數(shù)學(xué)的美與理

數(shù)學(xué)文化漫談之－數(shù)學(xué)的美與理數(shù)學(xué)美概述數(shù)學(xué)美概述ABCDBC:AB＝AB:AC=AC:AD＝0.618黃金分割0.618的美學(xué)實(shí)例人體:軀干部分的寬與長之比

肚臍、膝蓋植物：相鄰兩葉在與莖垂直的平面上的投影的兩夾角的比利于通風(fēng)采光黃金分割0.618的美學(xué)實(shí)例黃金分割0.618的美學(xué)實(shí)例名曲:高潮出現(xiàn)在全曲的黃金分割點(diǎn)名畫：充分利用了0.618建筑:如建筑物的特征點(diǎn)、門窗等黃金分割點(diǎn)體現(xiàn)了美與實(shí)用，溝通了人與自然眼睛寬度占眼睛所在面部位置的3／10；下巴長度占臉長的1／5；從眼珠到眼眉的距離是臉長的1／10；從正面端詳，眼珠豎長占臉長的1／14；鼻部面積占整個(gè)面部面積的5％以下；嘴占嘴所在臉部寬度的50％。數(shù)學(xué)美概述數(shù)學(xué)美的幾種類型美的不同表現(xiàn)形式有不同的形容：壯美、俊美、秀美、柔美、優(yōu)美數(shù)學(xué)美也呈現(xiàn)多樣性，我們分為：簡潔美、對稱美、和諧美和奇異美。一、簡潔美簡潔美是人們最欣賞的一種美，在藝術(shù)、建筑、徽標(biāo)等的設(shè)計(jì)中最為常見。中國畫更是體現(xiàn)了簡潔美。數(shù)學(xué)以簡潔而著稱！數(shù)學(xué)中所謂美的問題，是指一個(gè)難以解決的問題；而所謂美的解答，則是指對于困難和復(fù)雜問題的簡單回答。－狄羅德簡潔美包括：符號美、抽象美、統(tǒng)一美一、簡潔美大數(shù)和小數(shù)的表示：10221，286243，10-900數(shù)的表示：所有數(shù)均可由1,2,3,5,6,7,8,9,0表示.(稱為阿拉伯?dāng)?shù)字,但是由一、簡潔美之－符號美印度人發(fā)明的.由阿拉伯人傳到西方.)形式上和位置上意義非凡,絕妙非常.實(shí)際上,0的出現(xiàn)大約要晚好幾百年.一、簡潔美之－符號美簡潔美的發(fā)展過程:235×4=940羅馬人的算法:CCXXXVIVCCCCCCCCXXXXXXXXXXXXVVVVDCCCCXX

XX

CMXL表示900表示40一、簡潔美之－符號美一、簡潔美之－符號美“+”------Plus“-”------Minus“=”------Aequalis“未知數(shù)”-----Redix(根),Res(東西):Qdratuaeqtar4rabusP:32一、簡潔美之－符號美韋達(dá)(Vieta,1540-1603)首創(chuàng)了符號體系思想，并由此規(guī)定出算術(shù)與代數(shù)的分界。“等于”→“∝”，“”，Robert,(1510-1558),建議用“=”沿用至今萊布尼茨(Leibnize)—differentia(拉丁文，分細(xì))—Summa(拉丁文，和)一、簡潔美之－符號美另一位符號大師－歐拉（Euler）e－分析學(xué)，i－幾何學(xué)，π－代數(shù)學(xué)，0，1－算術(shù)。有3／5的符號出自Euler之手！該式集符號美、抽象美、統(tǒng)一美于一體！十進(jìn)制與二進(jìn)制:十進(jìn)制:8989=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20二進(jìn)制:1011001一、簡潔美之－符號美十進(jìn)制:符號多(10),表示上簡潔,方便人工運(yùn)算,但系統(tǒng)復(fù)雜.二進(jìn)制:符號少(2),表示上麻煩,方便機(jī)器運(yùn)算,但系統(tǒng)簡單.二進(jìn)制與最簡單的自然現(xiàn)象(信號的兩極)結(jié)合,造就了計(jì)算機(jī)！一、簡潔美之－符號美其它符號的簡潔美：未知量：x,y,z已知量：π,e,a,b,c函數(shù)關(guān)系：f(x)形狀符號：一、簡潔美之－符號美其它符號的簡潔美：運(yùn)算符號：函數(shù)與邏輯：一、簡潔美之－符號美其它符號的簡潔美：運(yùn)算符號：函數(shù)與邏輯：數(shù)學(xué)家能夠提出與眾不同的觀點(diǎn)；更重要的是，他能將很多看似完全不同的問題統(tǒng)一起來.而統(tǒng)一的前提便是抽象一、簡潔美之－抽象美

抽象=?抽象=難得糊涂:忽略差別,提取共同點(diǎn)抽象=枯燥乏味?語言學(xué)抽象嗎?美、神、好文學(xué)抽象嗎？詩歌藝術(shù)抽象嗎？繪畫、舞蹈音樂抽象嗎？高山流水、悲歡離合美的感一、簡潔美之－抽象美數(shù)學(xué)的抽象美的表現(xiàn)形式不同，它給人帶來的是簡潔、明快和高效的美。例

圖中，大圓周長與三個(gè)小圓周長之和哪個(gè)更大？例Koch雪花做法：先給定一個(gè)正三角形，然后在每條邊上對稱的產(chǎn)生邊長為原邊長的1/3的小正三角形．如此類推在每條凸邊上都做類似的操作，我們就得到了“Koch雪花”．觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推周長為面積為第次分叉：于是有結(jié)論：雪花的周長是無界的，而面積有界．雪花的面積存在極限（收斂）．例（七橋問題）如圖，能否從某個(gè)橋出發(fā)，走過所有的橋，但每座橋只經(jīng)過一次？ABCD？？BACDBACD一次走完（一筆畫）一次走不完（一筆畫不出）能否一筆畫出？24213313335偶奇奇否Euler例人的頭發(fā)問題

有人聲稱，他可以證明，在長沙市，至少有兩個(gè)人的頭發(fā)根數(shù)相同。你相信嗎？據(jù)科學(xué)家研究得到：人的頭發(fā)大約在15萬根左右，而長沙市人口遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于這個(gè)數(shù)。故結(jié)論成立。這就是所謂的抽屜原理或鴿籠原理。二、對稱美幾何：點(diǎn)對稱、線對稱、面對稱、球?qū)ΨQ。球面被認(rèn)為最完美！代數(shù)與函數(shù)論：共軛數(shù)（共軛復(fù)數(shù)、共軛空間）。運(yùn)算：交換律、分配律，函數(shù)與反函數(shù)運(yùn)算。二項(xiàng)式定理的展開式中的系數(shù)構(gòu)成的楊輝三角形：112133114641151051二、對稱美命題變換中：命題逆命題否命題逆否命題二、對稱美

構(gòu)造魔方是一個(gè)古老的數(shù)學(xué)游戲，起初它還和神靈聯(lián)系在一起，帶有深厚的迷信色彩。傳說三千二百多年前（公元前2200年），因治水出名皇帝大禹就構(gòu)造了三階魔方（被人們稱“洛書”），至今還有人把它當(dāng)作符咒用于某些迷信活動，大約在十五世紀(jì)時(shí)，魔方傳到了西方，著名的科尼利厄斯·阿格里帕（1486-1535）先后構(gòu)造出了3~9階的魔方。如何構(gòu)造魔方奇數(shù)（不妨n=5）階的情況Step1:在第一行中間寫1Step2:每次向右上方移一格依次填按由小到大排列的下一個(gè)數(shù)，向上移出界時(shí)填下一列最后一行的小方格；向右移出界時(shí)填第一列上一行的小方格。若下面想填的格已填過數(shù)或已達(dá)到魔方的右上角時(shí)，改填剛才填的格子正下方的小方格，繼續(xù)Step2直到填完12345678910111213141516171819202122232425偶數(shù)階的情況偶數(shù)階的魔方可以利用奇數(shù)階魔方拼接而成，拉爾夫·斯特雷奇給出了一種拼接的方法，這里不作詳細(xì)介紹五階沒人知道有多少個(gè)?。?！三階1個(gè)反射和中心旋轉(zhuǎn)生成8個(gè)四階880個(gè)反射和中心旋轉(zhuǎn)生成7040個(gè)魔方數(shù)量隨階數(shù)n增長的速度實(shí)在是太驚人了！同階魔方的個(gè)數(shù)統(tǒng)一與和諧美是數(shù)學(xué)美的又一側(cè)面，它比對稱美具有廣泛性。以幾何與代數(shù)的和諧與統(tǒng)一的表現(xiàn)為例：行列式與矩陣三、和諧美平面上過點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2)的直線方程:三、和諧美平面上過點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)的圓方程:

三、和諧美三、和諧美三、和諧美三、和諧美四、奇異美奇異：稀罕、出呼意料但有引人入勝！美在于奇異而令人驚異沒有一個(gè)極美的東西不是在勻稱中有著某種奇特－培根四、奇異美一、分?jǐn)?shù)的奇異性四、奇異美四、奇異美二、費(fèi)馬猜想四、奇異美300多年來，數(shù)千位數(shù)學(xué)家參與證明Fermat本人證明了n=4的情形。1753年，Euler證明了n=3.1825年，Dirchlet與Legendre證明了n=5.1832年，法國女?dāng)?shù)學(xué)家索非熱爾曼證明：如果n和2n+1為素?cái)?shù)，F(xiàn)ermat大定理成立。1839年，拉梅證明了n=7.1847年，德國數(shù)學(xué)家Kummer證明了對n<100(除出37,59,67),Fermat定理成立。1983年，德國數(shù)學(xué)家法爾廷斯證明了：對每個(gè)n>2,方程只有有限個(gè)解。1993年，Princeton大學(xué)的教授威爾斯宣布證明了Fermat定理。但數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了證明中的一個(gè)漏洞。經(jīng)過九個(gè)月的努力威爾斯修正了這一錯(cuò)誤，這標(biāo)志著Fermat大定理被徹底征服。威爾斯的證明完全采用了全新的路線，用到了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的許多分支：橢圓曲線論，模形式論，伽羅華表示論等。所謂橢圓曲線是如下形式的曲線：橢圓曲線與模形式之間有緊密的聯(lián)系。50年代，日本數(shù)學(xué)家谷山豐和志村五郎猜測：有理數(shù)域上的每條橢圓曲線都存在模形式。被乘為“谷山-志村”猜想。60年代，有人將Femat方程與橢圓曲線聯(lián)系起來。1984年，佛賴證明，如果Fermat大定理不成，則由Fermat方程確定的橢圓曲線不可能是模形式，這與谷山-志村猜想矛盾！因此，要證明Fermat大定理，只需證明谷山-志村猜想。威爾斯所做的正是證明了該猜想。無限世界的美妙數(shù)學(xué)是研究無限的科學(xué)，有限無限生命、財(cái)產(chǎn)、人口、金錢、距離直線上的點(diǎn)一尺之椎，日取其半，萬世不竭。正整數(shù)個(gè)數(shù)對無限的最早感受是正整數(shù)區(qū)分有限與無限的方法:數(shù)數(shù)把握無限的方法:反證法多少的比較方法之一：數(shù)數(shù)66多少的比較方法之二：比較少多映射自然數(shù)的比較122436n2n自然數(shù)與偶數(shù)一樣多！1f(1)2f(2)3f(3)nf(n)推廣推廣●●●●●這個(gè)運(yùn)動表明：當(dāng)x沿直線趨于正無窮大時(shí)，圓周上對應(yīng)的點(diǎn)按逆時(shí)針方向趨于頂點(diǎn)這個(gè)運(yùn)動表明：當(dāng)x沿直線趨于負(fù)無窮大時(shí)，圓周上對應(yīng)的點(diǎn)按順時(shí)針方向趨于頂點(diǎn)演示表明：在直線上無論x是趨于，還是趨于，反映在圓周上顯示的是，點(diǎn)沿著圓周分別按逆時(shí)針和順時(shí)針都趨于一個(gè)共同的點(diǎn)——頂點(diǎn)！圓周比直線多一點(diǎn)！新概念集合A與B稱為基數(shù)相等，如果A，B之間存在1-1對應(yīng)關(guān)系（1-1映射）。記為顯然基數(shù)概念推廣了個(gè)數(shù)概念。幾個(gè)有趣的結(jié)論1、有理數(shù)與自然數(shù)一樣多這個(gè)集合的基數(shù)不超過自然數(shù)的基數(shù)，而自然數(shù)是其子集，所以這兩個(gè)集合的基數(shù)相等。同樣的理由知道有理數(shù)與自然數(shù)一樣多。幾個(gè)有趣的結(jié)論2、（0，1）與（0，+∞）的點(diǎn)一樣多幾個(gè)有趣的結(jié)論3、（0，1）的點(diǎn)比自然數(shù)多5、自然數(shù)是基數(shù)最小的無窮集合。4、自然數(shù)的所有子集所成的集合與（0，1）的基數(shù)一樣。由此人們給出了處理無窮多（自然數(shù)）的一個(gè)方法——數(shù)學(xué)歸納法：如果與自然數(shù)k有關(guān)的命題P(k)滿足條件

（1）P(1)成立；（2）若P(n)成立，則P(n+1)也成立,則P(k)對所有的自然數(shù)成立。1.VanKoch