數(shù)學(xué)的美與理

數(shù)學(xué)文化漫談之－數(shù)學(xué)的美與理數(shù)學(xué)美概述數(shù)學(xué)美概述ABCDBC:AB＝AB:AC=AC:AD＝0.618黃金分割0.618的美學(xué)實例人體:軀干部分的寬與長之比

肚臍、膝蓋植物：相鄰兩葉在與莖垂直的平面上的投影的兩夾角的比利于通風(fēng)采光黃金分割0.618的美學(xué)實例黃金分割0.618的美學(xué)實例名曲:高潮出現(xiàn)在全曲的黃金分割點名畫：充分利用了0.618建筑:如建筑物的特征點、門窗等黃金分割點體現(xiàn)了美與實用，溝通了人與自然眼睛寬度占眼睛所在面部位置的3／10；下巴長度占臉長的1／5；從眼珠到眼眉的距離是臉長的1／10；從正面端詳，眼珠豎長占臉長的1／14；鼻部面積占整個面部面積的5％以下；嘴占嘴所在臉部寬度的50％。數(shù)學(xué)美概述數(shù)學(xué)美的幾種類型美的不同表現(xiàn)形式有不同的形容：壯美、俊美、秀美、柔美、優(yōu)美數(shù)學(xué)美也呈現(xiàn)多樣性，我們分為：簡潔美、對稱美、和諧美和奇異美。一、簡潔美簡潔美是人們最欣賞的一種美，在藝術(shù)、建筑、徽標等的設(shè)計中最為常見。中國畫更是體現(xiàn)了簡潔美。數(shù)學(xué)以簡潔而著稱！數(shù)學(xué)中所謂美的問題，是指一個難以解決的問題；而所謂美的解答，則是指對于困難和復(fù)雜問題的簡單回答。－狄羅德簡潔美包括：符號美、抽象美、統(tǒng)一美一、簡潔美大數(shù)和小數(shù)的表示：10221，286243，10-900數(shù)的表示：所有數(shù)均可由1,2,3,5,6,7,8,9,0表示.(稱為阿拉伯數(shù)字,但是由一、簡潔美之－符號美印度人發(fā)明的.由阿拉伯人傳到西方.)形式上和位置上意義非凡,絕妙非常.實際上,0的出現(xiàn)大約要晚好幾百年.一、簡潔美之－符號美簡潔美的發(fā)展過程:235×4=940羅馬人的算法:CCXXXVIVCCCCCCCCXXXXXXXXXXXXVVVVDCCCCXX

XX

CMXL表示900表示40一、簡潔美之－符號美一、簡潔美之－符號美“+”------Plus“-”------Minus“=”------Aequalis“未知數(shù)”-----Redix(根),Res(東西):Qdratuaeqtar4rabusP:32一、簡潔美之－符號美韋達(Vieta,1540-1603)首創(chuàng)了符號體系思想，并由此規(guī)定出算術(shù)與代數(shù)的分界?！暗扔凇薄啊亍?，“”，Robert,(1510-1558),建議用“=”沿用至今萊布尼茨(Leibnize)—differentia(拉丁文，分細)—Summa(拉丁文，和)一、簡潔美之－符號美另一位符號大師－歐拉（Euler）e－分析學(xué)，i－幾何學(xué)，π－代數(shù)學(xué)，0，1－算術(shù)。有3／5的符號出自Euler之手！該式集符號美、抽象美、統(tǒng)一美于一體！十進制與二進制:十進制:8989=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20二進制:1011001一、簡潔美之－符號美十進制:符號多(10),表示上簡潔,方便人工運算,但系統(tǒng)復(fù)雜.二進制:符號少(2),表示上麻煩,方便機器運算,但系統(tǒng)簡單.二進制與最簡單的自然現(xiàn)象(信號的兩極)結(jié)合,造就了計算機！一、簡潔美之－符號美其它符號的簡潔美：未知量：x,y,z已知量：π,e,a,b,c函數(shù)關(guān)系：f(x)形狀符號：一、簡潔美之－符號美其它符號的簡潔美：運算符號：函數(shù)與邏輯：一、簡潔美之－符號美其它符號的簡潔美：運算符號：函數(shù)與邏輯：數(shù)學(xué)家能夠提出與眾不同的觀點；更重要的是，他能將很多看似完全不同的問題統(tǒng)一起來.而統(tǒng)一的前提便是抽象一、簡潔美之－抽象美

抽象=?抽象=難得糊涂:忽略差別,提取共同點抽象=枯燥乏味?語言學(xué)抽象嗎?美、神、好文學(xué)抽象嗎？詩歌藝術(shù)抽象嗎？繪畫、舞蹈音樂抽象嗎？高山流水、悲歡離合美的感一、簡潔美之－抽象美數(shù)學(xué)的抽象美的表現(xiàn)形式不同，它給人帶來的是簡潔、明快和高效的美。例

圖中，大圓周長與三個小圓周長之和哪個更大？例Koch雪花做法：先給定一個正三角形，然后在每條邊上對稱的產(chǎn)生邊長為原邊長的1/3的小正三角形．如此類推在每條凸邊上都做類似的操作，我們就得到了“Koch雪花”．觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推周長為面積為第次分叉：于是有結(jié)論：雪花的周長是無界的，而面積有界．雪花的面積存在極限（收斂）．例（七橋問題）如圖，能否從某個橋出發(fā)，走過所有的橋，但每座橋只經(jīng)過一次？ABCD？？BACDBACD一次走完（一筆畫）一次走不完（一筆畫不出）能否一筆畫出？24213313335偶奇奇否Euler例人的頭發(fā)問題

有人聲稱，他可以證明，在長沙市，至少有兩個人的頭發(fā)根數(shù)相同。你相信嗎？據(jù)科學(xué)家研究得到：人的頭發(fā)大約在15萬根左右，而長沙市人口遠遠大于這個數(shù)。故結(jié)論成立。這就是所謂的抽屜原理或鴿籠原理。二、對稱美幾何：點對稱、線對稱、面對稱、球?qū)ΨQ。球面被認為最完美！代數(shù)與函數(shù)論：共軛數(shù)（共軛復(fù)數(shù)、共軛空間）。運算：交換律、分配律，函數(shù)與反函數(shù)運算。二項式定理的展開式中的系數(shù)構(gòu)成的楊輝三角形：112133114641151051二、對稱美命題變換中：命題逆命題否命題逆否命題二、對稱美

構(gòu)造魔方是一個古老的數(shù)學(xué)游戲，起初它還和神靈聯(lián)系在一起，帶有深厚的迷信色彩。傳說三千二百多年前（公元前2200年），因治水出名皇帝大禹就構(gòu)造了三階魔方（被人們稱“洛書”），至今還有人把它當作符咒用于某些迷信活動，大約在十五世紀時，魔方傳到了西方，著名的科尼利厄斯·阿格里帕（1486-1535）先后構(gòu)造出了3~9階的魔方。如何構(gòu)造魔方奇數(shù)（不妨n=5）階的情況Step1:在第一行中間寫1Step2:每次向右上方移一格依次填按由小到大排列的下一個數(shù)，向上移出界時填下一列最后一行的小方格；向右移出界時填第一列上一行的小方格。若下面想填的格已填過數(shù)或已達到魔方的右上角時，改填剛才填的格子正下方的小方格，繼續(xù)Step2直到填完12345678910111213141516171819202122232425偶數(shù)階的情況偶數(shù)階的魔方可以利用奇數(shù)階魔方拼接而成，拉爾夫·斯特雷奇給出了一種拼接的方法，這里不作詳細介紹五階沒人知道有多少個?。。∪A1個反射和中心旋轉(zhuǎn)生成8個四階880個反射和中心旋轉(zhuǎn)生成7040個魔方數(shù)量隨階數(shù)n增長的速度實在是太驚人了！同階魔方的個數(shù)統(tǒng)一與和諧美是數(shù)學(xué)美的又一側(cè)面，它比對稱美具有廣泛性。以幾何與代數(shù)的和諧與統(tǒng)一的表現(xiàn)為例：行列式與矩陣三、和諧美平面上過點(x1,y1),(x2,y2)的直線方程:三、和諧美平面上過點(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)的圓方程:

三、和諧美三、和諧美三、和諧美三、和諧美四、奇異美奇異：稀罕、出呼意料但有引人入勝！美在于奇異而令人驚異沒有一個極美的東西不是在勻稱中有著某種奇特－培根四、奇異美一、分數(shù)的奇異性四、奇異美四、奇異美二、費馬猜想四、奇異美300多年來，數(shù)千位數(shù)學(xué)家參與證明Fermat本人證明了n=4的情形。1753年，Euler證明了n=3.1825年，Dirchlet與Legendre證明了n=5.1832年，法國女數(shù)學(xué)家索非熱爾曼證明：如果n和2n+1為素數(shù)，F(xiàn)ermat大定理成立。1839年，拉梅證明了n=7.1847年，德國數(shù)學(xué)家Kummer證明了對n<100(除出37,59,67),Fermat定理成立。1983年，德國數(shù)學(xué)家法爾廷斯證明了：對每個n>2,方程只有有限個解。1993年，Princeton大學(xué)的教授威爾斯宣布證明了Fermat定理。但數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了證明中的一個漏洞。經(jīng)過九個月的努力威爾斯修正了這一錯誤，這標志著Fermat大定理被徹底征服。威爾斯的證明完全采用了全新的路線，用到了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的許多分支：橢圓曲線論，模形式論，伽羅華表示論等。所謂橢圓曲線是如下形式的曲線：橢圓曲線與模形式之間有緊密的聯(lián)系。50年代，日本數(shù)學(xué)家谷山豐和志村五郎猜測：有理數(shù)域上的每條橢圓曲線都存在模形式。被乘為“谷山-志村”猜想。60年代，有人將Femat方程與橢圓曲線聯(lián)系起來。1984年，佛賴證明，如果Fermat大定理不成，則由Fermat方程確定的橢圓曲線不可能是模形式，這與谷山-志村猜想矛盾！因此，要證明Fermat大定理，只需證明谷山-志村猜想。威爾斯所做的正是證明了該猜想。無限世界的美妙數(shù)學(xué)是研究無限的科學(xué)，有限無限生命、財產(chǎn)、人口、金錢、距離直線上的點一尺之椎，日取其半，萬世不竭。正整數(shù)個數(shù)對無限的最早感受是正整數(shù)區(qū)分有限與無限的方法:數(shù)數(shù)把握無限的方法:反證法多少的比較方法之一：數(shù)數(shù)66多少的比較方法之二：比較少多映射自然數(shù)的比較122436n2n自然數(shù)與偶數(shù)一樣多！1f(1)2f(2)3f(3)nf(n)推廣推廣●●●●●這個運動表明：當x沿直線趨于正無窮大時，圓周上對應(yīng)的點按逆時針方向趨于頂點這個運動表明：當x沿直線趨于負無窮大時，圓周上對應(yīng)的點按順時針方向趨于頂點演示表明：在直線上無論x是趨于，還是趨于，反映在圓周上顯示的是，點沿著圓周分別按逆時針和順時針都趨于一個共同的點——頂點！圓周比直線多一點！新概念集合A與B稱為基數(shù)相等，如果A，B之間存在1-1對應(yīng)關(guān)系（1-1映射）。記為顯然基數(shù)概念推廣了個數(shù)概念。幾個有趣的結(jié)論1、有理數(shù)與自然數(shù)一樣多這個集合的基數(shù)不超過自然數(shù)的基數(shù)，而自然數(shù)是其子集，所以這兩個集合的基數(shù)相等。同樣的理由知道有理數(shù)與自然數(shù)一樣多。幾個有趣的結(jié)論2、（0，1）與（0，+∞）的點一樣多幾個有趣的結(jié)論3、（0，1）的點比自然數(shù)多5、自然數(shù)是基數(shù)最小的無窮集合。4、自然數(shù)的所有子集所成的集合與（0，1）的基數(shù)一樣。由此人們給出了處理無窮多（自然數(shù)）的一個方法——數(shù)學(xué)歸納法：如果與自然數(shù)k有關(guān)的命題P(k)滿足條件

（1）P(1)成立；（2）若P(n)成立，則P(n+1)也成立,則P(k)對所有的自然數(shù)成立。1.VanKoch