似。2023/2/625狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)步驟：1、第二能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型法（維數(shù)較大時(shí)，n>3時(shí)）(2)將原系統(tǒng)化為能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型。確定將原狀態(tài)方程變換為能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型的變換陣

。若給定的狀態(tài)方程已是能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型，那么，無(wú)需轉(zhuǎn)換。(1)判斷系統(tǒng)能觀測(cè)性。如果狀態(tài)完全能觀測(cè)，按下列步驟繼續(xù)。(3)求第二能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型下，狀態(tài)觀測(cè)器的特征多項(xiàng)式：(4)指定的狀態(tài)觀測(cè)器的特征值，寫出期望的特征多項(xiàng)式：2023/2/626(5)由求出在第二能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型下觀測(cè)器的反饋矩陣：(6)求未變換前系統(tǒng)狀態(tài)觀測(cè)器的反饋矩陣：(3)寫出狀態(tài)觀測(cè)器的期望特征多項(xiàng)式：2、直接法（維數(shù)較小,n≤3時(shí)）(2)求觀測(cè)器的特征多項(xiàng)式：(4)由確定狀態(tài)觀測(cè)器的反饋矩陣：(1)判斷系統(tǒng)能觀測(cè)性。如果狀態(tài)完全能觀測(cè)，按下列步驟繼續(xù)。2023/2/627[解]：(1)傳遞函數(shù)無(wú)零極點(diǎn)對(duì)消，可以寫為第二能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型：[例]用標(biāo)準(zhǔn)型法(2)能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型下，狀態(tài)觀測(cè)器的特征多項(xiàng)式：(3)狀態(tài)觀測(cè)器期望的特征多項(xiàng)式為：2023/2/628(4)在能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型下，觀測(cè)器的反饋矩陣為：(5)原系統(tǒng)下狀態(tài)觀測(cè)器的反饋矩陣為：2023/2/629四、構(gòu)成狀態(tài)觀測(cè)器的原則：1）觀測(cè)器以原系統(tǒng)的輸入和輸出作為其輸入。2）的輸出狀態(tài)應(yīng)有足夠快的速度逼近x，這就要求有足夠?qū)挼念l帶，將導(dǎo)致觀測(cè)器的作用接近于一個(gè)微分器，從而使頻帶加寬，不能容忍地將高頻噪聲分量放大。3）有較高的抗干擾性，這就要求有較窄的頻帶，因而快速性和抗干擾性是互相矛盾的，應(yīng)綜合考慮。4）在結(jié)構(gòu)上應(yīng)盡可能地簡(jiǎn)單，即具有盡可能低的維數(shù)。5）觀測(cè)器的逼近速度選擇：只需使觀測(cè)器的期望極點(diǎn)比由此組成的閉環(huán)反饋系統(tǒng)的特征值稍大一些即可。一般地，選擇的期望特征值，應(yīng)使?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器的響應(yīng)速度至少比所考慮的閉環(huán)系統(tǒng)快2~5倍。2023/2/630降維狀態(tài)觀測(cè)器（龍伯格觀測(cè)器）原因：第3節(jié)所講述的是全維狀態(tài)觀測(cè)器。實(shí)際上，對(duì)于m維輸出系統(tǒng)，就有m個(gè)變量可以通過(guò)傳感器直接測(cè)量得到。如果選擇該m個(gè)變量作為狀態(tài)變量，則這部分變量不需要進(jìn)行狀態(tài)重構(gòu)。觀測(cè)器只需要估計(jì)n-m個(gè)狀態(tài)變量即可。n-m維降維觀測(cè)器，或最小階觀測(cè)器。存在非奇異變換：2023/2/631不能直接測(cè)量的n-m維子系統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)n-m維子系統(tǒng)設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測(cè)器：2023/2/632[本節(jié)小結(jié)]：1、全維狀態(tài)觀測(cè)器的原理、構(gòu)成與極點(diǎn)配置狀態(tài)觀測(cè)器方程：

存在性定理：線性定常系統(tǒng)不能觀測(cè)的部分是漸近穩(wěn)定的。狀態(tài)觀測(cè)器極點(diǎn)配置條件：狀態(tài)完全能觀測(cè)狀態(tài)觀測(cè)器極點(diǎn)配置算法：反饋陣Ke的設(shè)計(jì)2023/2/633(3)寫出狀態(tài)觀測(cè)器的期望特征多項(xiàng)式：1、直接法（維數(shù)較小時(shí)，n≤3時(shí)）(2)求觀測(cè)器的特征多項(xiàng)式：(4)由確定狀態(tài)觀測(cè)器的反饋矩陣：(1)判斷系統(tǒng)能觀測(cè)性。如果狀態(tài)完全能觀測(cè)，按下列步驟繼續(xù)。2、第二能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型法（維數(shù)較大時(shí)，n>3時(shí)）(2)將原系統(tǒng)化為能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型。(1)判斷系統(tǒng)能觀測(cè)性。如果狀態(tài)完全能觀測(cè)，按下列步驟繼續(xù)。2023/2/634(5)由求出在第二能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型下觀測(cè)器的反饋矩陣：(6)求未變換前系統(tǒng)狀態(tài)觀測(cè)器的反饋矩陣：(3)求第二能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型下，狀態(tài)觀測(cè)器的特征多項(xiàng)式：(4)指定的狀態(tài)觀測(cè)器的特征值，寫出期望的特征多項(xiàng)式：2023/2/635第四節(jié)帶有觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)帶有觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的構(gòu)成帶有觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的輸入輸出特性2023/2/636狀態(tài)觀測(cè)器的建立，為不能直接量測(cè)的狀態(tài)反饋提供了條件。構(gòu)成：帶有狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)由觀測(cè)器和狀態(tài)反饋兩個(gè)子系統(tǒng)構(gòu)成的組合系統(tǒng)。用觀測(cè)器的估計(jì)狀態(tài)實(shí)現(xiàn)反饋。

是x重構(gòu)狀態(tài)，階數(shù)小于等于x階數(shù)。系統(tǒng)階數(shù)為與x階數(shù)和一、帶有觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的構(gòu)成全維狀態(tài)觀測(cè)器加入狀態(tài)反饋2023/2/637帶有全維狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)等價(jià)結(jié)構(gòu)圖：討論：1、用觀測(cè)器的估計(jì)狀態(tài)來(lái)設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋陣，會(huì)不會(huì)對(duì)原來(lái)的狀態(tài)反饋系統(tǒng)產(chǎn)生影響？2、在狀態(tài)反饋中加入觀測(cè)器，會(huì)不會(huì)影響原系統(tǒng)輸入輸出特性？2023/2/638二、帶有觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的輸入輸出特性加入反饋控制規(guī)律：狀態(tài)反饋部分的狀態(tài)方程：觀測(cè)器部分的狀態(tài)方程：原系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為：帶有觀測(cè)器的狀態(tài)反饋組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：維數(shù)2n為分析方便，作如下線性非奇異變換：2023/2/639則經(jīng)過(guò)非奇異變換后的狀態(tài)空間描述為：非奇異變換不改變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣、特征值和特征多項(xiàng)式。2023/